IM[.^(-)I

(7) ±^ = F,|fr(.)U]|,

la condition pour qu'il en soit ainsi est que Ton puisse déterminer une famille de fonctions x{t)^ dépendant de deux paramètres \ et a, et vérifiant à la fois ces deux équations, c'est-à-dire que l'on ait la condition d'intégrabilité

Cette condition s'écrit, en désignant par F'^ et F'^ les dérivées fonctionnelles de r'i et Fo,

(8) f F\\[xi-.)\t,t,]\F,\lr{z)\t,]\dt,

Si cette condition est vérifiée identiquement, les surfaces S et S' sont confondues, quel que soit le point A. Le système (5), dans ce cas, est dit complet. 11 exprime que U est constant le long de chaque surface S, condition qui définit l'intégrale générale.

Si la condition (8) n'est pas identiquement vérifiée, désignons Fa différence des deux membres par F3 [^(t) | t] \. Partons du point A; faisons varier d'abord \ d'une quantité cA, puis ^, de c/ijl, le chemin décrit dans l'espace fonctionnel étant donné par les formules (()) et (7); nous obtenons un point B de la surface S; en intervertissant l'ordre des variations d). et du.^ nous obtenons un point B' de la surface S'. Le vecteur BB' représente évidemment la fonction F3 dXdix. Comme une fonctionnelle L intégrale du système (5) a la même valeur en B et B', elle a la même valeur le long des courbes C3

d'équation

Elle vérifie donc l'éqnalion

(9) Xa(U)=r F.3|[:r(x)|/]| U^,,)rf^ = o

dont les courbes C^ sont les caractéristiques.

Ce résultat est d'ailleurs facile à vérifier sans passer par l'intermédiaire des caractéristiques, car on a identiquement

X3(U)^X2[Xi(U)J--X,[X,(U).].

Les équations (5) entraînent donc l'équation analoj^ue (8). Celle-ci, rapprochée de chacune des conditions initiales, donne lieu à une condition d'inté^rabilité, et, continuant de même, on peut obtenir une suite de nouvelles équations de la même forme, chacune d'elles exprimant que l est constant le long d'une famille de courJ)es caractéristiques.

Il peut d'ailleurs arriver qu'on obtienne effectivement une infinité d'équations distinctes, ou bien qu'après un nombre fini d'opérations on arrive à un système complet^ tel que les conditions d'intégrabilité obtenues en rapprochant ses équations deux à deux soient des conséquences des équations déjà écrites. Dans un cas comme dans l'Eure, le système obtenu exprime que la fonctionnelle U est constante le long de certaines variétés S, sur chacune desquelles on pourra prendre comme courbes coordonnées des caractéristiques des diverses équations obtenues. Si ces équations sont en nombre fini/?, les variétés S sont à p dimensions. Si elles sont en nombre infini, les variétés >] ont une infinité de dimensions; il peut même arriver qu'il n'existe qu'une variété S comprenant tout l'espace fonctionnel, et dans ce cas le système (5) n'admet pas d'autre solution que les solutions évidentes L = const.

73. Remarques. — i*^* La théorie serait tout à fait analogue si, au lieu de deux équations données initialement, on en avait un plus grand nombre.

CHAP. YI. — TVPES DIVERS D EQUATIONS ALX DERIVEES FONCTIONNELLES. 51 Î7

2' Si les équations sont du type « linéaire à coefficients constants >^

(10) XKU)= f Mt)\j'^,,,dt (j = i, 2, ...,/.),

les conditions d'intéorabilité sont identiquement vérifiées. Les caractéristiques de chaque équation sont des droites parallèles, et les surfaces ^ sont des variétés linéaires à p dimensions, parallèles entre elles. Le système (lo) exprime que U est constant sur chacune des variétés.

Supposons que la suite de fonctions

(11) /i(0, /2(0> .-., Mt), ...

soit une suite de fonctions telle que toute fonction de carré sommable xii) soit représentable par une série Jla,ifn[i) convergente en moyenne (*). Une fonctionnelle V de x{t) se réduit alors à une fonction u\a^^ a-^i ••■, «//, ...) des coefficients de cette série, et l'équation \/(L) = G exprime que cette fonction ne dépend pas de «/. Si alors on cmisidère un système d'une infinité d'équations du type (lo ), deux cas sont à distinguer suivant que les fonctions/} {t) figurant dans ces équations constituent ou non toutes les fonctions de la suite (i i). Dans le premier cas, la fonctionnelle D, solution du système étudié, ne peut être qu'une constante; ce cas rentre dans celui indiqué à la fin du n^ 72. Dans le second cas, L peut encore dépendre d'un nombre fini ou infini de paramètres.

