L{OU) = — '2U ;— J

Li(on)=~2/ai'^o/f.

Ja\ condition d'intégrabilité s'obtient alors en formant l'expression

-T ( u' ù/i ) +• k <]>',, on — 2 ka^ on — <!>'„ u' S/?' =z ( <!>;, a" + 2 A <!>;, ) ô/? ,

et écrivant qu'elle est identique à son adjoint'e. Elle est identiquement vérifiée; l'équation (8) est complètement intégrable.

Formons, de même, les équations des caractéristiques, en tenant compte de leur forme i;énérale indiquée n° 60. Il vient

(9) j 5* =£ {'K - i ;r) S" ds = -^ ( 1 .1.;,^ + u'^) 5. cls,

[ <A>'n = i~j-{u' ùji)-\- /c(I>;^ 0)1.

Ces trois équations définissent les variations de u^ ^, <I\,. La dérivée ^\^ est à chaque instant donnée par l'équation (8).

C4. Il est facile de donner du fait que l'équation (8) est complètement intégrable une démonstration ne nécessitant aucun calcul, et montrant mieux la raison de cette circonstance. INous pouvons aisément former une intégrale complète de cette équation; cela suflit, nous le savons, pour prouver qu'elle est complètement intégrable.

Remplaçons à cet effet, dans la définition de l'intégrale I, l'aire S par la région limitée entre deux contours C et F. Tous les calculs faits s'appliquent, et la formule (6) donne toujours la variation de O, à condition d'étendre les intégrales simples à l'ensemble des contours C et r. Mais si le contour F reste fixe, et si les valeurs de z sur ce contour ne varient pas, les intégrales simples relatives à F disparaissent, la formule (6) s'applique en ne considérant que le contour G. La fonctionnelle $ ainsi formée est une intégrale de l'équation (8).

F*ar addition d'une constante arbitraire, on obtient une autre intégrale.

Je dis qu'on obtient ainsi une intégrale complète. Les intégrales que nous venons de définir dépendent d'ailleurs de deux fonctions arbitraires et d'un ])aramètre, c'est-à-dire d'une fonction arbitraire de plus qu'il n'est nécessaire. 11 n'en est pas moins nécessaire de montrer qu'elles contiennent tous les éléments d'intégrales.

Or un élément d'intégrale peut être défini par la donnée de déterminations C, w, «<, ^ de (^, u, Ui, (t>, les dérivées ^[^ et J^ étant données par les formules (7). Ces quantités sont bien ai'bitraires, puisqu'on peut choisir une fonction harmonique z(x, y) telle qu'on ait sur G, ^ = «, -r- = ^^| (du moins si les données sont analytiques). Prenant alors pour F un contour situé dans la région où cette fonc-

CHAP; V. — l'extension DES ÉQUATIONS DE JACOBI-HAMILTON. 287

tion est régulière, et pour valeurs données sur F celles de cette fonction, ajoutant à l'intégrale <ï> définie ci-dessus une constante convenable, on obtient ])ien une intégrale de l'équation (8) contenant Télément donné, c'est-à-dire prenant la valeur $ pour le contour G et pour u = ^/, tandis que ses dérivées fonctionnelles prennent les

valeurs — iu^ et u^ — u . L'équation (8) est donc bien complètement intégrable.

60. Passant maintenant aux caractéristiques, nous pouvons les définir de la manière suivante :

On choisit une fonction harmonique s(^, r), un contour Y en chaque point duquel elle soit régulière, une constante ^q. Soit S l'aire limitée par V et un autre contour variable G, choisi de manière que la fonction z soit régulière dans cette aire; soient u[s) et U{{s^ les valeurs sur G de ^ et de sa dérivée normale. L'élément G, ii{s)^

définit, lorsque G varie, une caractéristique.

Ge résultat se vérifie d'ailleurs aisément à l'aide des formules (9). On a en effet

(m r=z u^ on =: q>,^ 0//,

- C{u\ + u"') (in ds = -~ f fj ;2 + u'i) ?,n ds,

ù^Pn = — 2 OU^ = — 2-7-^ 0/2. -+- 2 U Ùfl .

Les deux premières formules ne sont autres que les deux premières formules (9); en tenant compte de ce que z est harmonique, c'està-dire que

dz d"^ z (') Appelons — et -7-7 les dérivées première et seconde relatives à un dépla-

, T^ , , , . . • - . • , dz dz

cernent sur la tangente. Pour les dérivées premières, on a évidemment -—=-— = u' ,

Mais la variation de u ., Iorsf[u'on se déplace sur la courbe, provient à la fois du

9.38 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIEIi ORDRE.

la derjiière se réduit à la dernière foriiuile (9). Comme de plus ^'^ vérifie bien l'équation (8), toutes les équations des caractéristiques sont vérifiées.

