y— = — - -f- oric
dSa dsa \dna
on a— ka —, — on a ; — on\
dta dna dsa ' dna
\ dn.
dta dna ^ dna
dgl^ d-^ (,^\dgl
— V. p. / Cm -— — on — 2 -, ; — lo^— —, — ona ds.
ti: ^ JçX'^^ dn dndna\ ""ç^a/dna '' \
ds
On a d'ailleurs
= lim - — / 2-^ log- -T— ds = lini -7 — (4- — 2-) = o
x-^a dna Jç^ L dn \ ^ 0/ dn \ x—^adna
[d'après la note du n" 14 et la formule (li)]^ de sorte que l'on peut encore écrire
Considérons maintenant la variation û,, obtenue en tenant compte de ce que a reste sur le contour en se déplaçant normalement à lui, et qu'en même temps la direction de la tangente au contour en a tourne d'un angle on[^. La relation entre les variations 0 et ô, a déjà été écrite avec d'autres notations [formules (3i), n^ 76, première Partie], 11 vient, avec les notations actuelles et en tenant compte des propriétés élémentaires de la fonction de Green,
. dgf, ^dg{t d'^gt . dgl^ ,
dSa dSa dta dna dlla
dgl .dgl dg%
0^- =0— \- ka—, ona
dna dna dna
l84 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
et, par suite, en tenant compte des formules ('^6),
aSa
0,^ dSa
dUa
La première de ces formules était évidente a priori.
Une méthode analogue s'applique pour les dérivées d'ordres supérieurs, et lorsque le point B vient en un point h du contour. On a ainsi, pour la variation de la dérivée (f^;,
(.8) ag»=__L.,p.^
(/a Sî,' 5«
9 (7« Sn ^^"^
^Mog —
(29) ôig^ = (îg- + g«(A-«o/i«4-/',3/i6),
la valeur principale étant relative aux deux points singuliers a et b de l'intégrale, et ka et Â^ désignant les valeurs de la courbure en a et en b.
INTÉGRABILITÉ DE L'ÉQUATION {i5).
23. Formation de la condition d'intégrabilité. — En remplaçant la fonction de Green dans l'équation (20) par une fonction inconnue 4>J, nous obtenons l'équation aux dérivées fonctionnelles
/ON -^ V I r^*M ^*« - /
(3o) 04-^=-— / ^ "c/ir/5.
2 >. J(, rf/i <:/^
Cette équation admet comme solution, non seulement la fonction de Green que nous venons de définir, mais aussi, comme il est facile de le vérifier, la fonction analogue relative à la région intérieure à C et extérieure à un ou plusieurs contours fixes intérieurs à G. La
CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN. l85
condition d'intcgrabilité est évidemment vérifiée pour toutes ces fonctions. Mais toutes ces fonctions sont des fonctions symétriques des points A et B, harmoniques, s'annulant lorsqu'un des points vient sur le contour, et ayant même singularité, c'est-à-dire telle que la différence de deux quelconques d'entre elles est holomorphe lorsque les points A et B sont voisins du contour. En raison de tous ces caractères communs, nous pouvons nous attendre à ce que la condition d'intégrabilité ne soit pas identiquement vérifiée.
Pour former cette condilion, supposons d'abord que la fonction <I>j^ soit finie et continue ainsi que ses dérivées premières et secondes. On a dans ce cas
d^ti
^' dn
dn^
et, p
ar
suite.
{dH \ dn
dn J
fd^ii ^2ci>JJ
d^ ds
'1-r.J^. dni
d<Pi ^2cî,M.
dni dn
o/ii dsi
V dn dn'
'2-Jf: \ dn
fi^ dn J \ d/i ^TT^
dn
dH d^ \ 0J^ dn J
r/2 <ï>" dA^
^2(Ï)J[. rffi)j
d/) d//i d/fi d/ii dni dn dn
o/ii dsi.
iNous de\ons écrire que cette expression est identique à son adjointe.
Le coefficient de ùjiidSi dans l'intégrale est une fonction symétrique des points M et M<. La première condition d'intégrabilité (n*^ 4) est donc identiquement vérifiée. La seconde condition d'intégrabilité exige que le coefficient de 8/i' soit nul, puisque la dérivée la plus élevée de o/i qui figure dans l'expression (32) doit être d'ordre pair. La valeur du coefficient de on est indifférente. La seule condition d'intégrabilité esl donc
d^ii d^l>'^ d^ii d<P^
ds dn
dn ds
24. Le calcul précédent ne s'applique pas si la fonction <Ï>b a la même singularité que la fonction de Green. Considérons maintenant
l86 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
le cas d'une fonction de la forme
K - si -+- /^i
la fonction A,^ étant supposée finie et continue, ainsi que ses dérivées jusqu'à Tordre 3, lorsque les points A et B sont tous les deux voisins du contour.
Tenant compte de la deuxième formule (26), on voit que
,.,. .^*M I ^*M. r ^'^'îl' /
an -j.- du J^. d/ti d/i