74. Les considérations du n*' 72 s'étendent aisément au cas de systèmes composés d'équations du type plus général (3). Considérons par exemple le système de deux équations

X2(U)e^ r^F^lf.^iU. t]\V^,, dt~G,\[x\l-\\ = u,

(') Nous savons, d'après le Chapitre VII de la première Partie, qu'il existe de telles suites. Les séries trigonométriqucs (étudiées au Chapitre III de la première Partie) en sont un cas parliculier.

X étant écrit au lieu de ^(t), pour simplifier l'écriture. Nous désignerons par X, (U, Y) et X^ (U, V) les expressions obtenues en remplaçant U^ par V^, mais laissant TJ quand cette quantité intervient par elle-même.

Désignons par Ci et C2 les caractéristiques de chacune des équations (12), dans l'espace E^+i- Gomme au n° 7:2, deux cas sont à distinguer suivant qu'une certaine condition d'intégrabilité est remplie ou non.

Soient r^ et Y^ les caractéristiques de chacune des équations passant par un point A. Si la condition d'intégrabilité est remplie, les courbes G| coupant Fo et les courbes C2 coupant F, définissent, de deux manières différentes, une même surface ^, et cela quel que soit A. La propriété fondamentale des caractéristiques étant qu'une surface intégrale qui contient un point (non singulier) d'une caractéristique la contient tout entière, une surface intégrale du système (12) qui contient un point (non singulier) d'une surface S, la contient tout entière. Les surfaces intégrales sont des lieux de surfaces S.

Si au contraire la condition d'intégrabilité n'est pas vérifiée, on peut, en partant d'un point A et suivant des caractéristiques Gj et G:;, décrire complètement une surface S à un nombre p de dimensions, fini ou infini, mais supérieur à 2. Les surfaces intégrales sont, comme dans le cas précédent, des lieux de surfaces 2.

Le plan tangent à S en A est défini par les tangentes aux courbes G, et G2 passant par A, et les tangentes à d'autres courbes G.j, G4, . . ., Gy,, que l'on peut définir comme au n^ 72, et qui sont les caractéristiques d'équations analogues aux équations (12) et résultant de ces équations. Les formules seules sont un peu difierentes de celles du n« 72.

Les équations des courbes G3 résultent évidemment des formules

àx{t) à ôx{t) 6^V ~~ dl d\L

à dx{t) dix d\

ÔM à àV

ô ô\} dix 01 '

où A et |Ji sont des paramètres correspondant aux courbes Gj et Gj, par des formules analogues aux formules (4). En développant ces

CIIAP. VI. — TYPES DIVERS D'ÉQIIATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. 249

expressions, on trouve pour les seconds membres

.^ , r ,TT 1. àF,\\x\l), t]\ ^ .^ ,^.,, âFA[x\V, t]\ ^ .^ ,^,,, 1^1 [^-lU, 01= -"^^^- Gi|[^|lj]| Ll l__L LLG2|[a:|lj]l

+/ j F2|[^|U,^/.]|F,|[^lU,^i]| G3K.IU |^-^^-l]^'^^'G.|[.|U]|--^^-'f;J^3lG.|[.|U]l

-/'i g;i[^iu,^i1If,I[^|u,/,]I

Ces courbes C3 sont les caractéristiques de l'équation

On constate d'ailleurs aisément que cette équation s'écrit identiquement

X,[U, X,(U)]-X2[U, Xi(U,)] = o,

ce qui permet de vérifier, sans passer par l'intermédiaire des caractéristiques, qu'elle résulte des deux équations (12).

7o. Équations non linéaires. — Etudions maintenant l'équation non linéaire

(i3) <I>1 [,r(0, X(0 1 U] 1 = o [X(0 = V^^uA-

Désignons la variation de la fonctionnelle ^ par

^x 4- <I)k ôX) dl -+- <î>u SU.

