CHAPITRE IV

Sommaire : Drfinitioii des équations aux déiivëes fonctionnelles partielles. — La condition d'intégrabilité. — Définitions j^éométriques. — Le problème de Gauch}^ — Calcul des éléments du second ordre. — Equations des caractéristique?. — Propriétés des caractéristiques. — Solution du problème de Cauchy. — Intégrabililé des équations des caractéristiques. — La notion d'enveloppe. — La notion d'intégrale complète. — Les é(|uations linéaires. — Cas des fonctionnelles dépendant d'un contour plan G et d'une fonction u{s).

43. Définition des équations aux dérivées fonctionnelles partielles. — Ces équations sont, par rapport à celles que nous vencnis d'éliilier, ce que sont les équations atix dérivées partielles par rapporl ux équations ordinaires.

Pour exposer la théorie de ces équations, nous nous contenterons le considérer le cas d'une fonctionnelle U déj)endant de deux fonctions .27(^) ety(^), définies dans Fintervalle (o, i). Sa variation est de la forme

Si les dérivées fonctionnelles U' et U' étaient données toutes les

deux par des équations de la forme

LV)= *i I r^(0, y in 1 u, ^] I, lij(T)= *ol [x{f), y(t . I u, tJ 1,

la formule (i) deviendrait une écpiation analo<>ue à celles (pie nous venons d'étudier. Elle s'y ramènerait en considérant une fonction X(^) égale à x(:>.t) entre o cl - et •dy(2t — i) entre - et i; su

donnée équivaudrait à la donnée des deux fonctions x(t) et r(/), et l'on aurait une (l(''ri\(''(' fonctionnelle uni(fu(*, L'x, donnée en fonction

CIIAP. IV. — ÉQUATIONS ALX DÉRIVÊKS FONCTIONNELLES PARTIELLES. 21 [

de X(^), t et L, par une fonmile de la forme (*)

On a, au contraire, un type nouveau (-), si une seule des dérivées fonctionnelles est donnée, en fonction de l'autre, et naturellement toujours de x{t)^ y{^)i ^i U, c'est-à-dire si l'on a

(-2) U;,x) = *| {x{t), yit), U^,,) 1 U, -] |.

Une telle écpuition est dite équation aux dérivées fonctionnelles partielles vérifiée par la fonctionnelle U ('').

Elle apparaît comme la «généralisation, par le ]nocédé du passage du fini à l'infini, d'un système de la forme

( du [ ()u Ou du \

vérifié par une fonction u de in variables x,, œ^-, ..., ^«, J'i, y-i-, • • •, Yn- Sa théorie est tout à fait analogue à celle d'un tel système c*).

4-4. La manière la plus simple de poser le problème de Gauchy pour une telle équation consiste à se donner U en fonction de x{t)^ pour une détermination particulière yo(^) de y{t). Si, à partir de

(') Toutefois, si l'on piVcise la forme de la fonelionnelle F, introduite de cette manière, on remarque qu'il faut considérer comme naturel qu'elle dépende spécialement, non seulement de x{t), mais aussi de x ix ±: -\. Ainsi, bien que nous

soyons conduits à une équation rentrant dans le type général déjà étudié, on voit que ce nouveau point de vue peut conduire à considérer comme intéressants des cas qui auraient peu de cliances de se présenter dans un problème n'introduisant dès le début qu'une seule fonction inconnue.

(^) Il peut d'ailleurs se rattaclier au tj^pe étudié n" 6. Voir note i du n" 6.

(') On pouri-ait donner des noms différents aux arguments des fonctions x et y. La théorie est aussi générale en leur donnant le même nom et se prête mieux aux applications les plus fréquentes dans lesquelles la signification du problème posé conduit à considérer x et y comme fonction d'une même variable; en général, U^ (-) dépendra spécialement des valeurs de U^, x Qt y pour ^ = x.

('') Voir Paul Lévy, Sur V intégration des équations aux dérivées fonctionnelles partielles {Rendiconti del Circolo niatematico di Palernio^ t. XXXVII, 1914). On trouvera dans ce Mémoire, exposées successivement, les théories du syslème (3) et de l'équation (2), de manièie à mettre cette analogie en évidence.

a 12 DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

cette détermination initiale, j(^) varie en fonction d'un paramètre Â, la formule (2) donne immédiatement la dérivée de U par rapport à X, et permet le calcul des dérivées successives. On peut donc arriver à définir U pour une valeur quelconque de X.

La démonstration rigoureuse de ce résultat résultera de ce que les équations du type (2) se ramènent à des équations aux dérivées fonctionnelles ordinaires pour lesquelles nous savons, dans certains cas, établir l'existence des solutions. Il y aurait tout de même intérêt à généraliser les théorèmes de Gauchy-Kowalevsky sur les équations aux dérivées partielles. En tout cas, ce travail est indispensable pour une étude complète des équations d'ordres supérieurs ; il n'a pas encore été fait.

4o. La condition d'intégrabilité. — Apiès avoir démontré, ou provisoirement admis, l'existence d'une solution lorsque y (i) varie suivant une loi déterminée, il y a lieu de chercher si le résultat, pour une fonction donnée Y(^), est indépendant des déterminations de^(^) intermédiaires enlve yo{t) eiY{t). La condition, pour qu'il en soit ainsi, est la condition d^ intégrahilité. D'après la Note qui termine le Chapitre I (le raisonnement fait à cet endroit s'appliquant sans difficulté au cas actuel), cette condition se forme en écrivant que, les déterminations de y{t) étant supposées dépendre d'une manière quelconque de deux paramètres A et a, on a toujours

Nous avons vu, au n° 78 de la première Partie, que cela revient à dire que

^^ 1 ÔU;.= #(8;r)H-G(8jK),

E et G étant des fonctionnelles linéaires identiques à leurs adjointes respectives, et F et ^ étant les adjointes l'une de l'autre.

