CUAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE L EQUATION. 20I
3*^ Etre dans le voisinage du contour une fonction harmonique de chacun des points A et B ;
4° Etre une fonction symétrique des points A et 1^.
En effet, ces conditions, supposées vérifiées pour un contour initial, le restent quand le contour se déforme. Si donc nous montrons que pour un contour particulier, par exemple un contour circulaire, ces conditions, jointes aux équations (E), suffisent à (h'terminer la fonction de Green, il en sera vraisemblablement ainsi pour un contour quelconque ( • ).
36. Nous avons déjà remarqué le rôle que jouent les valeurs des dérivées de la fonction de Green sur le contour, et en particulier de la première dérivée qui ne s'annule pas, que nous avons désignée par (jt-
La forme des équations (E), faisant intervenir les valeurs de ^b^^ sur le^contour, conduit à représenter cette fonction par un développement en série de Tajlor dans le voisinage du contour et à étudier
les conditions imposées aux dérivées successives ^ ^. . U nous suiiit <l'étudier les conditions imposées à *F/' = —, ~\ si, en effet, nous
^ dlla dlli, ^
arrivons à montrer que cette fonction est déterminée, les autres dérivées sont déterminées par les conditions a'* et .)° du n"* 35; il n'est
(') La difficulté d'une démonstration rigoureuse provient de ce que la propriété i", raie pour un contour initial C^, l'est seulement pour les contours assez peu lifférents de C^. Si l'on pose <I>y = g^^ H- /<^, la formule
^ 1- Jç\ du dn dn dn du du
-jH ds
montre que oh^ est holomorplie si Ay Tcsl, et l'on peut, en formant hf^ par des approximations successives, montrer rigoureusement ({ue A,, reste liolomorphe pour les contours très peu différents de Co- Mais il peut arriver que Ay cesse d'être liolomorphe dans le voisinage du contour pour des contours C assez diiïérents de C^; il s'agirait de montrer que cette circonstance ne peut pas se produiie pour des fonctions vérifiant les équations (E).
La première partie de la démonstration est exposée au n° 31 de ma Thèse. Je ne l'ai pas reproduite, parce que, ayant remarqué que la démonstration que j'avais donnée pouvait se simplifier, je n'ai pu encore arriver à la mettre sous une forme suffisamment simple.
d'ailleurs pas difficile, en faisant abstraction de ces conditions, de les déterminer par les équations (E). De toute façon, pour montrer que le problème posé au numéro précédent détermine bien (à une constante près) toutes les dérivées successives de ^J^, il suffit de montrer qu'il détermine bien W'I.
Les conditions imposées à W^ peuvent, comme nous venons de l'indiquer, se déduire des équations (E). 11 est aussi simple de les déduire du fait que W'I vérifie l'équation (8) et est homogène de degré — 2. Dans une défoiniation remplaçant la figure par une figure semblable, les points a el b ont des déplacements normaux ùn^ et 8/z/,, et des déplacements tangentiels ùSa et o^^. La variation de W'I^ due aux déplacements normaux, et celle due aux rotations des tangentes [qui est d'ailleurs nulle en vertu des conditions (i4)|5 "^^^nt contenues dans l'expression de ^^Wl donnée par la formule (8). 11 vient donc
(F) Si ^1 / + -r^ ô5« + -—^ ùs/, 4- 2^ '^ — = o,
<^Sa <)S(j i
ol désignant la Variation d'une longueur / liée à la figure; en
d'autres termes, 1 + y désigne le rapport de similitude de la figure
déformée et de la figure primitive.
Les équations (F) constituent quatre équations intégrales (') vérifiées par la fonction W'I. 11 faut remarquer que pour arriver à ce résultat l'hjpothèse que $3 soit harmonique est essentielle. En effet, sans cette hypothèse, les coefficients de Saîa et 8/Ib dans la formule (8) ne seraient pas ka^'l et A-^W/J, mais
dnldrib dnadn'l
Ce seraient deux fonctions nouvelles, distinctes de ^%^ qu'il faudrait éliminer. Les deux équations résultant de cette élimination
(*) Malgré la présence de signes de dérivation, elles se distinguent des équations intégro-dijférentielles qui comprennent une intégration par rapport à une variai»i(^ et une dérivation par rapport à une aulrc; lel était le cas pour les équations (E), contenant une intégration le long du contour C et une dérivation normale. Toutefois, elles se distinguent nettement des équations intégrales ordinaires par la \nv' scnce sous le signe d'intégration des valeurs U'jj et T]^* de la fonction pour deux systèmes différents de valeurs des variables.
