dnx dfiu

qui se réduit sur le contour à Ç^, est une solution de cette

équation.

Si, au lieu de considérer une déformation quelconque du contour G, nous considérons une famille de contour bien déterminée, se déformant depuis un contour intérieur Co jusqu'à un contour extérieur G, de manière qu'un contour G et un seul passe par tout point A de la région comprise entre Gq et G,, nous pouvons supposer que l'on ait choisi pour 9a Fangle définissant la direction de la normale intérieure à ce contour. Get angle apparaît comme une fonction du point A, et l'expression (4) apparaît comme une fonction bien déterminée des points A et B. Gette fonction vérifie l'équation (i) pour la déformation considérée du contour G, ou bien, si l'on particularise les points A et B, pour toute déformation laissant ces Doints intérieurs au contour. Mais si ces points arrivent à être sur le contour, il est essentiel que le contour y soit normal aux directions correspondant aux angles choisis 9a et 9b.

MÎVY. 13

28. L'équation de M. Hadamard et la fonction de Gréen d'ordre 2. — - Des circonstances analogues se présentent avec la fonction de Green d'ordre 2. Cette fonction, que nous désignerons par Cî,^, intervient dans le problème qui consiste à déterminer, à l'intérieur d'un contour C, une fonction biharnionique ^ c'est-à-dire vérifiant l'équation

AAîi = o,

connaissant ses valeurs et celles de sa dérivée normale sur le contour C. La fonction G^^ est définie comme une fonction du point A, s'annulant sur le contour ainsi que sa dérivée normale, et étant la somme de r-log- et d'une fonction biharmonique et régulière à l'intérieur de C. C'est aussi une fonction symétrique des points A etB.

Sa dérivée normale étant nulle, c'est la dérivée seconde , ^ qui joue le rôle joué par la dérivée première dans l'étude de la fonction de Green d'ordre i. Ainsi la variation de Gj^ est donnée par la formule

et la fonction

dn-^ dn^

d^Gt,

dul dnl

est, par suite, une nouvelle solution de l'équation (2).

Mais on peut ici arriver à un résultai un peu plus simple. On a, en elïet,

d-^G^, d^Gi dGi, d-^G^

■^•^^» == IJI^ -^ -d^ -''-d^ = -J^'

Am désignant l'opération A effectuée en considérant G;^i comme fonction de M. La formule (6) peut alors s'écrire

^GJ = — ^ Am G^, Am G.I bn os, et la fonction

qui ne dépend plus du choix des directions considérées en A et B, est une solution de l'équation de M. Hadamard.

CHAP. m. — TRAXSFOftMATlO.NS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. igj

29. L'équation de M. Hadamard et la fonction Çj^ sur le contour. — L'équation (i) est plus simple (jiie réquation (3) parce qu'elle, permet de définir la variation de la fonction inconnue sans faire intervenir les dérivées de cette fonction par rapport aux coordonnées des points A et B. Mais si l'on veut ramener l'équation (o) à la forme (i), on ne le peut pas, et l'on est conduit, d'après ce qui précède, à se donner arbitrairement en A et B des directions définies par les angles Ôa et 8^.

Un moyen d'éviter cette complication est de ne considérer les valeurs des expressions (4) ou (5) que pour les points du contour. Ces expressions ont alors un sens bien défini; nous avons déjà vu l'intérêt qui s'attache à ces valeurs. D'une part, la connaissance de la fonction Cj"^ à laquelle se réduit, à un facteur constant près, l'expression (5) sur le contour suffît pour résoudre le problème de Dirichlet.

U autre part, la variation première de -^ — et, par suite, la variation seconde de «g introduisent cette fonction, dont la singularité, lorsque les points aeib sont voisins, est la principale cause de difficulté dans Tétude de l'équation (3). On mettra donc mieux en évidence le caractère de cette difficulté en faisant dépendre l'étude de g]^ de celle

Les points a et b devant rester sur le contour, nous devons considérer la variation 8, CJl et non la variation oCJ^. D'après le n" 22, on a

(7) §iff/' = ff/^A-::; 5,ia^ kb ^ni,)

^2 loff -1

ds.

b--p-fW<'r^n-.cjt,,,.^^

6/2 loo —

La fonction CJl est donc une solution de féquation

(8) o,Wt=Wt{ka5na+kbhib)

^ V. p.JynW'^l hi - s^F^ 8/i,

d- los —

dn diia d* log —

qui n'est au fond qu'une forme modifiée de l'équation de M. Hadamard, écrite de manière à ne faire intervenir que les valeurs de W^ sur le contour et à préciser le sens qu'il faut donner au second membre pour les fonctions ayant même singularité que ÇJ*. En posant

(9) ii'^=g?+5c?,

5C^ étant alors une fonction holomorphe, et en tenant compte de ce que, d'après le n** 22, nous pouvons, dans les formules (7) et (8),

remplacer les facteurs logarithmiques par-Cf^^ et -Ç//, on voit que la

transformée de l'équation (8) par la formule (9) s'écrit

10) Si5C^=5e^(A-«S/^aH-A-6S/i/.)-— f 3t^i:it'^l on ds

30. Nous avons obtenu l'équation (8) en formant la variation de (^l. Nous allons maintenant montrer le lien qui existe entre les autres solutions de cette équation et l'équation (3).

Soit <[ij^ une solution de l'équation (3). Supposons :

1" Qu'elle soit de la forme

la fonction Ji^ étant holomorphe lorsque les points A et B sont tous deux voisins du contour,

2° Qu'elle soit une fonction harmonique de chacun des points A et B;

3^ Qu'elle s'annule lorsque l'un ou l'autre de ces points vient sur le contour.

Je dis que, dans ces conditions, la fonction

<^^^ '"" driadub

est une solution de l'équation (8).

11 résulte, en effet, de la première de ces hypothèses que o^'l est représenté par l'intégrale du second membre de (8), et des deux