Pour y(^t) =^yQ(t)j U se réduit à une fonctionnelle donnée de a;(t)j U;^etE(o:r) sont des données, et la condition que E(o^) sojt identique à son adjointe est sûrement vérifiée. Pour calculer les fonctionnelles F, # et G, il faut tenir compte de l'équation (2). Formons d'après cette équation la variation de U^., t restant constant et

la variation de L' étant

/ {V^ ^x -h V'y ùy) dt

on trouve une relation de la forme

(6) SU;.= H(SU'^)H-L(8^) + Li(5j^),

H, L et L, désignant des fonctionnelles linéaires, dont nous désignerons les adjointes par 3C, .<^et J^j . Remplaçons SU^ et oU^ par leui's valeurs (5) et égalons séparément les termes en ^x et oy des deux membres. Il vient

La première de ces équations donne ^(ox). On a alors pour l'expression adjointe

et en portant dans la seconde équation (-)

G^y) = H I E[3t{?>y)] \ -+- H[41(3r)] + Lii^r). .

Pour que la condition (4) soit sûrement vérifiée, il reste à écrire que G (8/) est identique à son adjointe. Comme le premier terme est identique à son adjointe, il reste à écrire que l'expression

(8) H[4L(âj.)] + Li(ojK)

est identique à son adjointe L[X(oj/)] -{- J^i (Sj'V Telle est la condition d'intégrabilité de l'équation (2).

On remarque que la fonctionnelle E(o:r), liée aux dérivées fonctionnelles secondes, qui s'introduit dans les calculs, disparaît du résultat et que la condition d'intégrabilité est une équation aux dérivées fonctionnelles du premier ordre. Cette circonstance généralise une circonstance bien connue dans la théorie des systèmes de la forme

au / du

du / ,)u \

Il peut arriver que la condition d'intégrabilité soit identiquement

vérifiée. L'équation (2) est complètement intégrable. Le problème de Caiichj tel qu'il a été posé au n"* 44 admet une solution bien déterminée pour eliaque fonction Y(^), indépendante des valeurs àe y{t) intermédiaires entre jKo(0 ^^ ^ {^) ^^^^ interviennent dans ce calcul. La solution générale de l'équation (2) dépend alors d'une fonctionnelle arbitraire de x{t).

Si la condition d'intégrabilité ne contient pas U et U^, et constitue une relation entre ^, x{t)^ y{^)i il ^^ peut évidemment exister aucune solution de l'équation (2).

En général, sans être identiquement vérifiée, la condition d'intégrabilité contient U et U^. Elle constitue alors une équation aux dérivées fonctionnelles que doit vérifier, pour chaque détermination dey(z), U considéré comme fonctionnelle de x[t) (ou exceptionnellement une équation ordinaire déterminant U). La détermination initiale de U pour y(^) ==:jKo(^) doit être alors choisie parmi le^> fonctionnelles vérifiant cette condition. Mais cela ne suffit pas. Il faut que, quand y'{t) varie, la variation de U étant donnée par l'équation (2), cette condition reste vérifiée. On obtient ainsi des conditions d'intégrabilité de rangs 2, 3, ..., qui peuvent donner lieu aux différents cas déjà indiqués au n'' 6.

46. Définitions géométriques. — Nous considérerons un ensemble de déterminations de .x{t)^ y{t)^ et U comme constituant un /;oi/?.^ d'un espace fonctionnel^ plus étendu que celui considéré dans la |)remière Partie, dont un point représentait seulement une fonction x{t). En employant le langage des nombres transfinis, on peut dire que l'espace fonctionnel considéré dans la première Partie étant à w dimensions, nous considérons ici l'esiJace à 2(0-1-1 dimensions.

pace

Nous appellerons respectivement ces espaces E(o et E^f^^i.

Nous appellerons variété un ensemble continu de points; pour définir la continuité, nous dirons que deux points sont infiniment voisins si les valeurs correspondantes de U sont infiniment peu différentes, et si' les déterminations correspondantes de x^t') G\.y{^t) sont infiniment voisines, la définition du voisinage étant une de celles définies dans l'espace fonctionnel ordinaire; en principe nous su]^poserons qu'il s'agit de voisinage en moyenne.

Nous appellerons courbes et surfaces des variétés w ou 2to fois étendues; nous allons d'ailleurs préciser cette définition.

Une surface est le lieu des points pour lesquels U est une fonctionnelle donnée (continue) de x{t) et y{t). Lue surface est un plan si celte fonctionnelle est de la forme

Uq étant une constante et U< et Uo des fonctionnelles linéaires.

Deux surfaces, (-ontenant un j)oint x(t), y(t)^ U, sont tangentes en (ie })oint si en ce point les déleriuinations de oV relatives aux deux surfaces sont les mêmes. Si les Nariations des fonctionnelles U c()nsid(''rr<'s sont de la fornuî

cela rcNieul à <lii(' ([in\ pou i- les déterminations considérées de x{t), y(f)^ les \aleur^ (!<' L '^, et l/^. sont les mêmes pour les fonctionnelles repn'senlant le> deux surfaces.