L'hypothèse que z[x^ y) est harmonique n'est intervenue que pour vérifier que o^J^, et par suite S^/^, ont les valeurs voulues. Si par suite on supprime cette hypothèse, on obtient une multiplicité vérifiant les deux premières équations des caractéristiques, mais non les autres. On sait que pour une telle multiplicité le problème de Cauchy n'est pas indéterminé, mais impossible (du moins en ce qui concerne les solutions régulières).

66. Généralisation. — On traite de même le cas plus i^énéral de l'intégrale

1 = / / f{x, y, z, p, q) dx dy,

» et ^ désienant —^ et --^- Sa variation a la valeur ^ ^ ^ ()x ày

= — / fonds — / { -^ ces a -4- -j- cos 3 ) ^z ds

f Ç 1^1 ^ ^ '}L È. '}L\i~ dx d

dv.

cosa et coSj3 désignant les cosinus directeurs de la normale intérieure. Si le contour G et les valeurs u de z sont donnés, si de plus ^ vérifie l'équation

, , i)f d ôf d ôf

(II) -f = -7- -r + TT- T^'

<)z dx ôp dy ôq

la variation de I est nulle. Plaçons-nous dans le cas où la fonction / est essentiellement positive; l'équation (11) est alors une équation du type elliptiqjie et sa solution est bien déterminée si l'on connaît sa

déplacement du point et de la roLalion de la tangente, de soi^te que

„ - d'^z . , dz ,

u ds = -7-r ds H- A" —r- as.

dl^ dn '

et par suite, si z est harmonique, u = — -j-^ -i-ku^on.

CHAP. V. — l'extension DES ÉQUATIONS DE JÂCOUI-HAMILTON. 289

\aleiir u(s) sur le contour. Cette solution est d'ailleurs, parmi toutes les fonctions égales à u(s) sur C, celle qui rend l'intégrale I minima; ce minimum I est alors une fonctionnelle de C et î/, dont la variation est

ôfl> = — / fo/i (h — / ( — cosa H- ^ cos 3 ) Zz ds,

ou, en tenant compte de la formule (5),

On a donc

o =— / ( -^- cos a -+- -p-cos ^\ r}U ds

'Il ôq

COS ^ ) u^ — /

,f àf ôf „

^^^u H- T^ COS a + -f- COS 3 = o, dp ôq ^

D'ailleurs, sur C,/se réduit à une fonction de 5, u^ u' et u^. Par ces équations, le contour G et u{s) étant donnés, ^[^ et 4>,'j apparaissent comme donnés en chaque point en fonction de W). L'élimination de w, donne une équation aux dérivées fonctionnelles, vérifiée par la fonctionnelle 4>.

67. Par une extension analogue à celle du n" 64, remplaçons l'aire S par l'aire comprise entre G et un contour fixe F, ne considérons que les fonctions (^z) solutions de l'équation (ii) et prenant dès valeurs données sur F, et ajoutons à une constante arbitraire 4>q. Je dis qu'on obtient ainsi une intégrale complète, contenant un élément d'intégrale quelconque, défini par G, u^ <l^ et w,, les dérivées fonctionnelles ^[^ et ^'^^ étant données par les formules (i3).

On peut en effet choisir z solution de Féquation (ii), égal à u sur G, sa dérivée normale étant égale à «,. Il suffit alors de choisir un contour F sur lequel la fonction z soit régulière, et de prendre comme valeurs données sur F celles de la fonction z. L'intégrale définie par F et les valeurs données sur F est une fonctionnelle dont les dérivées O^^ et ^\^ ont bien, pour le contour G et la détermination choisie de u{s)^ les valeurs voulues; comme on peut lui ajouter une constante quelconque, on peut s'arranger pour qu'elle ait elle-même la valeur voulue et contienne en conséquence l'élément donné.

68. Le j)rocédé de définition des caractéristiques du n" 65 se «généralise aussi aisément.

Choisissons une solution z de l'équation (i i), régulière dans Taire S comprise entre le contour C et un contour fixe T. Prenant pour u[s) les valeurs de z sur C, l'élément défini par C. u{s)^

<!>' = — - ~ cosa — -^ cos 3, dp dq '

définit, lorsque G varie, une caracléristique.

11 appartient en eft'et à une surface intégrale, celle de l'intégrale complète obtenue en prenant le contour F considéré et comme valeui's données sur le contour celles de z{x^ y). 11 suffit alors de vérifier la première équation des caractéristiques.

Pour former d'abord la fonctionnelle lI(o',^), différentions la deuxième équation (i3) en considérant C et u{s) comme fixes. Il vient

6*1);, + uy ô'i»;, -+- MI»;, + ^^ ) ^^"i -= «•

D'ailleurs, d'après la première équation (i3), le coefficient de oit^ est nui (' ). 11 vient donc

La première équation des caractéristiques

ou = — 5C(o/? ) = //i 0//

(\st alors immédiatement vérifiée. La succession d'éléments considérés (Iclinit donc une caractéristique. Comme on peut s'arranger pour

(') On a en effet

p — Mj cos a — u' cos [5, q ■= u^ cos [îJ + u cos a d'où

-^ = -^ cos a + -^ cos ,i.

OUi i)p ôq