CHAPITRE VI

TYPES DIVERS D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES ET DE SYSTÈiMES D'ÉQUATIONS.

SoMMAFUE : Notions générales. — Equations linéaires. — Système.-^ (Téquations linéaires. — Equations non linéaires. — Systèmes d'équations non linéaires. — Equations contenant un paramètre. — ■ Généralisation,

69. Notions générales. — Les équations aux dérivées fonctionnelles étudiées Chapitre I généralisaient les équations aux différentielles totales. L'objet du présent Chapitre est d'étudier les équations généralisant les équations aux dérivées partielles, ou les systèmes de p équations vériOées par une fonction de n a ariables. En faisant croîti^e Ji indéfiniment, mais laissant p Uni, on obtient les systèmes d'équations que nous allons étudier.

Nous commencerons par le cas linéaire pour étudier ensuite le cas général. Les considérations que nous exposerons généralisent la théorie classique des systèmes d'équations aux dérivées partielles, telle qu'elle est exposée dans le Traité de M. Coursât (Chap. 11, VI et VU).

Nous étendrons ensuite les résultats obtenus à des systèmes de forme plus générale, comprenant à la fois les précédents et les équations du Chapitre JV.

70. Équations linéaires. — Considérons une fonctionnelle U de la fonction x{t). L'équation linéaire que nous nous proposons d'étudier d'abord est du type

(I) f v\[x{'-:)\t-]\\]',,,dt = o.

Considérons, dans l'espace fonctionnel qui représente la fonclion x{t)^ une courbe [lieu des points dépendant d'un paramètre a), telle que pour un déplacement le long de cette courbe,

CIIAP VI. — TVPES DIVERS d'ÉQUATIOXS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. 2^3

on ait

(•2) ox(t)=F\[a:{z)\t]\d'k.

Une pareille courbe est ce que nous appellerons une ca/'octérislique de l'équation (i).

Remarquons d'abord que la détermination de la caractéristique contenant un point donné est un problème d'analyse ordinaire. La fonction x{t) dépendant du paramètre A, on a à déterminer une fonction de deux variables t et A, vérifiant l'équation (2) qui est du type intégro-différentiel, et se réduisant pour ). = o à une fonction connue.

Si l'on considère un déplacement le long d'uns cnraclcristique, on a

l\J=dkf F|[^(;-)1^]|U'^(0^^.

L'équation (i) exprime que cette quantité est nulle. Son intégrale générale est constituée par l'ensemble des fonctionnelles constantes le long des caractéristiques.

Supposons en particulier que F se réduise à une fonction /(^) de t seulement ('), que l'on peut supposer normale, c'esl-à-dire telle que

f P{t)dt.

La droite contenant le point x[t) contient aussi le point

projection orthogonale du point oci^t) sur le plan passant par l'origine et perpendiculaire aux caractéristiqLies, évidemment indépendant du point choisi sur la droite. On peut alors exprimer la solution générale de l'équation étudiée; c'est une fonctionnelle arbitraire

deX(0.

7L Considérons l'équation plus générale

(^) Voir sur ce cas et un autre plus général Volterra, Rendlcotiti délia li. Accademia dei Lincei^ i5 mars 1914-

Dans l'espace fonctionnel E^+m plus étendu que celui considéré précédemment (*), représentant à la fois U et x{t)^ considérons les caractéristiques^ courbes définies par les équations

^ox{t)=. ¥\[x{-.)\\],t-\\dK, 8U = G\[x{'z)\ \}]\dl.

On peut évidemment, sur une surface intégrale de l'équation (3), se déplacer de manière que la première équation (4) soit vérifiée. On a alors, pour un tel déplacement,

BV = ciX f F| [^(t) I U, ;] I U:,(,) dt = G| [^(t)I UJ | dl,

c'est-à-dire que la courbe décrite est une caractéristique. Toute surface intégrale est donc un lieu de caractéristiques.

Inversement, un lieu de caractéristiques est une surface intégrale, Féquation (3) exprimant que le plan tangent à chaque point à la surface qui représente L contient la tangente à la caractéristique.

Il peut naturellement exister une intégrale singulière, enveloppe de l'intégrale générale. Par chaque point de cette surface passent deux caractéristiques, l'une située sur cette surface, l'autre sur les surfaces enveloppées. Les points de l'intégrale singulière sont donc aiissi des points singuliers pour les équations (4).

Par un point non singulier A ne passe qu'une caractéristique, et toute surface intégrale contenant A la contenant tout entière.

72. Systèmes d'équations linéaires. — Considérons d'abord un système de deux équations du type (i), soit

Désignons par C| et Go les caractéristiques de ces deux équations, considérées séparément, par F, et Fg celles qui passent par un point A. Une intégrale du système (5), ayant une valeur donnée en A, a,

(*) En employant le langage des nombres transfinis, c'est un espace à w 4- i dimensions.

CHAP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. '?.\5

d'après le n" 70, la même valeur sur F,, et par suite sur la surface I formée par les courbes Co qui coupent F,, et de même sur la surface S' formée par les courbes C| qui coupent F2.

Il peut d'ailleurs arriver que ces surfaces soient confondues, l^cs équations des caractéristiques des deux systèmes étant