Un plan est bien défini par la donnée de L^, L'^. et d'un de ses points, l n élément de contact ^ constitué par l'ensemble d'un plan eX d'un de ses points, est défini j)ar les déterminations de^(i),y(^), L', U^., l '.. L'ensemble d'un point d'une surface et du plan tangent en ce point est un élément de contact appartenant à cette surface. Deux surfaces avant un élément de contact commun sont tan^rentes en ce point.

Une surface, représentant ww^^. fonctionnelle l solution de l'équation (a), est dite surface intégrale de cette équation. Tous ses éléments de contact, véiiliant cette équation, sont dits éléments d intégrales.

Une courbe est un lieu de points dépendant d'une fonction arbitraire, que nous supposerons être y{^t). Y désignant une fonctionnelle dejK(0' ^'^ ^'(0 "^^^ fonction de t dont la forme dépende d'une manière quelconque dejK(/), nous appellerons courbe C celle définie par les formules

(<)) .r(0 = ^(0, U=:Vl[jK(.OJJ.

Nous désignerons la variation de (^(^), quand y^f) varie, par K(o)-), et supposerons que celle de V est de la forme

dt.

2l6 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

On en déduit sans peine la définition des tangentes à la courljc. En un point de la courbe, le plan défini par V^ et V est tangent à la courbe si Ion a

(lo) o\} ~ I {\}'jcOX^\}'yOy)dt

pour un déplacement infinitésimal quelconque sur la courbe, c'està-dire si Ton a, quel que soit ùy^

•= f Zy[^{\J',)-^\}'y]dt (^ désignant l'expression adjointe de K), c'est-à-dire enfin si

(II) v;=^c(Ui)-h u;..

D'une manière générale, nous dirons qu'un |)lan contenant un ])oint donné d'une variété et défini par UJ^ et U' est tangent en ce pointa une variété, si Féquation (lo) est vérifiée au point considéié pour tout déplacement infinitésimal situé sur cette variété.

Nous dirons que des éléments de contact ont une enveloppe si leurs points décrivant une variété, le plan correspondant à chaque point touche cette variété en ce point. Nous appellerons multiplicité l'ensenible de ces éléments. Nous considérerons >pécialement deux sortes de multiplicités :

i*' Celles constituées par des points d'une courbe et des plans tangents à cette courbe ;

2° Celles constituées par une surface et les plans tangents à celle surface.

47. Le problème de Cauchy. — Le problème de Cauchj relatif à l'équation (2), que nous supposerons complètement intégrable, consiste à trouver une surface intégrale S contenant une courbe donnée. Nous ne l'avons considéré au n** 44 que dans un cas particulier. Considérons le cas général de la courljc C donnée sous la forme (9), et nous allons chercher à déterminer U en calculant ses dérivées fonctionnelles successives en cliaque ])oint de la courbe ii.

Les dérivées fonctionnelles premières seront données par les équa-

lions (2) et (lo), cette dernière exprinianl ((ue le plan tangent délini par UJ^ et U^, touche la courbe G. On en dédiiil

Cette équation détermine L/^ en chaque point de la courbe C, et Fune quelconque des équations (2) ou (9) donne ensuite l ' . L'ensemble des plans tangents à S le long de la courlie C étant roniiu. nous connaissons une multiplicité tangente à S le long de (ù.

Il peut arriver que la dérivée \j'^ ne soit pas déterminée par Téquation (12). Dans le cas où la fonctionnelle 4> est linéaire en L^, c'eslà-dlre dans le cas où l'équation étudiée (2) est linéaire en 11^ et L ', , il ])eut même arriver que l'équation (12) soit une identité. Nous reviendrons plus loin sur ce cas. Mais dans le cas général des équations non linéaires, c'est seulement en calculant les éléments différentiels du second ordre que nous pouri-ons obtenir des solutions dépendant d'une fonction arbitraire.

48. Calcul des éléments du second ordre. — Soit donc, en gardant les notations du n"* 4o, à calculer les expressions E(oj?), 3'{<ix). F(8^), G(ojk). Pour un déplacement le long de la courbe C, oU^ et oU^ ont des valeurs connues, que nous désignerons par [oU^] et [SU'^.J. On a alors, par les formules (5),

[6U',] = E[K(8r)J+F(5jK), [3U;.] = 3^[K(oj)] + G(oj^).

D'autre part, les formules (^) donnent, en remplaçant chaque terme par l'expression adjointe

i F(Ô7)=:E[3€(Ô7)l-f- yX^y), Remplaçant F et G par ces expressions, il vient

^' ] [3u;.] = #[K(5^)-i-ae(5j^)]-4-4:i(8j').

Supposons déterminée une fonction Zy telle que

2l8 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

les expressions E et ^ sont données par

E(8,r) = [8u:,]- <(ôr),

et F et G par les formules (i5). La détermination complète des éléments du second ordre dépend donc de la résolution de Féquation (i5), qui est en général une équation intégrale. On verrait sans peine que le calcul des éléments de tous les ordres successifs dépend de la même équation.

On peut d'ailleurs présenter le résultat un peu autrement. Remplaçant dans la première équation (i4) chaque terme par son adjointe, il vient

(17) ^[E(aa7)]4-H[E(Ô^)] = jSU'.j-LCSr),

j SU^ J désignant la fonctionnelle adjointe de [oU^[. La fonctionnelle E(8.r) est ainsi donnée par une équation intégrale linéaire, adjointe de l'équation (i5); ^(ô^), F(8j) et G{^y) sont ensuite donnés par les formules (5) et (i3).

