LA NOTION DE CONTINUITE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL

Sommaire. — Notations. — L'espace fonctionnel. — Définition normale de la continuité et du voisinage. — Autres définitions. — Voisinages de divers ordres. — Champs fonctionnels. — Continuité uniforme. — Fonctionnelles dépendant d'un paramètre.

8. Notations. — Lorsqu'une quantité U est une fonctionnelle (le .2'(/), dépendant des valeurs prises par cette fonction pour a^t%b, M. Volterra représente cette dépendance par le symbole

Pour simplifier l'écriture, toutes les fois que cela pourra se faire sans ambiguïté, nous supprimerons l'indication des limites a et b^ ou même nous écrirons simplement U| [x\ | ou même U, sans rappeler par les notations que cette quantité est une fonctionnelle de^(^). •

Si une quantité dépend de la forme de plusieurs fonctions, soit par exemple deux fonctions x et y, et de la valeur de certains paramètres, soit par exemple deux paramètres \ et u., la notation U I [oc, y, )^, [Ji] I ne marquerait pas suffisamment la distinction entre les fonctions et les paramètres. Nous adopterons dans ce cas Fune des notations

lh,^\[^,y]\; UI[.r,j|X, ajl.

La notation de M. Volterra

supprime également toute ambiguïté.

Si dans ces expressions on remplace x par une fonction de t et de

paramètres a, p, la fonctionnelle U devient une fonction de a, p, X, u. Nous distinguerons le rôle de la variable l de celui des paramètres a et ^ en écrivant

Ui[:r(ija, P)|X, Vir ou U),a|[:ra,p(0]|.

Les fonctions x{t) e\,y{t) et les variables X et ]x qui interviennent dans la définition -de U seront appelées ar^i^me/i^^ de cette fonctionnelle.

9. L'espace fonctionnel. — On sait les services que rend dans l'étude des fonctions de n variables le langage géométrique qui consiste à les considérer comme fonctions d^ un point de r espace à n dimensions. Un langage analogue est de même employé avec avantage pour les fonctions d'une infinité dénombrable de variables, qu'il nous arrivera d'avoir à considérer dans la suite, et pour les fonctionnelles qui sont l'objet principal de notre étude.

Pour fixer les idées, nous considérerons les fonctionnelles U dépendant des valeurs prises, pour o5^^i, par une fonction j;(^) définie d'une manière uniforme dans cet intervalle. Nous considérerons une telle fonction comme représentée par un point d'un espace idéal que nous appellerons V espace fonctionnel . La fonctionnelle U sera une fonction d'un point de cet espace.

Mais" un mot nouveau, s'il peut faciliter la généralisation de certains raisonnements, ne suffit pas pour résoudre une difficulté. L'espace fonctionnel diffère essentiellement de l'espace à n dimensions, comme nous allons bientôt le constater.

10. Définition normale de la continuité et du voisinage (^). — La notion qui est à la base de toute méthode infinitésimale est celle de continuité. Dans l'espace à n dimensions, une fonction est dite continue en un point A si, étant donné un nombre s positif, les valeurs prises par cette fonction en A et un autre point B diffèrent de moins de e, pourvu que B soit suffisamment voisin de A, c'est-àdire pourvu que la distance de ces points soit inférieure à un nombre

(•) M. Fréchet emploie le mot voisinage dans un sens un peu différent de celui que nous allons lui donner. Nous sommes d'accord pour l'emploi de ce mot avec M. Hadamard [Leçons sur le Calcul des variations, p. 48).

CHAP. II. — LA NOTION DE CONTINUITÉ DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. l3

convenablement choisi, qui est dit module de continuité correspondant à £.

Nous pouvons étendre cette définition à l'espace fonctionnel. Mais il faut préciser dans quel cas nous avons le droit de considérer deux points A et B comme voisins. Ce sera sans doute quand leur distance sera très petite. Mais comment définir cette distimce, que nous appellerons aussi distance des fonctions correspondantes a: (^) ety(^)?

