CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN
Cette formule à son tour doit rester vérifiée quand le contour se déforme. Tenant compte des formules (3i) et (36) et égalant les coefficients de on dans les variations des deux membres, il vient
dfi' ~ dtdn du- dtdn
Recommençant à égaler les coefficients de o/i dans les variations des deux membres, et ainsi de suite, on obtient successivement les conditions
( / dni' \ du dt )
qui montrent, puisque la fonction (pj^ est liolomorphe, que les conditions (38) restent vérifiées lorsque le point M s'éloigne du contour.
La fonction ^J est alors une fonction analytique de x^ + iy^ et de x-i — iyi (ou de x^ — iy^ et de x^-^-iy^^)^ x^ et y^ étant les coordonnées de A, x^ etyo celles de B.
Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes pour qu'il existe une solution de l'équation (3o) égale pour un contour particulier à la fonction <Ï>J. En effet, la forme de l'équation (3o) montre qu'elles restent vérifiées lorsque le contour se déforme, et la condition d'intégrabilité, qui résulte de ces conditions, reste également vérifiée.
26. Étude du cas singulier. — Supposons maintenant que <PJ soit la somme de la fonction Green et d'une fonction h^ holomorphe lorsque les points A et B sont voisins du contour.
La formule (3(3) n'est plus exacte, l'intégrale qui y figure représen-
tant la variation o — r- lorsque M est intérieur au contour, et étant
discontinue à la limite comme l'est, d'après la formule (g), la dérivée d'un potentiel de double couche de densité
•2 Tî du
Il j a donc lieu d'ajouter le terme \d fd^ , \ d^^i ^
ds \ dn J dt du
îi. d^k
k — -, — ùn ; — on
ds dn
et il vient
Cette formule et les résultats du 11° î24 permettent de former I; variation du premier membre de la condition d'intégrabilité. Annu lant le coefficient de ù/i', il vient
ds ds
Ces^deux facteurs, dont le produit est nul, doivent d'ailleurs être nuls tous deux. Si par exemple le premier était nul et non le second,
d'après la formule (33) la dérivée -7^' serait nulle, et d'après Téquation (3o), <^^ serait indépendant du contour, ce qui n'est pas possible, puisque sa partie infinie en dépend efTectivement. On a donc
En écrivant que ces conditions restent à leur tour vérifiées lorsque lé contour se déforme, on n'obtient cette fois aucune nouvelle condition imposée à la fonction fl>j. En effet, si elles sont vérifiées initialement, il résulte de la formule (39) et de la formule analogue relative à <I>J/ qu'elles restent vérifiées. Comme la condition d'intégrabilité (33) est une conséquence de ces formules, cette condition reste vérifiée. Par suite, à toute détermination initiale de fp^^ ayant même singularité que la fonction de Green et vérifiant les conditions (/jo) correspond une solution de V équation (3o).
Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'une solution sont ainsi beaucoup moins restrictives dans le cas singulier que dans le cas régulier.
Cela était d'ailleurs à prévoir. Si nous remplaçons la région intérieure à C par la région comprise entre C et un autre contour C , nous obtenons une autre fonction de Green, ayant dans le voisinage de G la même singularité que ^J, et vérifiant évidemment l'équation (3o) lorsque C se déforme, C restant fixe. Toutes ces fonctions, dont la forme dépend ainsi d'une ligne C, sont donc des solutions du problème que nous venons de traiter, et l'on devait s'attendre à trouver des solutions ayant un assez grand degré de généralité.
