CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA. FONCTION DE GREEN. I
contour, et- dont la connaissance équivaut à celle de la fonction de Green elle-même, est la première dérivée de cette fonction qui ne soit pas nulle. Toutes les autres dérivées, pour les points du contour, s'en déduisent immédiatement; ainsi la formule (2) donne
V ï") , ., , = AV, -7 7 = ka S)!,, -j TT = f^^b \]in
dn^drih cUiadrib dnadnl ''"
ka et k}, désignant les valeurs de la courbure de G en a et b.
17. Cas du cercle. — Lorsque G est un cercle de rayon R, on a
(17) ^it^iog]^- 7'
d désignant la distance de B au centre du cercle, et r la distance de A au point B' conjugué de B dans le cercle; on vérifie immédiatement que cette expression possède bien les propriétés qui servent de définition à la fonction de Green. On en déduit
dg^^ d L L — IP — L
2R2sin2- ^^■
z désignant toujours la distance AM, p désignant la distance de A à la tangente au cercle en M, Q Tangle des rayons du cercle aboutissant aux points a et Z>, ab la distance de ces deux points. Il est à remar- (|uer que (J'I^ ne dépend que de la distance ab., et non du rayon du (X'rcle passant par ces deux points.
18. Singularité de la fonction de Green. — D'après la définition de cette fonction, et d'après le théorème de MM. Schwarz et Hadamard, la fonction Ag est holomorphe, de sorte que g^ a même singularité que log-, lorsque A et B sont intérieurs au contour G et que de plus le point B ne s'approche pas du contour. Mais il n'en est plus de même lorsque B est sur le contour; c'est alors la fonction «J qui est holomorphe (étant nulle), et /ij a la même singularité que log-« On est alors conduit à se demander ce qui a lieu lorsque A et B tendent vers un même point du contour.
LKVV. 12
Pour résoudre celte question, partons de la remarque que
d I ip
se réduit, quand A vient en un point a du conlour, à une fonction liolomorphe des points a et M. La fonction 'f (A, M), définie comme étant une fonction harmonique de A, sans singularité à l'intérieur de C ni sur G, égale à la précédente sur le conlour, est donc, d'après le théorème de MM. Schwarz etHadamard, une fonction liolomorphe des points A et M.
L'intégrale
■roXbéi^°sl-fi^,^i)]uds
est donc une fonction harmonique de A, égale à u sur le contour (en raison de la discontinuité du potentiel de double couche). Elle est donc égale à u^, et la comparaison de cette formule, qui donne une nouvelle solution du problème de Dirichlet, avec la formule (14)5 donne
La fonction o étant liolomorphe, la sinoularité de —r- est ainsi
' r 7 o dn
parfaitement connue.
Or cette fonction, permettant de résoudre le problème de Dirichlet, permet en particulier de déterminer AJ, et par suite ^^iV ^^ ^^ ainsi
(20; , ^,^:.log--j^— log-./.,
0' désignant la distance MB. Tenant compte de l'expression (19 ), on voit que gi^ est la somme d'une fonction liolomorphe des deux points A et B et de
(21) loS / ^Og — -y- I02 -ds.
r - J "= p dn "^ p
L'application de la formule de Green aux fonctions log - et log
P montre que l'expression précédente est identiquement égale à
(22) lOff / loff - -;- log-;<:/5 = log / — - ( log - log — ) â?5.
r T. J "" p dn ^ p' ^ r 2T.J^dn\^p^ p'/
CHAP. ir. — DERIVEES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GRERN. I7<J
Enfin on déduit de la formule (19) que ÇJJ est la somme de -jj et d'une fonction liolomorphe des points a et 6 du contour.
Le problème posé est ainsi résolu simplement pour la fonction de Green et celles de ses dérivées qui joueront le plus grand rôle dans la suite.
Les résultats précédents, reposant sur le théorème de ^IM. Schwarz et Hadamard, supposent naturellement le contour analytique. Si, au lieu de vouloir connaître la fonction de Green avec une erreur qui soit une fonction liolomorphe, on se propose seulement d'obtenir une erreur qui reste finie ainsi que ses dérivées jusqu'à un ordre déterminé />, il suffît de supposer que les coordonnées du point M du contour soient des fonctions de 5 continues ainsi cjue leurs dérivées jusqu'à Tordre p -\- \ .
19. Application de la représentation conforme. — Considérons une représentation conforme de la région intérieure à G sur la région intérieure à G', et appelons A' et B' les points qui correspondent à A et B. Une fonction harmonique du point A devient une fonction harmoni(|ue du point A'. D'autre part, la différence
/' désignant la distance AMV, est liolomorphe. On en déduit que
oA /A'
g désignant la fonction de Green relative au contour G', car la différence de ces deux quantités est une fonction harmonique de A' (ou de A), sans singularité, et nulle sur le contour.
Pour déterminer oj, il suffit donc de connaître une représentation conforme de la région intérieure sur une région pour laquelle on connaisse la fonction de Green, par exemple un cercle. On peut aisément en déduire une autre métliode pour l'étude de la singularité de la fonction de Green.
Appelons /(A) le rapport entre un chemin infiniment petit décrit par le point A' et le chemin correspondant décrit par le point A. On a évidemment, A et B venant en a et 6 sur le contour,
dria drii) "^ '^ dria' diii/
l8o DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
Prenons pour C une circonférence de rayon i et représentons la correspondance entre les points de G et ceux de C par la relation
La fonction/", en un point de C, est évidemment la dérivée de S, de sorte qu'il vient, en tenant compte des formules (i8),
(.3) <Jt= «^'^-^^'^-^
" ,,i„.F(V,)-FU.)
Nous avions déjà ramené le problème de Dirichlet à la détermination de la fonction d'^. La formule (23) nous montre qu'il se ramène à la détermination de la formule d'une seule variable F(5). Cette fonction étant connue, il se résout par deux quadratures.
20. Le problème de Dirichlet dans l'espace. — La plupart des résultats précédents s'étendent au cas de l'espace, en remplaçant le
potentiel logarithmique log - par le potentiel newtonien - l-^;^, dans
l'espace à n dimensions), et le facteur 27z qui intervient dans un
grand nombre de formules par le facteur 4"^ (d'une manière générale, le facteur à considérer est égal à la surface de la sphère de rajon i).
Il j a toutefois deux circonstances qui rendent impossible la généralisation de certains des résultats précédents.
1° L'expression
est remplacée par l'expression
d I p dn p ~ p^
qui ne se réduit pas à une fonction holomorphe des points a et M quand A vient en a sur la surface, mais devient infinie pour p = o. L'équation de Fredholm (i i) est alors remplacée par une équation à noyau singulier. M. Fredholm a d'ailleurs montré, par une méthode fort élégante, que les propriétés essentielles de son équation ne sont pas modifiées par une singularité de la nature de celle considérée ici.