Voyons ce que donne le procédé du passage du fini à l'infini. Dans l'espace à n dimensions, les points A et B ayant respectivement pour coordonnées ^,, . . . , ^„ et yi, . . ., yn-, leur distance R est définie par la formule

R^=(jK,-:r,)2H-...-+-(j«-^«)^

Pour rendre possible le passage à la limite, il faut remplacer la somme qui figure au second membre par la moyenne des termes

écrits et, par suite, chercher la limite, non de R, mais de /'= -— .

On est ainsi conduit à appeler distance des fonctions x{t) ety(^), ou des points correspondants A et B de l'espace fonctionnel, la quantité r définie par la formule

dt.

C'est cette définition que nous adopterons en principe dans la suite. C'est elle qui nous permettra de construire une géométrie de l'espace fonctionnel dans laquelle se généralisent avec leurs caractères essentiels les notions de sphère, d'angle, de courbure des surfaces, de surface minima, de fonction harmonique, etc. Au point de vue qui nous occupe actuellement, nous voyons qu'une fonctiony(^) devra être considérée comme infiniment voisine d'une fonction jc(f) si l'intégrale (i) tend vers o, c'est-à-dire si, suivant 1 expression consacrée, y{t) converge en moyenne vers x(^t). De même^ la fonctionnelle U^ du point A sera dite continue en A si Ub — U^ tend vers o avec r.

11. Autres définitions. — Les définitions précédentes, généralisations naturelles de celles employées dans la géométrie à n dimen-

l4 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

sions, ne sont pas suffisantes, et nous ne pouvons nous dispenser d'envisager d'autres sortes de continuité.

Dans l'espace à n dimensions, il suffit de limiter supérieurement soit R, soit /', pour que chacune des quantités |y, — j^, |, ..., \yn — ^«1 soit limitée supérieurement. Dans l'espace fonctionnel, la connaissance d'une limite supérieure de r n'entraîne pas la connaissance d'une limite supérieure àe\y{t) — ^(^)1 pour une valeur particulière de t.

Pour limiter supérieurement cette différence, nous pouvons considérer comme distance des fonctions :r et j^ la quantité

(2) M = n>ax |7(0 — ^(0 I {o^tS^i).

Avec cette définition, la fonction y{t) devra être considérée comme infiniment voisine de œ[t) si y{t) tend uniformément veTSx(t)^ et à cette nouvelle sorte de voisinage, que nous appellerons voisinage uniforme^ correspond une nouvelle sorte de continuité. L'intérêt de cetle continuité est prouvé par le fait que des fonctionnelles telles que le maximum de .t(^) entre o et i, ou bien la valeur de ^(^) pour une valeur particulière de ^, qui ne sont pas continues au sens du n' 9, sont continues avec cette nouvelle définition; il en est de même d'autres fonctionnelles que nous rencontrerons dans la suite.

Le voisinage uniforme est naturellement/>/a5 restrictif (\yxe le voisinage en moyenne, de sorte que la nouvelle définition de la continuité est moins restrictive que l'ancienne, c'est-à-dire est vérifiée par toutes les fonctionnelles continues d'après l'ancienne définition et aussi par d'autres.

Une autre définition possible serait de considérer la fonctiony(^) comme voisine de oc(^t) s\y{t) tend vers x{t)^ mais non uniformément. La fonctionnelle ^(t), t étant une valeur particulière de ^, et d'autres fonctionnelles dans la définition desquelles t joue un rôle particulier, sont continues avec cette définition, plus restrictive que la précédente. Malgré cela, elle ne nous paraît pas intéressante à considérer; cela tient à ce que, dans ces exemples, ce qui importe, ce n'est pas l'existence de la continuité pour chaque valeur du paramètre T, mais la manière dont la continuité dépend de t, le fait, par exemple, de savoir si, en faisant varier t, on a une famille de fonctionnelles également continues.

