L'ÉQUATION DE M. HADAMARD

27. L'équation de M. Hadamard et la fonction de Green. — L'équation aux dérivées fonctionnelles de M. Hadamard est l'équation

(1) 8Ti^- fw^^Wlonds,

Je

déjà considérée n** 12. Elle est complètement intégrable, non seulement, comme nous l'avons vu, dans le champ des fonctions symétriques, mais dans le champ des fonctions quelconques, étant exclues seulement les singularités pour lesquelles la formule (i) cesse d'avoir un sens pour les points du contour.

Étant donné le rôle joué dans la théorie de la fonction de Green par les dérivées normales, fonctions d'un point et d'une direction, nous considérerons non seulement des fonctions de deux points, mais des fonctions ^'(A, 8a; B, 9b) de deux points A et B et de deux directions données en A et B et définies par des angles Ôa et Gy. La direction de la normale intérieure au contour G en M sera définie par l'angle 8. L'équation

(2) S^^A, e.v; B, Od)- r^XA, 6a; M, 0)UXM, 6; B, Qn)onds

Je

ClIAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. 193

est analogue à l'équation (i), se réduisant à elle lorsque la fonction U' ne dépend pas de Qa et 9^.

Nous désignerons par -j— la dérivée d'une fonction suivant la

direction définie en A par l'angle 9^.

Appelons ^^ une solution de l'équation aux dérivées fonctionnelles de la fonction de Green

I rd^k d^\

(3) 8ci,A^ \—Jl.^inds.

^ 1- Jç^ dn dix

De cette équation résulte que

diip^dii^ iiz Jç^ diis^dn dn dii^

La fonction

2 Tz dnx dnji

est une solution de l'équation (2). En particulier, si ^^ est la fonction de Green «3, la fonction