CH\P. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. 2o3
peuvent s'écrire directeiiKiit en formant les équations (V) relatives à des déformations qui annuJeiit o/i^ et o//^, soit par exeiuple :
1° Une homotliétie par rapport au point de concours des tangentes en a et en b}
2" Une rotation par rapport au point de concours des normales.
iNlais ces deux équations ne suffiraient pas à déterminer W^^ tandis que nous allons voir, par l'étude du cas du cercle, que les quatre équations (F), jointes à la condition que W^ ait pour partie^ infinie celle de (j"J^ et soit symétrique en a et ^, suffisent (').
37. Étude du cas du cercle. — Dans le cas d'un cercle de rayon i, l'équation (F) relative à une rotation montre que ^F^' se réduit à une fonclion '}(0) de l'arc 8 ([ui sépare les points a et b. En raison de la pro])riété de symétrie de W^-, cette fonction est paire,
A cause de la symétrie de la figure par rapport au diamètre perpendiculaire à ab, l'équation relative à une translation parallèle à ab est identiquement véiifiée, et il reste à écrire les équations relatives à une translation perpendiculaire à ab et à une liomothétie. Nous considérerons, ce qui revient au même, les équations relatives à deux homothéties, l'une par rapport au point de concours des tangentes en a et b, l'autre par rapport au centre du cercle.
Pour écrire ces équations, nous ne prendrons pas o^^F'^ sous la forme (8), mais nous utiliserons les formules
w2= lim w)^ = -— lim A-,\M';;a/^
A, R —^ II, b '-i 7^ A, B — > n, h «/(.
ds.
(') On peut trouver qu'il n'y a pas très grand intérêt à arriver à montrer (|ue la fonclion de Green est déterminée si Ton utilise les é(juations (E), et, de plus, les conditions du n° 35, qui seraient presque suffisantes à elles seules. Aussi j'insiste sur le caractère essentiel de la méthode, qui est de ne pas tenir compte de l'hypothèse que la fonction de Green est harmonique dans toute la région intérieure au contour. Cette hypothèse est nécessaire dans la définition habituelle. Au contraire, nous arrivons à caractériser ta fanction de Green par un ensemble de propriétés ne faisani intervenir que ses valeurs dans' le voisinage du contour.
D"aill(Hirs, pratiquement, il ne peut y avoir intéièl (|u'à appliquer cette méthodi; à la reciierche de (/2. C'est par la formule de Green qu'on aura ensuite aussi simple-
ment que possible — ^, puis g^.
dn
Cette dernière formule a rinconvénient de faire intervenir de nouveau les valeurs de W^^ et W^ pour des points qui ne sont pas sur le contour (valeurs bien définies si l'on prend la direction du rayon comme étant la direction normale). Mais elle est préférable pour la suite.
Désignant par /- la distance de A au centre O du cercle et a l'angle des rayons OA et OM, W^j est de la forme 'i;(/', a), la fonction '];(/•, a) se réduisant à 'j'(a) pour /• = i ; les formules précédentes donnent
Si 4^(6) = <i;('0)(8/?rtH- o/i^) lim / ^|;(r, a) -];( r, 6 — 7.)onda.
Par un calcul facile, on trouve pour les équations (F) qu'il s'agit de former
lim / iL(r, a) <1^(/-, 6 — a) sin-sin dy. = o.
•2T.r=.lJ^ TV > / TV 7 / .,^ ^
lim / 4^(7', a) •];(/'. 0 — a) da = o.
38. Pour donner une idée de la méthode par laquelle on peut résoudre ces équations, commençons par faire abstraction du fait que J;(Q) devienne infini pour 6 = o. Le passage à la limite indiqué s'effectue alors sans difficulté et la deuxième équation s'écrit
Cherchant à représenter '|(0) par une série
(i6) 4/(6) =1 — -+- «j cos6 -h. . .-h a«cos;i6 -h. . .,
on trouve sans peine
La fonction •}( 9), dans les conditions considérées, est donc identiquement nulle.
39. En réalité, nous avons à rechercher des solutions non régulières des équations (i5). Mais ces fonctions sont la limite de fonc-
CHAP. m. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. 9.o5
lions 'i^(9) rt^giilières el dcveloppal)les en série de Fourier pour /' << i ; pour /• = !, ces dé\eloppements tendent \ers un développement divergent, que nous pouvons considérer comme représentant ^(B), et à l'aide duquel nous pouvons effectuer les calculs à peu de chose près comme s'il était convergent.
