APPLICATIONS
3L Les inégalités de M. Hadamard. — M. Hadamard a déduit des équations (3) et (6) des inégalités importantes concernant les fonctions de Green.
La fonction de Green g^ est toujours positive. Gela résulte de ce qu'une fonction harmonique régulière ne peut avoir ni minimum ni maximum. La fonction de Green, fonction harmonique de A, nulle sur le contour G, et positive et très grande sur un petit cercle F entourant B, est toujours comprise, dans la région annulaire située entre G et F, entre zéro et son maximum sur F.
L'équation (3), vérifiée pour la fonction de Green, montre alors
que
pour toute déformation telle que o/z soit partout négatif ou nul. Eu d'autres ternies, la valeur de la fonction de Green pour deux points fixes A et B augmente lorsqu'on remplace un contour enveloppé par un contour enveloppant.
Lorsque A et B sont confondus, la fonction g-f^ n'a pas de sens^ mais la fonction
qui a même variation qu'elle, a une valeur bien déterminée A (A) (•). L'équation (3) donne alors, en tenant compte des inégalités de Schwarz,
32. La fonction de Green d'ordre 2, G^, est vraisemblablement toujours négative pour un contour simple. Mais cela n'a pas été démontré. On peut alors seulement déduire de la formule (6), G]j ayant un sens lorsque A et B sont confondus, que, si un est partout négatif ou nul, on a
ÔG^<o,
De la première de ces inégalités, et du fait que G;^ est négatif pour un cercle très petit entourant le point A, résulte que celte fonction est négative pour un contour quelconque.
33. Malgré la brièveté des indications que nous venons de donner, le lecteur peut se rendre compte de la fécondité de la méthode employée.
Toutes les fois que l'on sait résoudre un problème, pour certaines valeurs particulières des données, les méthodes du calcul différentiel permettent de le résoudre d'une manière approchée pour des valeuis
(') D'après la définition de la fonction de Green, /i ( A ) est la valeur moyenne du logarithme de la distance d'un point du contour au jjoinl A, la moyenne étant calculée en donnant à chaque élément d'arc un poids égal à l'aDgle sous lequel il est vu de A
CIIAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATIO.V. I99
des données voisines des valeurs particulières considérées d'abord. Si les données comprennent une fonction arbitraire ou une ligne, la méthode consiste à former la variation de la fonctionnelle étudiée en fonction des variations des données. On peut ainsi étudier la fonction de Green pour des contours voisins de la circonférence. On peut étudier ses singularités en un point singulier M d'un contour G en considérant d'abord des contours voisins de G et réguliers dans le voisinage de M.
On peut naturellement appliquer des méthodes analogues à des problèmes beaucoup plus généraux que celui de la détermination de la fonction de Green relative à l'équation de Laplace et au problème de Dirichlet.
34. La recherche des solutions homogènes. — A un point de vue tout différent, on peut utiliser l'équation aux dérivées fonctionnelles (3o) du Ghapitre précédent à l'étude de la fonction de Green. Nous avons vu que les conditions d'intégrabilité de cette équation, très peu restrictives, ne donnaient aucun renseignement nouveau sur cette fonction; l'équation (3o) ne peut donc conduire, si on la considère seule, à la détermination de la fonction de Green, que si Ton suppose sa valeur connue pour un contour particulier.
11 n'en est pas de même, si l'on combine les renseignements que peut donner l'équation (3o) avec les propriétés élémentaires de la fonction de Green, notamment celle relative à sa singularité, celle d'être harmonique et celle d'être homogène et de degré zéro.
Lorsqu'on remplace la figure formée par le contour G et les deux points A et B par une figure semblable et très peu différente, la fonction de Green ne doit pas changer, d'après la propriété d'homogénéité. On a donc
. A '^^li- ^^H. '^^'h> '^^'h-
^A5 JKa et j^ii, j'b désignant les coordonnées de A et B, et o^Ta, oy,\, oxbi '^yiii leurs variations pour la déformation considérée. En remplaçant, d'autre part, og"^ par sa valeur, on voit que la fonction de Green est solution de Féquation
Gomme on peut considérer dans le plan quatre déformations infinitésimales indépendantes les unes des autres et remplaçant la figure par une figure semblable (par exemple une translation parallèle à Oj?, une translation parallèle à Ojr, nne rotation et une homothétie), on a, en réalité, quatre équations intégro-différentieUes vérifiées par la fonction de Grecii.
La question se^ pose naturellement de savoir si ces équations suffisent pour déterminer la fonction de Green, ou si, du moins, ajoutées à certaines propriétés élémentaires de ces fonctions, elles en facilitent la détermination.
3o. Remarquons d'abord que la réponse à la question posée, non au point de vue des calculs pratiques à effectuer pour la résolution des équations (E), mais au point de vue de la possibilité théorique de cette résolution, est indépendante du contour considéré.
En effet, le problème qui nous a conduit aux équations (E) consiste à trouver des fonctionnelles 4>y vérifiant l'équation aux dérivées fonctionnelles de la fonction de Green et ayant la même propriété d'homogénéité que cette fonction. Les équations (E) définissent les valeurs initiales de ces fonctionnelles pour un contour parliculier. Quel que soit le contour considéré, il est évident qu'on doit trouver les mêmes fonctionnelles, et par suite, le même nombre de solutions des équations (E).
Du moins ce résultat est très vraisemblablement exact. Pour le démontrer rigoureusement, il faudrait écarter l'hypothèse d'une fonctionnelle vérifiant les conditions indiquées, mais définie dans un champ fonctionnel ne comprenant qu'une partie des contours plans G.
Les mêmes remarques s'appliquent si, au lieu de chercher à définir la fonction ^„ par les équations (E), nous utilisons les propriétés suivantes :
1° Avoir même partie singulière que ^j^ dans le voisinage du contour, c'est-à-dire être la somme de ^3 et d'une fonction holomorphe lorsque les points A et B sont suffisamment voisins du contour;
2^ Vérifier sur le contour les conditions