Pour chaque détermination de oo(t), les éléments du second ordre (l'une fonctionnelle U sont définis par la donnée de la fonctionnelle linéaire identique à son adjointe

ôX(o^h:(S^).

Si la fonctionnelle U est une intégrale, on a

Ô«ï> = f [(î)l, + E(*I)x) + X^Li] OX dt = o,

•>.5o DEUXIÈME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

el cela quel que soit or, et par suite

Cette condition exprime que

entraîne

Ceci nous conduit à considérer les multiplicités caractéristiques^ composées d'éléments dépendant d'un paramètre A, et tels que

(i4) { oL: =dl X{t)(^'^idt,

Un élément d'intégrale (à l'exception de certains éléments singuliers) définit parfaitement une caractéristique. Une surface intégrale S de l'équation (i3), contenant un élément singulier d'une caractéristique, la contient tout entière. Cela résulte évidemment de ce qu'un déplacement sur la surface, vérifiant la première équation (14)5 vérifie aussi la dernière, comme nous venons de le voir; la seconde est vérifiée pour tout déplacement de la surface S.

La théorie des équations du tjpe (i3) est donc tout à fait analogue à celle des équations étudiées Chapitre IV. La détermination de l'intégrale générale et la solution du problème de Cauchj se ramènent aux problèmes analogues concernant les équations des caractérisliques, qui sont réductibles à des équations intégro-difTérentielles. On est donc ramené à un problème d'analyse ordinaire.

Si, au lieu de se placer dans l'espace E^,,^, dont chaque point représente un système de déterminations de x (t) et U, on se place dans l'espace Eo^+i dont chaque point représente un système de détermi-

nations de X (/), X (t) et U, les équations (i4) définissent des courbe

et non des multiplicités. Ces courbes sont les caractéristiques de ré(juation linéaire

(I )) f [^i>x(^r.+ xTi) -^('ï'I^ + xcK,)] dt = 0,

^V étant une fonctionnelle inconnue de x{t)^ X (/), U. Ainsi, comme

CIIAP. VI. — TYPES DIVERS D EQUATIONS AUX DERIVEES FONCTIONNELLES. IJl

pour les équations aux dérivées paiiielles du premier ordre, une équation non linéaire se ramène à une équation linéaire à un plus grand nombre de variables indépendantes.

76. Systèmes d'équations non linéaires. — Nous nous contenterons encore, pour indiquer les circonstances qui se présentent, de considérer le cas des deux équations, soit

( <ï>|[^(0, X(0|U]l = o, ^ ^ ■ ( M'|[^(o,X(oiu]| = o.

Désignons par Oit i et Dilo les multiplicités caractéristiques de ces deux équations, qui sont des multiplicités dans l'espace E,„^|, et par C, et Co les courbes de l'espace ^2M+i qui leur correspondent. Nous avons toujours deux cas à distinguer suivant qu'une certaine condition d'intégrabilité est vérifiée ou non.

Dans le premier cas, en partant d'un point A de l'espace Eo,^^^ et décrivant des courbes C^ et C:», on reste sur une surface à deux dimensions. Comme l'équation

oU=/ X{t)^x{t)dt, [X(t) = l]'^{t)]

est véri'iée pour ces déplacements, cela revient à dire qu'en partant d'un élément C de l'espace E^^^, et se déplaçant le long des multiplicités DYLi ou OIL2, on obtient des éléments dépendant de deux paramètres et constituant une multiplicité DK. Toute surface intégrale ayant un élément (non singulier) commun avec une telle multiplicité la contient tout entière. Ces multiplicités jouent pour le système (16) b; même rôle que les multiplicités à une dimension 011, et 0112 pour chacune de ses équations.

Dans le cas où la condition d'intégrabilité n'est pas vérifiée, on obtient (comme aux n'" 72 et 7i) des résultats analogues, les surfaces S et multiplicités Oft étant seulement remplacées par des surfaces ou multiplicités analogues, mais à plus de deux dimensions.