La seule précaution à prendre provient de ce qu'un tel développement peut représenter zéro sans être identiquement nul. Tenant compte de ce que les fonctions considérées, ayant la même singularité que la fonction de Green et ses dérivées, n'ont pas d'autre point singulier que le point r=ï, 9 = o, et de ce que dans le voisinage de ce point, leur produit par p^ reste fini (p désignant la distance au point singulier et j un nombre entier positif convenable), il est facile de déterminer tous les développements
ainsi susceptil^les de représenter zéro.
Posant
et remarquant que Dye~^^'^ a une racine d'ordre y pour 9 =: o, on a
/■ = 1 Jo
le passage à la limite s'effectuantsans difficulté, et ^o(ï> 9) étant nul. Donc a,! est un poljnome en «, de degré y — i au plus, et il vient
<l/o(0) = — H-N^ (co cos/iÔ -}- icxii sin/?.6 -f- C'2,11^ cos/?0 -f-. ., .),
le dernier terme étant un terme en nJ~\ Si 7^=3 et que l'on ne considère que des fonctions paires, on a nécessairement
(17) ^^0(6)= - -h2(^0-HC2/«2)cOS/ie.
Revenons maintenant aux équations (i5). Ces équations sont la
limite d équaliuiis i'acilrs à écrire en considérani deux points A et B intérieurs et introduisant des fonctions
'^(r,Q) = m et 6i(r, 6) = vrA,
les deux points A et B étant tous deux, pour simplifier, supposés à la même distance /• du centre. Ces fonctions 'i^(/', Q) et ^^ (r, 8) étant développables en séries de Fourier, on peut calculer les développements des premiers membres, puis passer à la limite. Cela revient at même que de reuiplacer '}(0) dans les équations (i5) par un dé loppement divergent de la forme (16) et faire le calcul comme s'il était con\(U'gent, a\ec celle différence que les équations complètes, écrites pour des points A et B intérieurs, introduisent peut-être des termes qui s'annulent à la limite sans que leurs développements s'annulent. Mais toutes les fonctions introduites, qui sont des dérivées d'ordre 3 au plus de la fonction de Green, n'ont pas d'autre point singulier que le j)oint 8 = 0, et leur produit par p^ reste fini. Les développements de ces termes sont donc de la forme (17). En définitive, on doit calculer les développements des premiers membres des équations (i5) comme si le développeuient (16) était convergent, et identifier les développements obtenus non à zéro, mais à des développements de la forme (17)-
Le calcul n'est pas difficile. On trouve pour 'i;(B) un déveloj)])ement de la forme
(18) C(C0S6 4- '2 COS7.6 -h. ..+ /? COS/^ 6 -f-. . .).
D'autre part, nous cherchons les fonctions •-L(8) avant même partie infinie que
Il est facil(! d'obtenir le développement de cette fonction au point de vue qui nous intéresse. On a, en effet, pour un point B intérieur,
dg[\ 2(1 — /M-osO) , T
d/ia i — 2 ;• cos 6 -+- /-'^ I — ;■ d'^
rcosO -f- r2 COS2O 4-.
CHAP. ll\. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE L EQUATION. 90y
éK désignant une paiiic i'<''cll(' (' ), vl
^ = — 2(cosO -f l /• COS 2 6 + . . . -4- /; /'«-l COS // 0 -4" . . - ),
dUa dilu
d'où, pour le développement dix ergenl qui représente ijl^
— 2 ( COS 0 H- 2 COS 2 0 +...+- yî COS n 0 + . . . ).
Le développement (i8), devant être la somme de Çf^^ et d'un développement convergent, oji a c = — 2, et ce développement est parfaitement déterminé.
Les équations (E) ou (F), jointes aux propriétés connues de la fonction de Green dans le voisinage du contour, déterminent donc parfaitement g^^ ^^ par suite la fonction de Green, dans le cas du cercle, et par suite, très probablement, dans le cas dun contour quelconque.
40. Extension au cas de l'espace. — Les résultats précédents, relatifs aux équations aux dérivées fonctionnelles en général, à celle de la fonction de Green en particulier, s'étendent aisément au cas de l'espace. 11 en est de même de la réduction de cette équation à celle de M. Hadamard, du rôle joué par les valeurs sur le contour <le la fonction d'^^, et de la mise en équations du problème de la recherche des solutions homogènes. De même, pour savoir si ce problème est déterminé, il suffît de le résoudre dans un cas particulier.
