CHAP. II. — LA NOTION DE CONTINUITE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. I

L'exemple de cette fonctionnelle montre que l'ensemble des fonclionnelles ayant cette sorte de continuité est plus vaste que la réunion de tous les ensembles ayant des continuités d'ordre fini. En effet, pour aucune valeur de/?, elle n'a une continuité d'ordre/?. Ces sortes de continuités sont liées aux distances définies par exemple par la formule

dt

di'iy — x)

dtP

A étant un nombre positif, ou par des formules analogues où les coefficients aient d'autres valeurs.

13. Champs fonctionnels. — Les fonctionnelles que nous venons de considérer ne sont pas définies pour toutes les fonctions .r(^), mais seulement pour les fonctions ayant des dérivées jusqu'à l'ordre/? ou même des dérivées de tous les ordres. La plupart des fonctionnelles ne sont de même définies que pour les fonctions vérifiant certaines conditions, fonctions dont l'ensemble constitue ce qu'on appelle un champ fonctionnel. Tandis que, dans Tespace à n dimensions, les domaines d'existence des fonctions sont définis le plus souNciit par des conditions s'exprimant par des égalités ou des inégalités, la définition des champs fonctionnels comprend le plus souvent non seulement des conditions d'égalité ou d'inégalité, mais aussi des conditions relatives au mode de continuité ou à la nature analytique des fonctions.

La notion de champ fonctionnel est liée aux remarques qui précèdent sur les différentes sortes de voisinage. Une définition déterminée du voisinage n'a de sens que dans un certain champ fonctionnel. On ne peut, par exemple, parler de voisinage uniforme d'ordre p entre deux fonctions x\t) etjr(/) que si leur diff'érence a une dérivée d'ordre/?; celte notion n'est donc intéressante que si ces fonctions appartiennent à un ensemble tel que, entre deux fonctions quelconques de cet ensemlile, la distance définie par exemple comme la plus grande des quantités

max'IjK — ^ |, max

d{ y — x) 'dt

dP{Y — x)

dli'

ait un sens. Il est naturel, de plus, de supposer que la fonction o appartienne à cet ensemble, et l'on voit qu'on est conduit à ne parler

de voisinage d'ordre p que dans le domaine des fonctions admettant des dérivées jusqu'à Tordre p.

On voit que, d'une manière précise, une définition du voisinage résultant d'une définition déterminée de la distance, est liée à la notion du champ fonctionnel le plus étendu^ comprenant la fonction o, et tel que la distance de deux fonctions quelconques de ce champ ait un sens. Il j a d'ailleurs deux manières de comprendre cette relation, suivant que l'on considère une quantité infinie, mais non indéterminée, comme ayant un sens ou non.

Etant donnée Fimporlance des définitions de la distance résultant des formules (i) et (2), nous devons nous demander à quels champs fonctionnels elles correspondent.

Pour la distance définie par la formule (2), il n'y a pas de difficulté. Si l'on considère une quantité comme ayant un sens si elle est finie et déterminée, c'est le champ des fonctions bornées; aucune espèce de continuité n'est nécessaire. Si l'on considère une quantité comme ayant un sens si elle est finie ou infinie, mais déterminée, la restriction que les fonctions considérées soient bornées n'est même plus nécessaire. Ces remarques n'empêchent pas, étant donnée l'importance des fonctions continues dans les applications, qu'il y a souvent intérêt à ne considérer que le champ de ces fonctions et à utiliser la définition (2) de la distance.

Pour la distance définie par la formule (i), on ne peut pas considérer des fonctions discontinues quelconques. Mais la continuité n'est pas non plus nécessaire pour que cette formule ait un sens. Si l'on admet que la distance de deux fonctions puisse être infinie, le champ fonctionnel à considérer est celui des fonctions mesurables; dans le cas contraire, c'est celui des fonctions sommables et de carrés sommables.

Nous rappellerons, dans le Chapitre suivant, le sens de ces expressions pour le lecteur qui ne serait pas familiarisé avec les travaux de M. Lebesgue. Faisons d'abord une remarque.

Si une fonctionnelle est définie dans un certain champ, en résultet-il qu'on ne puisse pas considérer pour elle d'autre sorte de continuité que celle qui correspond à ce champ? Considérons, par exemple, une fonctionnelle U définie pour toutes les fonctions ayant des dérivées finies jusqu'à l'ordre />, mais n'ayant aucun sens si la dérivée d'ordre p n'existe pas ou devient infinie. Peut-on afiirmer,