L'expression E(ox) étant la variation de O,'^ considéré comm(^ fonction de ùx, le premier membre de l'équation précédente n'est autre que la variation du second membre de l'équation ( 12), lorsque la fonction inconnue varie.' Son déterminant est le déterminant fonctionnel de l'équation (12). C'est donc du déterminant fonclionnel de cette équation (12) que dépend la possibilité de déterminer la surface intégrale contenant la courbe G. S'il n'est pas nul, le problème est possible et déterminé. S'il est nul, il y a impossibilité ou indétermination, et en cas d'indétermination, le calcul des éléments différentiels de chaque ordre introduit le même nombre de paramètres arbi traires.

49. Équations des caractéristiques. — Lorsqu'il j a indétermination dans le calcul des éléments du second ordre, on dit que la multiplicité, constituée par la courbe G et les plans tangents obtenus le long de cette courbe, est caractéristique. Si l'indétermination esl telle que l'expression E(o^) soit en chaque point une fonction arbitraire de G, nous dirons que c'est une caractéristique de première espèce. Nous ne considérerons que celle-là et supprimerons, pour simplifier le langage, les mots de première espèce.

La première l'onnule (i4) [ou l'équation (17)] ne devant pas con-

teiiii' E(o:c), on a

Les formules (i4) '^^' réduisent alors à

[ôu;,]=4:.(5r)-

Or K(oj)-), [oU^], [oU'y] représentent les variations de x{t), L^,, t V lorsqu'on se déplaee sur la courbe C, le déplacement étant dédni par la donnée de oy. La variation de U ayant la valeur

on obtient, par une transformation évidente de cette expression, r<nsem])le des équations

ox =— 5€(ôjk),

oUi= -t(Ô7),

Uu;.= o(ôr),

qui sont vérifiées lorsqu'on passe d'un élément de contact d'une caractéristique à un élément infiniment voisin. Ce sont les équations aux dérivées fonctionnelles des caractéristiques.

Pour l'étude qui va suivre, il est essentiel d'avoir présent à l'esprit le rôle distinct de ces quatre équations. La première exprime que la fonctionnelle E(5^) disparaît de l'équation d'où dépend la reclierclie des éléments du second ordre; il J a donc impossibilité ou indétermination pour le problème de Caucliy. La seconde est une consé- ([uence de la ])remière et de la formule (18) vraie pour toute multiplicité. Les deux dernières expriment qu'il y a indétermination et non impossibilité; elles résultent donc de la première, si l'on sait que la multiplicité considérée est une surfat-e intégrale, et que la fonctionnelle U admet une variation seconde en tous les points de cette multiplicité.

Nous admettrons d'abord que les équations (19) sont complètement intégraliles. Nous j-evi end ions ensuite sur ce point.

50. Propriétés des caractéristiques. — Théorème I. — La donnée d'un élément d' intégrale {non sin^uViev) détermine parfaitement une caractéristique.

Il faut, bien entendu, que l'élément donné soit un élément dintéorale.

En partant de eet élément, les variations de x{t), U, U^, U', sont parfaitement définies parles équations (19). Ces équations sont des équations aux dérivées fonctionnelles, analogues à celles étudiées au Chapitre 1, qui s'en distinguent seulement parce qu'on a quatixî quantités, dont trois dépendent d'un paramètre, qui varient simultanément en fonction de x(t). Cela ne change rien d'essentiel à la théorie, et au fait que la succession de leurs valeurs est bien déterminée si l'on se donne leur valeur initiale. Seulement, si Ion fait varier ^(^) suivant une loi déterminée, elles se réduisent à des équations intégro-différentielles et non à des équations différentielles.

Ces équations étant d'ailleurs complètement intégrables, comme nous l'avons provisoirement admis, un élément de la caractéristique considéré est parfaitement défini par la donnée dey{t) et ne dépend pas du chemin suivi pour aller de la détermination initiale à eelh; considérée.

D'ailleurs, l'élément initial étant un élément d'intégrale, il en est de même de tous les autres. Pour le montrer, il suffît de montrer que la relation

(•20) 8U'y= I1(ÔU:,) + L{ox) -h Li(5jk),

(|ue Ton obtient en différentiant l'équation (2) et remplaçant ù\j par sa valeur (18), résulte des équations (19). En effet, remplaçant o:r, oU^., oU'^. par leurs valeurs (19), on obtient la condition

qui exprime que l'expression H [ '^(8)/)J -f-L, (oj') est identique à son adjointe; c'est la condition d'intégrabilité de l'équation (2). que nous avons supposée vérifiée.

Bien entendu, le théorème de Cauchj relatif aux équations aux dérivées fonctionnelles (19) peut être en défaut pour certains éléments, que nous appellerons éléments singuliers dUntégrales. Pour ces éléments il peut donc exister plusieurs caractéristiques les contenant.

Théorème II. — Toute surface intégrale est un lieu de caractéristiques.

11 est évidemment possible de se déplacer sur une surface intégrale S, à partir de n'importe quel point donné, de manière que la première équation (19) soit vérifiée. En admettant toujours que cette équation soit complètement intégrable, elle définit une courbe C sur la surface S, et d'après les remarques finales du n** 49, toutes les équations (19) sont vérifiées pour la multiplicité constituée par la courbe G et les plans tangents à S tout le long de cette courbe. Cette multiplicité est donc une caractéristique. c. q. f. n. /

Corollaire. — Toute surface intégrale ayant un élément (non singulier) commun avec une caractéristique la contient tout entière.

