CHAP. II. — DERIVEES F0NCT10>NEI.LES DE LA FONCTION DE GREEN. (7J

lorsque A, supposé intéi'ieur au contour^ tend vers un point a du (contour; mais W^ ne tend pas vers W^. On a

/ lim Va = V^«, ] lim Wa==\V

^a étant la valeur de ]j\s) au point a.

Si l'on désigne par ~ — une dérivée prise en supposant un déplacement de A j)arallèle à la norlnale intérieure en «, on a

dria Je dria "" p

Cette intégrale conserve un sens lorsque A vient en a, mais, de même que W^, elle n'est pas continue. On a

dW r d ^ I ,

-y a cilla Jç^ dria ^ pa

Oa désignant la distance «M.

La dérivée normale de W^ est continue, en ce sens qu'elle a Icî même valeur limite suivant que A tend vers a d'un côté ou de l'autre de G. Mais l'intégrale qui représente cette dérivée cesse d'avoir un

sens quand A est en a, la fonction - — -, — loo- — devenant infinie pour

i du ((Ha ^ Ç)a .

Oa^=^ o. Elle est la somme de 7^ et d'une quantité finie. On peut obtenir une expression commode de la limite considérée en écrivant

(8) lim —— ^ = V. p. / [,x{s)— [}.a]-r^ — (log— )^^,

le symbole v. p. désignant la valeur principale au sens de Cauchy [voir n*^ 52 de la première Partie).

Les formules (6) et (7) supposent simplement \>-{s) continue ena; pour la formule (8), il n'est même pas suffisant de supposer l'existence et la continuité de la dérivée [Jt'(5); on peut l'établir en supposant en outre l'existence de la dérivée seconde y-" {s)^ hypothèse qui peut d'ailleurs être remplacée par d'autres moins restrictives. Mais^ de plus, la formule (8) suppose essentiellement que G soit un contour yer/^ie. Dans le cas contraire, il j aurait lieu d'ajouter au second

174 DEUXIKME PAUriE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

membre le terme

doa du a

<pa étant l'angle sous lequel on voit de a une ligne ÇJ joignant les extrémités de C, et telle que le sens positif choisi sur la normale à C en a soit dirigé vers l'intérieur du contour fermé formé par C et C.

Si l'on considère les dérrvées ^r- relatives à une direction parallèle

dta i

à la tangente en <7, on a

l'^.. -di: = 7177 = ''- 1\( i<'^ dT^ '^^J-/^^

A->rt dta dSa '" Jr ^ dll dSa " p,,

Indiquons enfin que, pour tout arc analytique C, de G sur lcqu< ;j.(5) est liolomorplie, les fonctions

du ^ rj^ dfia Pu du dn, ° p„ pf

sont holomorplies. Si, de plus, |jl(a) est sur toute la courbe C une fonction holomorphe de certains paramètres, les valeurs de V^^ et W^ à l'intérieur de G et leurs valeurs limites sur l'arc considéré Gi sont des fonctions holomorplies de ces paramètres et du point A. Gette proposition est connue sous le nom de théorème de Biuns.

lo. L3 problème de Dirichlet. — Ge problème consiste à déterminer une fonction harmonique z/^, continue, ainsi que ses dérivées [)remières, dans la région intérieure à un contour G, connaissant sa valeur a en fout point M de G. iNous supposerons la valeur donnée sur G fonction continue de M ( * j.

Le problème ainsi posé admet une solution et une seule.

La démonstration de l'unicité résulte aisément de la formule (4)'

Pour démontrer qu'il en existe une, il suffit, par la méthode de M. Fredholin, de montrer que, pour une détermination convenable de ui(5j, le potentiel W^ résout le problème. Gomme ce polcniiel est harmonique, il suffit qu'il prenne la valeur a sur le contour, ce qui,

(') On pouirail adinctlre ccrtaiiits discunliiuiilcs.

CHAP. II. — DERIVEES FONCTIONNELLES DE LA FO.NCriON DE GREEN. I/)

d'après la formule (6), conduit à définir ijl(.v) par l'équation de Fredliolm

(II) -lXa-\~ I ;a(;j)-— log-^

ds

Le noyau de celte équation est holomorphe. Son déterminant ne peut être nul, car s'il était nul, on pourrait trouver une fonction |i(.s) non nulle qui annulerait le premier membre et le potentiel correspondant W^ serait une solution non nulle du probléuie de Dirichlet correspondant à des données nulles sur le contour, ce qui est contraire à l'unicité de la solution.

Il existe donc une fonction [jl (.s), donnée par une formule delà forme

(12) r.\Xa= Ua -+- / « ^ ( -y, Sa ) ds,

le fonction o étant holomorphe. Le potentiel W^ est alors une solution du problème de Dirichlet, et, de plus, nous voyons que, si le contour G est analytique et si les valeurs données a sont des fonctions holomorphes de s et de certains paramètres, tji(.ç) et, par suite, W^= Ux sont des fonctions holomorphes du point A et de ces paramètres. Cette proposition est due à MM. Schvvarz et Hadamard (').

16. La fonction de Green. — Pour pouvoir résoudre le problème de Dirichlet, quelle que soit la fonction donnée u sur le contour, il suffit de savoir le résoudre lorsque cette fonction est égale à la valeur

prise sur le contour par la fonction log -, /■ désignant la distance de A

à un point B quelconque intérieur à G. Ge problème n'est pas résolu

par la fonction log- elle-même, cette fonction étant harmonique,

mais infinie au point B. Soit hf^ la fonction qui le résout. On appelle foiiclLOJi de Green la fonction

(i3) ^A^Iogi — /ifç,

(') J. Hadamard, Mémoire sur le problème d'aiidly.se relatif à l'équilibre des plaques élastiques encastrées {Mémoires présentés à V Académie des Sciences, t. XXXIII, igocS, p. 28-27). Voir aussi mon Mémoire sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour {Acta mat/iematica, t. 42).

IjS DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

Elle est ainsi définie par les condilions d'être Ift soniTue de log - et

cV une fonction harmonique et régulière du point A, et de s^annuler quand A est sur le contour.

En appliquant la formule de Green aux fonctions g^^ et ^J' (il faut^ pour cela, isoler les points A et B par des petits cercles), on obtient la formule

La fonction de Green est donc une fonction symétrique des points A et B. C'est donc une fonction harmonique de B aussi l)icn que de A, et elle s'annule lorsqu'un quelconque des points A et B vient sur le contour.

En appliquant la formule de Green à ^^ et à la fonction harmonique ;<^, on obtient la formule

(i4) u.,= — fu'l^ds

qui résout le problème de Dirichlet.

La résolution de ce problème est ainsi ramenée à la connaissance

de la fonction de Green, et il suffit même de connaître -7— , qui est

une fonction d'un point du contour et d'un point intérieur au contour, c'est-à-dire une fonction de trois variables seulement. On peut même observer qu'il suffit de connaître la valeur de la fonction

^''^ ''^^^dJTdjr^:

a et M étant deux points du contour. En effet, cette fonction étant connue, la fonction

qui est une fonction du point A, harmonique et régulière à l'intérieur de C, et connue sur le contour ainsi que sa dérivée normale, est définie en tout point A intérieur à C par la formule (5). La fonc-

tion -^* est ainsi connue, et la formule (i4) résout le problème de

Dirichlet.

La fonction CJ^^ bien définie lorsque a et b sont des j)oints du