LA VARIATION DE L'A FONCTION DE GREEN
21 . La formule de M. Hadamard. — Supposons que le contour C se déforme, sa déformation étant définie à la manière habituelle par la donnée de ^n en chaque point. Cherchons la variation 8^i^ de la fonction de Green, correspondant à cette déformation, les points A et B restant fixes. Nous désignerons parle symbole S,, lorsque les
(') Voir mon Mémoire déjà cité des Acta niathematica.
l82 DEIXIKMFÎ PARTIE. — DKRtVKES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
j)oints A et B (ou un de ces points) sont sur le contour, la variation obtenue en supposant qu'ils restent sur le contour (ou que le point considéré j reste) en se déplaçant normalement à lui.
Lorsque B est fixe et intérieur à C, il résulte de la formule (i3) que 0^^^^ est harmonique et sans singularité à l'intérieur de C. Cette fonction est donc définie si l'on connaît sa valeur, lorsque A vient en un point a du contour. Or, dans ce cas, on a évidemment
(.4) o^;s = s,rf-gs«„ = -go«„.
On en déduit, en appliquante formule (i4);
(^^ J > '^Sii = / . 1— on ds.
an
Cette formule, due à M. Hadamard ('), donne la variation delà fonction de Green lorsque A et B sont fixes et intérieurs au contour.
Si A vient en a sur le contour, l'intégrale obtenue a la même dis-
continuité que le potentiel obtenu en remplaçant -7— par sa partie
lo.-'
infinie 2 — r-^, et l'on trouve pour ùg'{^^ non zéro, mais l'expression
déjà écrite (24). Si en même temps B vient en b sur le contour, on a de même, évidemment,
""' dna dnb
!2l2. La variation des dérivées de la fonction de Green. — Si A
et B sont intérieurs au -contour, la formule (20) peut être déri\ée
sans difficulté et donne la variation des dérivées de «,^.
ds^^ Si A vient en un point a du contour, —j^ étant la somme de
2 — -^ — - et d'une fonction holomorphe, les intégrales obtenues se
(^) Voir Comptes rendus^ 9 féM'icr 190J, et Leçons sur le Calcul des variations, p, 3o3 et suiv^ ,.
CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN. l83
comportent comme les dérivées d'un potentiel de double coLiche de densité
TT du
et l'on a, en tenant compte des formules (8) et (9),
\ ^dgl d Idgt^
