CHAPITRE L

LA SPHÈRE DANS L'ESPACE A n DIMENSIONS.

SOxMMAiRE : Remarques générales. — I. Le volume et la surface de la sphère : Calcul d'une intégrale définie. — Ordre de grandeur de I«. — Le volume de la sphère dans l'espace E,^. — La concentration près de la surface. — La concentration près de lequateur. — Volume commun à un nombre fini de zones. — La surface de la sphère. — II. Un problème de calcul des variations : Énoncé du problème. — Un problème de géométrie plane. — Un problème de géométrie sphérique. — Généralisation.

1. Remarques générales. — Dans l'espace ordinaire, la ihéoiie des équations aux dérivées partielles du second ordre n'apparaît pas du tout comme une simple extension des méthodes qui ont servi pour les équations du premier ordre, mais nécessite au contraire l'intervention de méthodes essentiellement nouvelles, correspondant à des problèmes aux limites nouveaux. Cela est en évidence surtout dans les équations du type elliptique, dont la plus simple est l'équation (le Laplace.

La théorie de cette équation repose sur la formule de Green, c'est-à-dire sur l'emploi d'une notion^ celle d'intégrale de volume, qui n'intervenait pas dans la théorie des équations du premier ordre. Elle joue au contraire un rôle fondamental lorsqu'on s'occupe d'équations du second ordre.

Si l'on cherche à étendre celte notion à l'espace fonctionnel, on constate d'abord que l'extension de la notion d'intégration n'est pas possible, la plupart des volumes étant nuls ou infinis. Mais on peut remplacer cette notion par celle de valeur moyenne^ qui s'applique même dans ces volumes, et rend les mêmes services. Il est alors curieux de constater que cette notion, pour une raison qui sera mise en évidence dès le Chapitre suivant, se présente sous un aspect nouveau, plus simple que celui qu'elle présente dans l'espace à un nombre fini de dimensions. C'est k l'étude de cette notion que vont être consacrés plusieurs Chapitres. Nous étudierons ensuite l'équation de Laplace généralisée et quelques équations qui s'y rattachent, comme types d'équations du second ordre.

Pour éviter de rendre cet exposé trop abstrait, nous insisterons ])articulièrement sur la notion de valeur moyenne dans le cas de la sphère, où certains énoncés peuvent admettre plus de précision que dans le cas général. Certaines remarques sur la sphère dans l'espace E,j à n dimensions seront utiles comme introduction à cette étude. Rappelons que, comme nous l'avons vu à propos de la notion de distance, la sphère de rayon R de l'espace fonctionnel est la limite, non de la sphère de rayon R dans l'espace E;^, mais de la sphère de rayon J\\/ n.