Le procédé pour obtenir leurs équations est toujours le même. Désignant par e une quelconque des quantités oc{t)^ ^(0' ^5 P^^" ^' et a des paramètres dont la variation indique des déplacements situés respectivement sur Oit, et OllLo? on obtient une multiplicité ana-

logue DTl^ définie par les équations

()e () de <) de

On obtient ensuite successivement les équations de multiplicités analogues OU/,, Ole 5, . . ., et le plan tangent à la surface S qui représente la multiplicité ,011 dans l'espace Eof^^, est défini par les tangentes aux courbes G^, C2, G3, . . . qui représentent les multiplicités

D\li, OlLs, 0)1.3, . . ••

En développant les équations des multiplicités OlC;,, représentées symboliquement par la formule (17), on constate que ce sont les multiplicités caractéristiques de l'équation ^

(18) [*, ¥] ^ f [<I>k(^Fl-+ X¥'u) - W'^{<l^'^+Xa^)]dt = G.

Cette équation, par la manière dont elle est obtenue, est une conséquence des équations (16). En effet, toute surface intégrale du système (16) ayant un élément non singulier commun avec une multiplicité caractéristique Olls de l'équation (18), la contient tout entière. C'est donc une intégrale de cette équation.

77. On reconnaît dans l'expression (t8) la généralisation des crochets de Jacobi. Lorsque les fonctionnelles <I> et W ne dépendent pas de U, elle se réduit à l'expression

qui généralise les parenthèses de Poisson. On vérifie sans peine l'exactitude de la formule

[(cl>, IF), Q] + [{W, Q), cl>] -H [(O, (I>), W] = G,

qui généralise le théorème de Poisson. Si donc W etO sont deux intégrales de l'équation (18), il en est de même de (W, ù). En d'autres termes, supposons que le système

soit complet, et que l'équation <ï> = o, rapprochée de chacun ■ «les deux équations ^F = oetO = o, constitue un système complet, le

CHAP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. 253

système

(21) il^ = w = Q = {W,ir) = o

est également complet. C'est là un résultat intuitif si au lieu des équations constituant ces systèmes on écrit les caractéristiques correspondantes. Désignons en effet par C|, Co, C3, G/, les courbes de l'espace l'^iiw+i correspondant aux caractéristiques des quatre équations (21). ]^es courbes C2 et G3 ne définissent pas des surfaces à deux dimensions, mais des surfaces (S;,) à trois dimensions contenant aussi les courbes G;{. Ges surfaces peuvent se déformer de manière que chacun de leurs points décrive une ligne G,, puisqu'elles sont formées de courbes G, qui jouissent de cette propriété. On obtient ainsi des surfaces (S/,), dont on ne peut sortir en décrivant des courbes G,, Go, G3 et G/,. Gela prouve bien que le système (21) est complet.

11 n'est pas plus difficile de vérifier, par un calcul direct, qu'une fonctionnelle L , intégrale du système (16), vérifie l'équation (18). En posant

oU = f Xif)ox(t)dt, ùX(t) = F{^.v),

nous avons vu 11" 7o que l'équation $ = o, différentiéc, donne

<]>;,. + X <I>u + E ( fl>x ) = o.

De même, Téquation ^r = o donne

Multiplions la première de ces formules par — W^,, la seconde par (&^., ajoutons et intégrons. Il vient

et, par suite, la fonctionnelle E étant identique à son adjointe,

78. On peut chercher à étendre le principe de la méthode de Jacobi et Mayer. Plaçons-nous par exemple dans le cas où les fonctionnelles <ï> et ^ ne contiennent pas U.

L'adjonction aux équations proposées (f6) de nouvelles équations,

déduites des premières par l'opérateur de .Licobi donne, après nn nombre d'opérations fini ou infini, un système complet. Si ses multiplicités caractéristiques DYl sont si étendues qu'il n'en existe qu'une infinité simple, chacune d'elles représente une surface intégrale. On peut dans ce cas des équations écrites déduire, par des opérations de l'analyse ordinaire, l'expression de X(^) en fonction de U el x(f), et U est alors donné par une équation aux dérivées fonctionnelles ordinaires, complètement intégrable.

Dans le cas contraire, on ne peut pas tirer X(^) des équations écrites. On peut alors chercher à adjoindre aux équations écrites une nouvelle équation Q = o constituant avec elles un système complet, et, d'après le numéro précédent, il suffit que la fonctionnelle il vérifie

les équations

L'intégration complète de ce système linéaire est équivalente à celle du proposé, conduisant aux mêmes équations des caractéristiques. Mais il suffit d'en trouver une solution particulière, d'où l'on déduira une solution plus générale OH-const.

