CHAPITRE V

LEXTENSION DES EOUATIONS DE JACOBI-HAMILTOX.

So-M.MAIRE : Volions générales. — Cas de rinli'iiialc de Diiiclilcl . — Généralisation.

GI. Notions générales. — Soit '^[a^ /y, a, [ii) le iiiiiiiminn de l'iiitélirale

^ Il

y étant une fonction de x continue, à dérivées première et seconde continues, égale à a pour x =^ a eV h [Îj pour x ^=-b. On sait qne ce niinimuui, s'il existe, est obtenu pour une solution de Féquation différentielle du second ordre d'Euler

dy dx Oy'

et que le minimum obtenu, considéré comme fonction de h et (3, vérifie une équation aux dériv(''es partielles du premier ordre, dite rquation de Jacobi-Hainilion^ qui résulte de l'cdiminalion de y' entre les formules

Oy'''

On obtient une équation analogue relative à la limite inférieure d intégration, en remplaçant ^ et ^ par a et a, et cp par — <p. Si l'on remplace l'intégrale (i ) par l'intégrale doubb;

dz dz\

et qu'on en cherche le minimum parmi toutes les fonctions z{x^y), continues ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres, prenant des valeurs données it{s) sur le contour C de l'aire S, Téquation (2) est remplacée par une équation aux dérivées partielles. Le minimum devient une fonctionnelle dépendant de C et u{s)^ et l'équation de Jacobi-Hamilton est remplacée par une équation aux dérivées fonctionnelles partielles, du type étudié n*^ 60.

Nous allons d'abord étudier un exemple particulier. Nous traiterons ensuite le cas i;énéral ( ' ).

6^. Cas de l'intégrale de DiricMet. — On appelle ainsi rintéi;rale

Appelons u{s) et U\{s) les valeurs sur le contour de z et de sa dérivée normale, et ou la variation de u lorsque, le contour G qui entoure l'aire S se déformant et z variant, le point dont dépend cette fonction se déplace normalement au contour. On a donc

(5) 0«= Oi s = 03 + ?il ô/?.

Si un est compté positivement vers l'intérieur, la variation de f a la valeur

.ol = - / ( u] -f- u'^)dn ds -\- 1 l l ( ^- 0 ^ -^ -^0 ^] dx dy.

Par intéi^ration par parties, l'intégrale double s'écrit — / //] oz ds — •>. / I Iz oz dx dy.

Remplaçant alors dans l'intégrale simple oz par sa valeur tir(''e de

C) Dans mon Mémoire déjà cité {Rend. Cire. Mat. Palermo, 191 1), j"ai traité le cas plus général où la fonction / contient des dérivées d'ordres quelconques de la fonction z. L'extension au cas des intégrales multiples est également facile. Pour l'extension à ce cas des principales formules du Cliapitic précédent, voir Fischkr, American Journal of Mathematics, vol. XXXIX. 1917.

Voir aussi, sur l'extension des équations de Jacohi-IIaniillon, les Mémoires de MM. Voltena et Frécliel.

cnAP. V. — l'extension des équations de JACOBI-IIAMILTON. 235

la fornuile (5), il vient

ol = — 2 1 Kl au ds -\- / {u\ — u"^ ) hnds ~- 1 i / As os dx dy.

Si Ton prend pour z la fonction harmonique et régulière égale à u sur le contour, l'intégrale double disparaît; l'intégrale 1 se réduit alors à une fonctionnelle (ï> de C et u(s), égale, comme on sait, au minimum de 1 lorsque C el u (s) sont donnés, et il vient

(6) ?J(]^^—2 fuiùuds-h fini— a''-) on

Je Jr.

ds.

Les dérivées fonctionnelles de ^ sont donc

(7) ^\=^--'?.ui, cï,;^=,,|,/'2.

Elles ne sont pas exprimées en fonction seulement des arguments de la fonctionnelle /I>, puisque u^ figure dans ces formules. En éliminant zf,, on a l'(''quation aux dérivées fonctionnelles partielles

(8) ^\.= ^I^^-^^'^ du type étudié au n" 60.