En effet, Télément est situé sur une caractéristique située tout entière sur la surface intégrale (théorème II). D'après le théorème 1 cette caractéristique, ayant un élément non singulier commun avec la caractéristique donnée, est confondue avec elle.

51. Solution du problème de Cauchy. — En utilisant la connaissance des caractéristiques, on peut résoudre le problème de Cauchy autrement que par les calculs successifs des éléments différentiels de tous les ordres.

La courbe C étant donnée, on commence par déterminer en chaque point les déterminations de l '^ et U' comme il a été Indiqué au n** 47. On obtient ainsi un certain nombre de multiplicités, composées d'éléments d'intégrales et contenant la courbe C. Soit 011 une de ces multiplicités. Il s'agit de déterminer les surfaces intégrales contenant C.

Soit S une telle surface. Elle contient toutes les caractéristiques définies par les éléments de OFt. Ces caractéristiques, dépendant d'une fonction arbitraire, sont en général toutes distinctes et ont pour lieu la surface S. Cette propriété définit la surface S. qui est alors la seule SLirface intégrale contenant 011.

Mais il peut arriver que les caractéristiques définies par les éléments de 011 ne soient pas toutes distinctes. Supposons en effet que sur une surface intégrale S on choisisse des caractéristiques C dépeii-

(lant de p paramètres, et sur chacune de ces caractéristiques des éléments vérifiant/) conditions. On n'a qu'à prendre pour multiplicité Ol'L les éléments ainsi choisis; une telle multiplicité est une caractéristique au sens généralisé, considéré d'abord n" 49. L'ensemble des caractéristiques G définies par les éléments de ;Tl ne sera j)as plus général que si l'on ne se 'donnait qu'un élément sur chaque caractéristique 3, c'est-à-dire si l'on se donnait des éléments dépendant de j> paramètres. Il existe d'autres surfaces intégrales contenant cette multiplicité, et le calcul de leurs éléments (caractéristiques de chaque ordre introduira une fonction nouvelle, non complètement arbitraire, mais assujettie seulement kp conditions.

Il peut arriver que /> = o; la multiplicité ;)!! est alors une caractéristique de première espèce, et le calcul des éléments de chaque ordre introduit une fonction arbitraire.

52. Le cas général est évidemment celui où la surface S est Inen définie comme lieu des caractéristiques correspondant aux éléments de OÏL. Il n'y a donc qu'une surface intégrale contenant .'^H. 11 reste à montrer qu'elle existe.

Un procédé consiste à montrer a priori l'existence de cetle surface. C'est l'extension du tliéorème de Gauchj-lvovvalevski, reposant sur le calcul successif des éléments des divers ordres.

Nous allons employer un autre procédé, qui consiste à montreique la surface S, lieu des multiplicités caractéristiques © définies par les éléments de Oit, est une surface intégrale. Nous savons que ces multiplicités ne compiennent que des éléments d'intégrales. Mais il reste à montrer qu'elles ont une enveloppe, c'est-à-dire, chaque élément étant constitué par un point M et un plan P, que la surface S lieu des points M touche en cliacun de ces points le plan I^ correspondant. Pour le montrer, il suffit de montier que pour tout déplacement sur la surface S on a

{11) SU- f {\}'^^x-\-\:'yoy)dl,

les valeurs de \j'^ et U'^, étant celles qui corres[)ondent au plan P.

11 nous suffit de considérer sur la surface S des points dépendant de deux paramètres A et jjl, tels que pour \ constant on ait des points d'une même caractéristique, et pour tji = o des points delacourbeC

l'tant donnée une succession quelconque de points sur la surface S, ou bien elle est sur une même caractéristique G et la formule (22) est exacte, ou bien on peut s'arranger pour l'obtenir en faisant varier X et laissant a constant. On a donc à démontrer que

ou bien, cette relation étant évidemment vérifiée pour a = o,

D'autre part, les équations (19) étant vérifiées pour les déterminations -— , .... -~^ de ox, .... oL^, on a

c'a ' da ' ' •)"

'•^^ ■ V'J-^Ut,

d'où

La formule à démontrer s'écrit donc

OU, en remplaçant — -. —-^i -—par leurs valeurs tirées des equa- *- ' d\x d\L d\i. ^ '■

lions (19),

.r[S'^(©-î^'(|)]"=.('Bf--C©S^]-

ou encore

Or l'expression sous le signe d'intégration est nulle, tous les élé ments considérés étant des éléments d'intégrales, et par suite la rela

tioii (20) ôlant vérifiée pour un déplacement quelconque. Le théorème est donc démontré (^).

On voit donc que l'intégration complète de l'équation aux dérivées fonctionnelles partielles (2), et en particulier la résolution du prol)lème de Gauchy relatif à cette équation, se ramènent aux problèmes analogues relatifs au système d'équations aux dérivées fonctionnelles ordinaires (19). Ce résultat (ainsi d'ailleurs que les principales circonstances de la démonstration) généralise le résultat fondamental de la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

53. Intégrabilité des équations des caractéristiques. — Démontrons maintenant, ce que nous avons admis jusqu'ici, que les équations (19) sont complètement intégrables. On peut le vérifier par le calcul (-). Nous allons en donner une démonstration qui montre mieux la raison de cette circonstance.

Montrons d'abord que les conditions d'intégrabilité de ces équations sont nécessairement \m^\(ies pour les éléments cV intégrales.