Si les équations écrites ne suffisent pas pour obtenir l'expression de X(^) en fonction de U et cc[l), on cherchera à adjoindre au système une nouvelle équation, et ainsi de suite, un nombre fini ou infini de fois. On pourra enfin exprimer X(/) en fonction de U et x (t) et en déduire U par l'intégration d'une équation aux dérivées fonctionnelles ordinaires. On aura ainsi une intégrale complète, qui permet d'obtenir l'intégrale générale ou de résoudre le problème de Gauchy.

Ainsi, le principe de la méthode s'applique, mais le résultat est beaucoup moins intéressant que dans la théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Sauf dans le cas où les intégrales du système proposé ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres, il faut une infinité d'opérations. De plus, la résolution des équations obtenues par rapport à X (^) peut être très difficile, bien que ce soit un problème d'analyse ordinaire. La méthode qui généralise celle de Gauchy, qui consiste à déterminer les surfaces S, est certainement préférable et plus dans la nature des choses (^).

(') Cela est d'ailleurs vrai dans l'analyse ordinaire. On invoque en général en faveur de la métiiode de Jacobi et Mayer que chaque opération abaisse de deux unités l'ordre du système à intégrer. C'est là, au fond, une propiiélé des équations

CHÀP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. 255

79. Équations contenant un paramètre. — Soit U une fonction arbitraire de p fonctions ^, (^), x.y (i), .... .Xp{t). Désignons ses dérivées fonctionnelles par X,(^), \^(0, . • -, ^p{t). Considérons une équation aux dérivées fonctionnelles

(22) «1)1 [xi, Xo, . .., Xp-, Xi, X2, .. ., X/,1 l . a] ] ^ o,

dont la forme dépend d'un paramètre a.

Le fait que l'on ait plusieurs fonctions arbitraires ne change rien à la théorie exposée n° 75. Pour chaque valeur de a, on aune équation dont l'intégration se ramène à celle des équations intégro-différentielles des caractéristiques. Ces équations s'écrivent

/ 8 Xiit) = *V\.dl

j Ô Xi(J} = — [<l>.'r,-+- X,-(0 *l] dA ( i* = I, 2, ...,/?),

i OU = diy I Xi(t)^ly'j^.dt.

Considérons maintenant l'ensemble des équations (22) obtenues en faisant varier a dans un certain intervalle, et cherchons les intégrales U communes à toutes ces équations. Elles vérifient les conditions d'intégrabilité

obtenues en rapprochant les équations (22) deux à deux ('); <ï>, et 4^2 désignent les déterminations de ^ correspondant à deux valeurs de a, et cf.2.

On définit une multiplicité caractéristique DXi comme l'ensemble des éléments C que l'on peut obtenir en partant d'uii -élément Cq et en décrivant des arcs finis ou infiniment petits des caractéristiques (23), chacun des arcs ainsi décrits correspondant à une valeur différente de a. En d'autres termes, un pareil déplacement sera défini par les équations (23), dans lesquelles on considère a et A comme des fonctions

des caractéristiques, ([ui ne sont pas des équations quelconques, mais qui sont telles que les fannilles d'éléments qu'elles définissent aient une enveloppe; il en résulte que la connaissance d'une intégrale première permet d'abaisser de deux unités l'ordre du système. C'est là une circonstance de nature à faciliter l'intégration, quelle que soit Ja méthode employée.

(') La parenthèse de Poisson, dans le cas correspondant à celui-là, a été formée par M. Yolterra au Chapitre IV' de ses Leçons siw les fonctions de lignes.

(l'un môme paramètre (a pouvant être discontinu; A pouvant être tantôt croissant, tantôt décroissant).

80. Comme dans le cas de deux équations, il j a lieu de considérer d'abord le cas où la condition d'intégrabilité (24) résulte analytiquement^ c'est-à-dire sans dérivation fonctionnelle de l'équalion (22). Nous entendons par là qu'elle est vérifiée, quels que soient a, et ao, pour tous les systèmes de déterminations de .r, (^), x-ii^l)^ ..., X^, (^) et U vérifiant l'équation (22) ( * ).