CHAP. II. — LA NOTION DE CONTINUITÉ DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. l5

D'autres définitions possibles du voisinage sont liées ô la distance Vp définie par la formule

(3) /'^'= f \y{t)-x{t)\Pdt,

p étant un nombre positif quelconque. Si Vp tend vers o, il y a une sorte de voisinage entre y{t) et x{t)y que nous pouvons appeler voisinage en moyenne de degré p. Il comprend comme cas particulier, pour p ^=.1^ le voisinage défini n^ 9, et est d'autant plus restrictif que/? est plus grand. En effet, si /? «< P et si r,. est donné, on vérifie sans peine que Vp peut prendre n'importe quelle valeur positive ^ Tp, mais ne peut dépasser /•,>.

Des différentes sortes de voisinage que nous venons de considérer, nous utiliserons surtout dans la suite celles qui correspondent aux définitions de la distance résultant des formules (i) et (2). Sauf indication contraire, c'est toujours de la première qu'il s'agira.

Nous dirons qu'un domaine est fini lorsque la distance de ses points à l'origine est limitée supérieurement. Nous appellerons modale fonctionnel d'une fonction x{t)^ et désignerons par 1|:2?(<) || la distance du point qui la représente à l'origine [point qui représente la fonction :r(^) = 0]. Ces expressions ont naturellement différentes significations suivant la définition adoptée pour la dislance.

12. Voisinages des divers ordres. — Les définitions précédentes de la distance ne sont pas suffisantes. Une fonctionnelle telle que

n'est pas continue, même avec la plus restrictive des définitions considérées jusqu'ici. Pourtant elle a une sorte de continuité que nous allons préciser, et qu'il faut envisager, si nous ne voulons pas exclure de nos recherches les fonctionnelles du calcul des variations classiques.

Nous dirons que y{t) a avec x{t) un voisinage uniforme d'ordre p û y{t) et sqs p premières dérivées tendent respectivement d'une manière uniforme vers x{t) et ses p premières dérivées. Il suffit d'ailleurs pour cela, û x ei y et leurs {p — i) premières dérivées sont continues, que la dérivée d'ordre p de y tende uniforme-

l6 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

ment vers la dérivée correspondante de .r, et que, pour une valeur particulière de t^ y et ses {p — i ) premières dérivées tendent respectivement vers X et ses {p — i) premières dérivées.

A cette définition, on peut faire correspondre la distance définie comme la plus grande valeur de

d(y — x)\ \dP(y — x)

' ' an max '

diy dti

dt^

ou

bien la

quantité

«0 lïiax

, max

dt I * ' ' I diP

«0, «1, . . .^ Op étant des coefficients positifs. Ces différentes définitions sont équivalentes au point de vue de la définition du voisinage qui en résulte.

Des remarques analogues peuvent être faites au sujet du voisinage en moyenne d^ ordre p^ défini par la condition quejr et ses dérivées jusqu'à l'ordre p convergent en moyenne respectivement vers x et

ses dérivées jusqu'à l'ordre p ou, ce qui revient au même, par la

, . . di' y di' X

condition que —r^ converge en moyenne vers —j—^ et que pour une

valeur particulière de t^ y{i) et ses p — i premières dérivées tendent respectivement vers .v(t) et ses p — i premières dérivées.

A ces deux définitions du voisinage d'ordre p, correspondent deux sortes de continaiié d^ ordre p. Une fonctionnelle, dans la définition de lacjuelie interviennent les dérivées de x jusqu'à l'ordre /?, aura, en général, la première de ces continuités, la plus restrictive, et parfois la seconde, comme c'est le cas pour les fonctionnelles du calcul des variations

., dx dPx > ,

f( t, X. ——> ' • •) — ; — dt.

^ ^ ' ' dt dtP I

Les notions de voisinage en moyenne d'ordre /?, voisinage uniforme d'ordre/?, voisinage en moyenne d'ordre /^+i, . . ., sortie plus en plus restrictives. Les continuités correspondantes sont, par suite, de moins en moins restrictives.

On peut envisager aussi un voisinage d'ordre infini, et une continuité correspondante. Telle sera la continuité de la fonctionnelle

im-X C^ï'"-