Considérons à cet effet un élément d'intégrale C. En partant de cet élément, et faisant varier y{t) d'une manière quelconque, on obtient par les équations (19) une succession d'éléments d'intégrales dont l'ensemble constitue ce qu'on peut encore appeler une caractéristique. Si la condition d'intégrabilité n'était pas vérifiée pour ces éléments, on pourrait s'arranger pour revenir à la détermination initiale J^o(0 ^^ j(0 ^^ retrouvant un élément différent, et même des éléments difTérents C' dépendant d'au moins un paramètre.

Or les raisonnements des n'^' 51 et 52 s'appliquent avec cet aspect de la notion de caractéristique. Toute surface intégrale (contenant l'élément C contient tous ceux de la caractéristique considérée et en particulier tous les éléments C' . D'autre part, on peut choisir une

(') On reiuaiquc ((ue ce procédé d'inlégralion montre l'existence d'une intégrale quelle que soit la multiplicité OÏL. Nous savons d'autre part que la méthode, qui consiste à chercher en chaque point de OÏL les variations successives de U, peut conduire à une impossibilité. Il n'y a pas contradiction. La surface intégrale existe, mais le calcul de S^ U par exemple est impossible en certains points qui sont singuliers sur la surface intégrale.

On sait f|u'une circonstance analogue peut se présenter dans la théorie des équations aux dérivées partielles mises en évidence, et conduit à trouver une surface intégrale admettant la courbe donnée G comme arête de rebroussement.

(2) Voir Paul Lkvy, n'- 2G du Mémoire déjà cité {Cire. Falerme, 1914)-

courbe G et une multiplicité DTl la contenant, formée d'éléments d'intégrales pour les{|uelles jk(^) ^yo(^), comprenant l'élément C et non les éléments l^' ; le raisonnement du n° 5!2 nous montre qu'on peut, si l'équation (2) est complètement intégrable, trouver une surface intégrale coupant la variété plane y (^) =y„(^) suivant la courbe G et tangente le long de cette courbe à la multiplicité OÏL, contenant par suite l'élément C et non les éléments C' . Gette .conclusion étant en contradiction avec la précédente, le résultat énoncé est démontré. Donc :

U équation (2) étant complètement Intégrable^ les conclulojis d'intégrabillté des équations des caractéristiques sont vérifiées pour tous les éléments d intégrales.

oi. Gonsidérons maintenant un élément C qui ne vérifie pas l'équation (2). Pour cet élément, la différence U' — ^ a une valeur déterminée /(^). G'est donc un élément d'inlégrale pour l'équation

u;,= c^{[^,J, u'.iu,^] !+/(/).

Or l'addition à la fonctionnelle ^P du terme constant/Û) (*) ne cliange pas sa variation, et par suite ne change pas la condition d'intégrabilité ni les équations des caractéristiques. Gette é([uatioii est donc complètement intégrable. l'^n lui appliquant le résultat précédent, on voit que les conditions d'intégrabilité des équations (19) sont vérifiées pour l'élément è', qui n'est pas un élément d'intégrale. Ces équations sont donc complètement intégrables.

11 y a d'ailleurs une différence essentielle entre ce résultat et le précédent. Il repose sur une circonstance de calcul, et ne se retrouve pas pour des équations aux dérivées fonctionnelles partielles d'un Ijpe un peu différent du précédent, par exemple pour une équation non résolue du type

ou pour celle ([ui sera étudiée n** 60. Au contraire, le fait que les conditions d'intégrabilité des équations des caractéristiques soient vérifiées pour tous les éléments d'intégrales, résulte d'un raisonne-

(') Constant lorsqu'on fait varier x, y, L^ et U. La lettre t est plutôt un indice ([u'une variable.

Li':vY. 15

ment qui s'applique à toutes les équations aux dérivées fonctionnelles partielles, du premier ordre et complètement intégrables.

5o. La notion d'enveloppe. — Considérons une surface S, dépendant d'un paramètre X, définie par l'équation

(24) Fl[.r,j.|U,X]|=:o.

L'intersection de cette surface et d'une surface infiniment \oisine conduit à l'équation

(25) F>,|[^,jkIU, X]| = o.

Les équations (24; et (aS) définissent sur la surface S une variété G dont le lieu, quand X varie, est une surface S, qui est par définition V enveloppe de S. .le dis que S et 2 sont tangentes en tous les points de C

Le plan tangent à S, en un point de G, est défini par une relation linéaire entre ùx^ oy, oU, obtenue en différentiant l'équation ( 2/|). On peut l'écrire

F:,(5^) ^y'y{ly) + Fu oU = G.

L'équation de !ï] étant obtenue en considérant X, non comme une constante, mais comme une fonctionnelle définie implicitement par l'équation (sS), le plan tangent à 2 a donc pour équation

r^{ix) + f;(6j) h- f'u su + f;^ ta = o,

o\ étant Une fonctionnelle linéaire de ox^ ùy et oU dont la valeur s'obtient en différentiant l'équation (25). Mais son coefficient F) est précisément nul, d'après cette équation, et il n'y a pas besoin de la calculer; le plan tangent à S ainsi obtenu coïncide avec le plan tangent en S. c. Q. F. D.

Le raisonnement est identique à celui qu'on fait dans l'espace ordinaire. On peut d'ailleurs remarquer qu'une section de la figure par une variété linéaire à /i dimensions donne une surface, dépendant de À et tangente à son enveloppe. La propriété de contact, vérifiée dans une section quelconque, doit l'être dans res])ace.