Dans ce cas, les équations des caractéristiques sont aussi complètement intégrables, ce qui définit la généralité des multiplicités Oit. Un déplacement infinitésimal sur une telle multiplicité est une comljinaison linéaire de ceux définis par les équations (28). En d'autres termes, pour chaque valeur de a, les équations (2.3) définissent une direction dans l'espace E^^(^^, représentante, (^), .r2(/), ..., X^(/), L. La variété linéaire la moins étendue contenant toutes les directions ainsi définies est la variété linéaire tangente à la variété S de l'espace E2/ja^+i qui cori^spond à la multiplicité d\^ de l'espace E^fo+i ; si, se déplaçant sur 2 d'une manière quelconque^ on revient au point de départ, on j revient tangentiellement à la variété considérée.

La généralité de la variété 2, ou de la multiplicité correspondante M, est ainsi bien définie.

On peut obtenir un résultat plus précis si l'équation (22) peut être résolue par rapport à une dérivée fonctionnelle, par exemple Xy,. Dans ce cas, on est dans un cas généralisant celui étudié au Chapitre IV dont les résultats, même siyo>2, s'appliquent sans difficulté; les éléments de chaque multiplicité OÏL dépendent de la fonction arbitraire Xp{t). Dans le cas général, on peut évidemment dire qu'ils dè- [)endent d'une fonction arbitraire de a, mais c'est moins précis et ne renseigne pas sur le fait de savoir si une des fonctions coordonnées Xi(t) peut être choisie arbitrairement et détermine bien un élément; cela dépendra évidemment de l'intervalle de variation de a et aucune règle générale n'est possible (comparez aux considérations du Chapitre VII de la première Partie).

(') Nous dirons de même qu'un système d'équations est résoluble analytiquement, (|ue certaines fonctions peuvent s'éliminer analytiquement. Cela indiquera qu'il s'agit d'opérations delà théorie des fonctions, et qu'il n'y a à effectuer aucune dérivation fonctionnelle.

CHAP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. iSj

Les multiplicités DXi une fois obtenues permettent l'intégration de l'équation étudiée dans les mêmes conditions que pour les autres types d'équations du premier ordre étudiées jusqu'ici.

81. Plaçons-nous maintenant dans le cas où l'équation (24) ne résulte pas analjtiquement de l'équation (22), En considérant X,, \o, ..., K^ comme/? fonctions nouvelles, et non comme des dérivées fonctionnelles d'une même fonctionnelle U, elle impose aux quantités T^^ Xo-, .••! ^pi U des restrictions qui ne résultaient pas de l'équalion (22).

En recommençant l'opération qui a conduit à cette opération, on peut obtenir une infinité de conditions nouvelles.

Elles sont en général incompatibles. Cette circonstance se produit en général dés que l'on a écrit l'équation (24), qui contient deux paramètres arbitraires y^ et ao, et qui suffirait pour déterminer une fonction de deux variables; il n'est donc pas possible en général de déterminer U et les fonctions X^(/), X2(^), ..., ^p{i) d'une seule variable de manière à la vérifier.

Dans le cas où elles sont compatibles, il peut arriver qu'elles permettent l'élimination des y^i{t) déterminant ainsi complètement U.

En dehors de ces cas, on arrive à un certain moment à un système complet, c'est-à-dire un certain système d'équations compatibles, ne permettant pas l'élimination des Xi(^), et telles que les conditions d'intégrabilité obtenues en les rapprochant deux à deux n'impose aucune restriction nouvelle. On peut raisonner sur ce système comme sur l'équation (22) elle-même dans le cas du numéro précédent. Son intégration se ramène à la détermination des multiplicités caractéristiques Dli. Seulement elles sont plus étendues que dans le cas précédent. La variété linéaire tangente en chaque point à une de ces multiplicités est la plus petite variété linéaire comprenant, non seulement les directions définies par les équations (aS), mais celles définies par les caractéristiques des équations (24) et des autres équations obtenues successivement.

82. Ce qui précède montre la possibilité de généraliser la méthode de Cauchy. Il est facile de voir comment se présente celle de Jacobi et Mayer.

Plaçons-nous dans le cas où le système, rendu complet, peut se

mettre sous la forme

/ *, I \xi, 372, . .., xp-, Xi, Xo X^l V, y.i]\ = o,

f *7l i^U ^2, •.., ^p', Xi, X2, .. ., X^, I U, ay] I = G,

et supposons-le résoluble analjtiqiiement par rapport à X, ,X2, ..-, X^, de sorte que sa solution générale dépend d'une fonctionnelle arbitraire de ^^4.», ..., Xp.

