J^, d/iidfi \ d/ij ^ du J

Les formules (3i) et (Sa) sont alors remplacées par des formules dans lesquelles les coefficients de on ne sont pas modifiés, de sorte que la condition (33), reste nécessaire. La modification du coeflicient de 8/i est sans importance. Enfin, l'intégrale définie est modifiée, celle qui figure dans la formule (3a) étant remplacée par l'expression

(35) --V . f\^^ ^("^^n -^oA

•j.T. 'J^ \^diidni du \diiy ^ ^ du J

^ d^^l^ d^ /d^^ ^^^^ d^ g \ 1 dfiidn du \ drii ^ du j\

ds.

Si nous niontrt)ns que cette expression est identique à son adjointe, il en résultera que la condition d'intégrabilité, comme dans le cas régulier, est exprimée par la formule (33).

Nous supposerons que on admette, non seulement une dérivée première continue, mais une dérivée seconde partout finie. Alors,

tandis (fue -, — 7-^ et -; — — ont pour partie inlinie celle de -1 — -, — > ^ dndrii dii^dii ^ ^ dridn^

c'est-à-dire , '■ — -, leurs coefficients sont de la forme

A( .îl— 5) + |Jl(5i s)-,

À et u. restant finis. 11 en résulte que le passage à la limite représenté ])ar le symbole v. p. s'eifectue d'une manière uniforme, ce qui permet d'efîectuer une quadrature par la règle de calcul habituelle.

Pour démontier que l'expression (35) est identique à son adjointe, nous devons la multiplier par o, n ds, intégrer le long du contour G,

CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES I)K LA FONCTION DE GREEN. iSy

et vérifier que le résultat obtenu ne change pas si l'on échange les symboles o et 0|. Nous pouvons, dans l'expression obtenue, intervertir le symbole v. p. et le signe d'intégration, et considérer la valeur principale de l'intégrale double obtenue, c'est-à-dire la limite, pour £ = o, de l'intégrale obtenue en supprimant les parties du champ d'intégration pour lesquelles

Or le champ d'intégration ainsi défini ne change pas si Ton inte:vcrtit les points iVl et M,, et la fonction intégrée diffère de la fonction obtenue en échangeant ù/i et ù^fi par une fonction impaire, c'est-à-dire changeant de signe si l'on échange M et M<, et dont, par suite, l'intégrale est nulle. L'intégrale double considérée, et par suite sa limite pour £ = o, ne change donc pas si l'on intervertit les fonctions rj/i et ô,/i, de sorte que l'expression (35) est identique à son adjointe.

La formule (33) repr(''sent(; donc bien la condition d'intégrabilité, non sans doute dans le cas des fonctions ayant une singularité quelconque, mais dans le cas des fonctions régulières et dans le cas de celles ayant la même singularité que la fonction de Green.

Nous devons maintenant écrire que cette condition reste vérifiée quand le contour se déforme. Gela nous conduira à de nouvelles conditions; cette fois, les résultats obtenus dans le cas régulier et dans le cas singulier seront essentiellement différents.

25. Étude du cas régulier. — Nous supposerons 4>,^, non seulement, comme pour former la condition d'intégrabilité (33), fini et continu ainsi que ses dérivées premières et secondes, mais holomorphe, lorsque A et B sont voisins du contour.

On a, en tenant compte de l'équation (3o),

- on I —, — - —, 1- o/ii dsi.

i 2- ,/,, ^d/ii a/il "^

(36) Oi — r^ = - — z—on ,

as dt du du

Gette formule, la formule (3i), et les formules analogues relatives à la fonction 4>J/ permettent de former la variation du premier membre de la condition d'intégral)ilité. Gette variation comprend une intégrale définie, un terme en gaz, un terme en oji\ qui doivent être nuls séparément. Ecrivant (ral)ord que le coefficient de on est

l88 DEUXIEME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

nul, il vient

dii du ds ds

Pour continuer la discussion, il j a deux cas à distinguer.

Jrremier cas. — L un des facteurs — ^ et est nul; supposons

dn dri ' ^^

pour fixer les idées que ce soit le premier, et qu'il reste nul lorsque le contour se déforme. L'équation (3o) montre alors que <[>« i^^ dépend pas du contour. 11 en résulte de plus que ^^ ne dépend pas de B, car, quels que soient le point B considéré et le déplacement de ce point à partir de sa position initiale, il suffit de considérer un contour passant en ce point et normal à ce déplacement. La dérivée normale de 4>^i étant nulle, <l>j^ ne varie pas dans le déplacement considéré.

La fonction <Ï>b est alors une fonction cV an seul des points A et B, indépendante de l'autre et du contour. Une telle fonction vérifie bien, évidemment, l'équation (3o) et la condition d'intégrabilité(33).

Deuxième cas. — ^Supposons maintenant que —r^ et —7— ne soient

pas nuls, ou du moins ne le soient qu'accidentellement, pour un contour particulier, sans le rester quand le contour se déforme. Les équations (33) et (3^) sont alors des équations linéaires et liomo-

gènes en —r^ et —-^1 admettant un système de solutions non nulles. Leur déterminant est nul, ce qui donne

ces deux termes n'étant pas nuls séparément, puisque -~ n'est pas

nul .

Ce cas ne comporte pas de solution réelle. Pour les solutions imaginaires, il vient, en tenant compte de la formule (33),

^^^^ -ibï'^'-di' iin:-~"'~dr ,

(ou bien les formules obtenues en remplaçant dans celle-ci i par — t).