Le résultat obtenu se géi^éralise dans le cas de familles de surfaces ayant un degré de généralité quelconque. Soit par exemple une famille de surfaces S

dépendant d'une fonction arbitraire es (s). En cherchant les points communs à une de ces surfaces, et à toutes les surfaces infiniment voisines obtenues en faisant varier 'f{s) d'une manière quelconque, on est conduit à annuler la dérivée fonctionnelle FJj. Cette équation contenant un paramètre arbitraire définit sur chaque surface S des points ne dépendant plus que d'une fonction arbitraire, constituant une courbe. Le lieu de cette courbe, quand <^(s) varie, est la surface enveloppe ( ' ).

56. La notion d'intégrale complète. — Nous appellerons intégrale complète de Téquation (2) une famille d intégrales contenant dans son ensemble tous les éléments d'intégrales. Les éléments d'intégrales dépendant de trois fonctions arbitraires et un paramètre, et chaque intégrale contenant des éléments dépendant de deux fonctions arbitraires, les surfaces d'une intégrale complète dépendent d'une fonction 0(5) et d'un paramètre \.

Soit 2 une surface intégrale quelconque. Tout élément C de celte surface appartient à une surface S de l'intégrale complète, et S est l'enveloppe de ces surfaces. Inversement, une surface enveloppe de surfaces S de l'intégrale complète ne contient que des éléments d'intégrales ; c'est une surface intégrale. La connaissance d'une intégrale complète résout donc complètement le problème de l'intégration de l'équation (2).

Les familles de surfaces S peuvent être d'une généralité plus ou moins grande. On trouve ainsi pomme surfaces intégrales les surfaces S elles-mêmes, puis des enveloppes de surfaces S dépendant d'un nombre fini quelconque de paramètres, puis des enveloppes de surfaces S vérifiant un nombre fini de conditions, enfin l'enveloppe de toutes les surfaces. Cette dernière enveloppe joue un rôle spécial; elle est dite intégrale singulière. Les éléments communs à chaque surface S et à cette enveloppe dépendent d'une fonction assujettie à une relation.

Si l'on considère une autre intégrale, ses éléments communs avec chaque surface S dépendent d'au moins une fonction arbitraire. Ils contiennent tous les éléments singuliers S, de puisque, si S dépend

(') La Uiéoi'ie des enveloppes s'applique bien entendu à un espace fonclionnei ayant une généralité absolument quelconque.

d'une manière absolument quelconque d'un paramètre A, l'équation -— = o qui définit l'enveloppe est vérifiée pour les éléments singuliers. Il en résulte que si l'on remplace l'intégrale complète considérée initialement par une autre, on ne change ni l'intégrale singulière, ni les multiplicités communes à cette intégrale et à chaque surface de l'intégrale complète.

57. On peut aisément, en partant de l'intégrale complète, retrouver les propriétés des caractéristiques. Cherchons à cet effet les intégrales contenant un élément donné C, constitué par un point M et un plan P.

Cet élément C correspond à une surface déterminée Sq de l'intégrale complète. Une intégrale S contenant C doit être l'enveloppe d'une famille de surfaces S comprenant Sy. Si l'élément C est singulier, une telle surface S comprend nécessairement So- Mais s'il n'est pas singulier, la condition que cette famille ne comprenne, comme surfaces S voisines de Sq, que celles qui contiennent M (au second ordre près), impose une condition aux variations oz>(s) et Sa de la fonction et du paramètre dont dépendent ces surfaces. On n'a le choix qu'entre les surfaces S, voisines de Sq et dépendant d'une fonction arbitraire, et qui par suite contiennent (au second ordre près) tous les éléments d'une courbe C située sur Sq. L'enveloppe contient cette courbe, et j touche la surface So- La multiplicité constituée par cette courbe et les plans tangents à So le long de cette courbe est alors une caractéristique. Toutes les surfaces intégrales contenant l'élément non singulier C contiennent tous ceux de cette caractéristique.

On a d'ailleurs un résultat analogue pour un élément C de l'intégrale singulière. Un tel élément, situé sur une surface Sq de l'intégrale complète, appartient à toutes les caractéristiques de cette surface. Une intégrale quelconque contenant C et qui n'est pas l'intégrale singulière contient une de ces caractéristiques ; de toute façon, elle contient tous les éléments singuliers de Sq. On a donc un

ultat analogue à celui obtenu dans le cas i>énéral. Le fait de cou-

res

naître un élément d'une intégrale entraîne la connaissance d'une infinité d'autres éléments; seulement, dans le cas particulier considéré, ils dépendent d'un paramètre de moins.

Il existe une autre sorte d'éléments singuliers qui mettent ce

résultat en défaut. Il peut arriver que deux surfaces distinctes de l'intégrale complète contiennent un même élément, et qu'on en déduise deux caractéristiques distincte» contenant cet élément. Les surfaces intégrales qui le contiennent, contiennent alors l'une ou l'autre de ces caractéristiques, et deux surfaces ne contenant pas la même caractéristique n'ont pas d'autre élément commun que celui donné.

Les éléments de cette nature sont évidemment singuliers pour les équations (19). Ils s'introduisent comme solution étrangère dans la recherche, en partant de l'équation (2), des éléments de l'intégrale singulière, et se distinguent de ceux-ci parce qu'ils n'ont pas d'enveloppe.

08. La connaissance d'une intégrale complète permet de résoudre le problême de Cauchj sans passer par l'intermédiaire des caractéristiques. On n'a qu'à chercher les surfaces de l'intégrale complète tangentes à la courbe donnée G et prendre leur enveloppe.

