CHAP. II. — DERIVEES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN

et que sa méthode de résolution du problème de Dirichlet s'applique au cas de l'espace.

Mais il résulte de la singularité considérée qu'il n'est pas possible de généraliser les résultats du n" 19. Il ne semble pas possible, dans le cas de l'espace, de représenter par des quadratures en nombre fini une fonction ayant même singularité que la fonction de Green, c'està-dire différant d'elle par une fonction holomorplie. En tout cas, ce résultat n'est pas obtenu par les expressions qui correspondent aux expressions (21) et (22).

Dans un grand nombre de questions, il suffît d'ailleurs de connaître une fonction différant de la fonction de Green par une fonction restant finie, ainsi que ses dérivées jusqu'à, un ordre déterminé. Ce résultat peut toujours être obtenu par des formules élémentaires, mais qui deviennent rapidement compliquées dès que l'ordre considéré est élevé (^).

2° La notion de représentation conforme ne s'étend pas au cas de l'espace. Il en résulte qu'on ne peut pas trouver de fonction d'un seul point de la surface, analogue à la fonction F (5) du n° 19, dont la connaissance suffise pour résoudre le problème de Dirichlet. Ce problème ne peut être considéré comme résolu que quand on connaît au moins la fonction (j'^ de deux points de la surface. Cette circonstance augmente l'intérêt qu'il peut y avoir à considérer cette fonction.

Dans la suite^ nous étudierons surtout le cas du plan et nous éviterons d'utiliser la notion de représentation conforme lorsque cène sera pas nécessaire, de manière à présenter les raisonnements sous une forme permettant l'extension au cas de l'espace.