11 semble naturel de considérer le cas particulier de la sphère. Mais on obtient des résultats plus simples dans le cas du cylindre de révolution. Ils présentent en outre l'intérêt de conduire à la détermination de la fonction de Green dans un cas où elle n'est pas élémentaire.
Prenant l'axe du cylindre pour axe des^, et le point a dans le plan :3 = o, Ç/^ devient une fonction J;(B, z) qui joue le même rôle que la fonction ']>(0) dans le cas du cercle. Il s'agit de savoir si elle est déterminée par les équations intégrales qui généralisent les équations (F).
(') On remarque que ce développement est de la forme (17), avec c^= o^ ce qui «tait à prévoir, puisque la fonction considérée s'annule sur le contour et que son produit par p reste fini.
2o8 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉKS FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
La ^énrralisalion naturelle de la niélliode suivie dans le cas du cercle |consiste à représenter la fonction à^ considérée comme fonction de 9, par une série de Fourier, et considérée comme fonction de z, par une intégrale de Fourier, c'est-à-dire à poser
ih(b, z)= j cos?5F(6, t)dt,
F(0, t) = lMt)-^^Mt)cosn^,
les séries considérées pouvant d'ailleurs, comme dans le cas du cercle, être divergentes.
La transformation des équations intégrales du problème conduit à des équations de Riccati vérifiées par les fonctions fji{t) et à des conditions initiales définissant parfaitement ces fonctions. La fonction de Green en résulte (^).
4L La transformation faite sur 'i>(9, z) équivaut à une transformation analogue faite sur la fonction de Green. Si /*, et /'o sont les distances des points A et B à l'axe du cylindre, on peut poser
(19) /Ç'i^ = ^(n, '^2, 0, ^)= / qosI^-((t\, r^.^, t)dt,
et l'on a évidemment
La fonction y, ainsi introduite par la transformation des équations par l'emploi d'une intégrale de Fourier, est une fonction de t^ et des points A' et B', projections de A et B sur le plan z ^ o. M. Bouligand a remarqué que cette fonction n'est autre que la fonction de Green relati\ e au cercle, section du cylindre, et à l'équation
(le symbole A désignant^ -h — ; dans respace, appliqué à ^'^, il
désignera naturellement --— -\- ■—- -1 — r— ; )•
(•) Fo//-Paul LÉVY, Sur la fonction de Green ordinaire et la fonction de Green d'ordre deux relatives au cylindre de ré^'olution {Rendiconti ciel Circolo niatcniatico di Palernio^ t. XXXIV, 191 2),
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Remarquons, en effet, que, u{x^ y^ t) vérifiant cette équation, en posant
v{x,y,z)=zi costz u{x, y, t)dt,
on a
\ç> = I cos tz(^u — i'u) dt = o.
De même, si u s'annnle sur le cercle et a la singularité voulue pour la> fonction de Green dans le plan, ç s'annule sur le cylindre et a la singularité voulue pour la fonction de Green dans l'espace. On voit donc bien que, en prenant pour m la fonction de Green y relalive au cercle et à féquation (20), on trouve pour c la fonction g-'^.
Cette remarque s'étend d'ailleurs au cas d'un cylindre quelconque. I.a détermination de la fonction ^j^ pour un cylindre se ramène par la formule (19) à la détermination de la fonction de Green relative à sa section droite et à l'équation (20). On ne doit pas s'étonner dès lors que cette transformation, qui ramène le cas du cylindre de révolution au cas simple du cercle, nous ait permis de déterminer la fonction de Green. Ce résultat aurait pu être obtenu sans le secours de l'analyse fonctionnelle.
42. Nous pouvons maintenant apprécier les résultats obtenus par
a recherche des solutions homogènes.
En théorie, nous sommes en possession d'une méthode toute nou- '11e pour la détermination de la fonction de Green. En pratique, cette métliode nous conduit à des équations intéales que nous ne savons résoudre que dans des cas particuliers, sont précisément des cas où la fonction de Green est élémentaire, u du moins peut être obtenue sans le concours de l'analyse fonctionnelle.
Comme application de l'analyse fonctionnelle, le résultat est plutôt nf'gatif. J'ai cru toutefois devoir l'indiquer, car il est possible qu'il suggère des applications plus fécondes (').
(') Ce Chapitre a été rédigé avant la publication des Notes de M. Julia dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences (1921, i^' semestre). Ces Notes indiquent de nouvelles conséquences des équations aux dérivées fonctionnelles de M. Iladaniard; je nie contente de les signaler, ne pouvant, sans retarder la publi- < atiun (l<; cet Ou\rage, leur accorder la place qu'elles mériteraient.