Cette solution est d'ailleurs exaclement équivalente à l'autre. En chaque point M de G, la recherche de l'élément d'intégrale contenant la tangente à G, ou de la surface de l'intégrale complète tangente à G, sont deux problèmes équivalents et comportant le même nombre de solutions. Mais si l'on connaît l'intégrale complète, la caractéristique correspondant à cet élément est obtenue sans intégration comme multiplicité commune à la surface choisie dans l'intégrale complète et son enveloppe.

La connaissance d'une intégrale complète, permettant de résoudre le problème de Gauchj, nous permet d'affirmer que l'équation étudiée est complètement intégrable. Si une équation du type (2) n'est pas complètement intégrable, il y a donc des éléments de contact, vérifiant cette équation, et n'appartenant à aucune surface intégrale.

59. Les équations linéaires. — Considérons le cas où l'équation (•>.) est linéaire en L*^ et Ll^., c'est-à-dire de la forme

(•26) V'y=Ui\J',)-^^l>\[x,y\U,t]l

H étant une fonctionnelle linéaire de U^, dépendant en outre (h\s fonctions x et y et des variables t et U.

23o DEUXIÈME PARTIE. — DÉUIVÉES FONCTIO^XELLES DU PREMIER ORDRE.

Dans ce cas, l'indrurniinalion dans le prol)lème de Caiichj peut apparaître dès le calcul des dérivées fonctionnelles preuiières. L'équation (12) s'écril alors

et la fonction U'^ reste indéterminée si

c'est-à-dire si la courbe C vérifie les équations aux dérivées fonctionnelles

Une telle courbe est une .caractéristique de l'équation (26). Par des raisonnements analogues à ceux faits dans le cas général, on montre que la surface intégrale la plus générale peut être définie comme lieu de caractéristiques dépendant d'une fonction arbitraire (l'ensemble des caractéristiques dépendant d'une fonction et d'un paramètre).

La théorie générale s'applique d'ailleurs ici. Une courbe caractéristique et la succession des plans tangents à une surface intégrale le long de cette courbe constituent une multiplicité caractéristique jouissant exactement des propriétés indiquées dans la théorie générale. Mais il n'y a pas besoin de faire intervenir les plans tangents pour mettre en évidence la forme de la solution générale.

Comme dans le cas analogue de la théorie des équations aux dérivées partielles, il est facile de développer les circonstances qui se présentent lorsque le second membre de l'équation (26) se réduit à H(U^), cette fonction ne dépendant pas de U. Dans ce cas, comme dans le cas plus général où H(U^) étant toujours indépendant de U, le terme $ est quelconque, il est possible d'obtenir explicitement Texpression de la solution générale à l'aide d'une fonctionnelle arbitraire.

60. Cas des fonctionnelles dépendant d'un contour plan G et d'une fonction u{s). — Nous désignerons par C un contour plan, par s la

longueur d'arc, par u(s) une fonction donnée en chaque point de C, par tl> une fonctionnelle de C et de u{s). Nous définirons la déformation de C par la donnée du déplacement normal on^, nous désignerons par ^u(s) la variation de u lorsque le point dont dépend cette fonction se déplace normalement à C, par <ï>;, et ',^ les dérivées fonctionnelles de . Soit à étudier l'équation

D'après le n** 78 de la première Partie, la condition pour que

,. 1 = -. — rr- s obtient en écrivant que ÔA dix ()iJL (JK ^

E et G désignant des fonctionnelles linéaires identiques chacune à son adjointe, # l'adjointe de F, k la courbure de C, comptée positivement dans le même sens que o/j, u' et on' les dérivées de u et on par rapport à 5,

Ea variation de ^>J^, lorsque le point du contour G dont dépend cette dérivée se déplace normalement au contour, et que

o<î> = / ((J);^ (;u -h *^^ on)

ds.

s'obtient en dilTérentiant l'équation (28) et remplaçant o par sa valeur. Elle est de la forme

(3o) ô'I>'„ = II(ô;j 4- l.{ou) + Li{ùn).

La condition d'inté<irabilité se trouve alors par des calculs ant

'S par

logues à ceux du n** 4o. En remplaçant Z<iy^^ et o^^ par leurs expressions (29) et séparant les termes en 3^^ et ceux en o/i, on trouve

G ( o/i ) 4- <!>,', u' on' — H [ F ( on ) -\- k ^V^ on ] + L, ( on ),

d'où l'on tire

F(o// ) = E[je(ô/i)J -+- -(1(0//) et

G(c//)-^IIjE[5e(8/0] I = \l[S^{hn) -\- k^KZn] + h^{on) — ^>'„u' o?i. La condition d'inlégrabilité de l'équation (28) s'obtient en écrivant

l3l DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

que le second membre de celte expression est une fonctionnelle linéaire de on identique à son adjointe.

La théorie du problème de Cauchj et des caracléristiques est aussi tout à fait analogue à celle développée à propos de l'équation (2), les seules différences dans les calculs provenant des derniers termes des formules ( 29), qui n'ont pas leurs analogu-cs dans les formules (5). On trouve, pour les équations des caractéristiques,

r ocî>;^ = i^j ( 5/? ) + A- *;, ae (on) -h i 'I>', u on ' h j ^^ on.

Si l'équation (28) est complètement intégrable, ](!s conditions d'intégrabilité de ces équations sont toujours véri liées pour les éléments d'intégrales, mais ne le sont pas pour des éb'mculs quelconques [voii' remarque finale du n*^ o4).