Le principe de la méthode de Jacobi et Mayer consistera à adjoindre à ce système une équation de même forme

(26) <I)^4-l| [^1, ^2, .• -, '^p', Xl, X2, . .., X;;l lï, a^-^-l] I - O,

constituant avec les précédentes un système complet, et résoluble analytiquement par rapport à X,, X2, ..., \y+i. La répétition du même procédé conduira à un système complet donnant toutes les dérivées fonctionnelles en fonction dext^ Xo^ •••, Xp et L, c'est-à-dire à une intégration aux dérivées fonctionnelles ordinaires, dont l'intégration se ramène à celle d'une équation différentielle.

La détermination de la fonctionnelle <I^/+t dépend du système linéaire

[a>,, <Ivm1 = ['1*2, <iv+i] =...== [<!>,/, <ÏV^i] = o.

L'intégration complète de ce système est aussi difficile que celle du proposé, puisqu'elle admet les mêmes caractéristiques. Mais il suffit d'en trouver une solution dépendant d'un paramètre; bien entendu ce paramètre a^,, ne doit pas être une constante additive, puisque toutes les équations obtenues en le faisant varier doivent être vérifiées simultanément, et il faut ajouter une foi^ction arbitraire de a^^, pour obtenir l'intégrale complète du système proposé. De plus, il faut que ce paramètre varie dans des limites suffisantes pour permettre la résolution par rapport à X^^, .

Ce résultat obtenu, un nombre fini p— q d'opérations analogues, dépendant de systèmes d'équations aux dérivées fonctionnelles ordinaires contenant chaque fois deux fonctions inconnues de moins, conduit à l'intégrale complète du système proposé. La méthode de Jacobi et Mayer se généralise donc plus aisément dans le cas considéré ici que dans celui considéré n° 78.

83. Généralisation. — Il ressort des considérations qui précèdent que toutes les théories relatives aux écjualions partielles du premier

CHAP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. "2 59

ordre s'étendent sans peine au domaine fonclionnel. On peut ais<;ment étendre ces résultats à des cas plus généraux encore en considérant une fonctionnelle U dépendant de po paramètres, pi fonctions d'une variable, ..., p,,,, fonctions de m variables; en employant le langaoe des nombres transfinis, U serait une fonction de

variables.

On peut supposer cette fonctionnelle assujettie à vérifier un système comprenant cjo équations aux dérivées fonctionnelles partielles du premier ordre ne contenant aucun paramètre, ^, équations contenant un paramètre, ..., Çn équations contenant n paramètres, c'està-dire un système de ^o+ ^i ^^ + ••• + ^« ^'^ équations.

Pour l'étude d'un pareil système, il y a lieu d'abord de former les conditions d'intégrabilité, en les rapprochant deux à deux et efl'ectuant l'opération de Jacobi. Si elles ne sont pas identiquement vérifiées, et ne résultent pas analytiquement des équations initiales, on recommence la même opération, en tenant compte des nouvelles équations, et ainsi de suite. Il peut y avoir lieu de recommencer celîe opération une infinité de fois (ce sera le cas général si n = o).

On peut arriver ainsi à des équations incompatibles, ou bien à des équations permettant l'élimination, au point de vue analytique, des dérivées fonctionnelles, ce qui détermine U. En dehors de ces cas, on arrive à un certain système complet, formé d'équations compatibles, et telles que la condition d'intégrabilité ne donne aucune restriction nouvelle. Deux circonstances peuvent se présenter :

Ou bien ce système est analytiquement résoluble par rapport à l'ensemble des dérivées fonctionnelles. Il équivaut alors à une éxjuation aux dérivées fonctionnelles ordinaires, qui se réduit à une équation différentielle si l'on fait varier les diverses fonctions (b)nl dépend U suivant une loi déterminée;

Ou bien certaines dérivées fonctionnelles restent indéterminées. L'intégration du système se ramène alors par la méthode de Gauchy à Fintégration des équations des caractéristiques, c'ëst-à-dire à un système d'équations aux dérivées fonctionnelles, qui est réductible à un système d'équations différentielles ou intégro-dittérentielles.

De toute façon on est ramené à un problème d'analyse ordinaire, résultat qui ne s'étend pas aux équations d'ordres supérieurs au premier.