CHAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE L EQUATION. IQ

autres que

De ce résultat, on peut déduire que léquation (8) est complètement intégrable dans le champ des fonctions ayant même singularité que (j*^^, c'est-à-dire que l'équation (lo) est complètement intégrable dans le champ des fonctions régulières.

En effet, nous pouvons choisir arbitrairement pour un contour G la fonction W^ ayant même singularité que Ç^. La formule (i i) détermine alors sans ambiguïté une fonction $p vérifiant les trois conditions énoncées au début de ce paragraphe (on le voit en déterminant

d<pB . . . .

-j — comme fonction harmonique de B connue sur le contour ainsi

que sa dérivée normale, puis de même ^^ comme fonction harmonique de A, et vérifiant ensuite que cette fonction vérifie les trois conditions énoncées). De la première et la troisième condition résulte^ d'après le n° 26, l'existence d'une solution de l'équation (3) correspondant à la valeur initiale ainsi définie. On en déduit alors, par la formule (i i), la solution de l'équation (8) correspondant à la valeur initiale choisie pour W/*. Le résultat énoncé concernant l'intégrabilité des équations (8) et (lo) est donc établi.

On pourrait, bien entendu, le démontrer directement en utilisant les résultats établis n° 77 de la première Partie sur les fonctions dépendant d'un contour et d'un point de ce contour.