I. — LE VOLUME ET LA SURFACE DE LA SPHÈRE
2. Calcul d'une intégrale définie. — Le volume de la sphère se déduit aisément de la valeur de l'intégrale définie
cos"0flf6.
Par une intégration par parties, on a, si /i > i
d'où
J„= [sin6cos«-iOJ^' +(/i — i) f cos«-2 0sin20rfô
— {n — l){\n^2—hi),
CHAP. I. — LA SPHÈRE DANS l'eSPACE A TX DIMENSIONS, 263
Celle formule de réeurrence^ et le calcvil direcl de lo et I<, donnent les formules classiques
L'introduction des fonctions eulériennes permet de réunir ces formules en une formule unique, valable même si n n'est pas entier. Nous n'aurons pas besoin de celte formule. Remarquons seulement que, d'après celles que nous venons d'écrire, on a
et par suite, 7i étant un entier positif quelconque.
3. Ordre de grandeur de T„. — De la formule dé définition (i) résulte évidemment que \,i décroît quand n augmente. On a donc
et I„, équivalent à T^^^ pour n infini, d'après la formule (2), est aussi équivalent à 1//+,. D'après la formule (4), on a donc
11 est évidenl que les dilférentes parties de l'intervalle d'intégration de o à -^ ne contribuent pas également, si n est grand, à la valeur de \,i. a étant un angle compris entre o et -7 on a évidem-
ment
/ -cos"ô dx ci '• a ) cos"a.
Cette int(;grale, si ji est grand, est donc infiniment petite par rap-
]3ort à I;j, de sorte que, quelque petit que soit a, l'intégrale de o à a est équivalente à 1,^.
Pour avoir une fraction finie de 1,^, il faut intégrer entre zéro et une limite supérieure tendant vers zéro avec /^. Calculons
P Jn \ r oc
Or, entre o et a, cos^' — r tend uniformément, pour n infini,
vers e ^ , L'intégrale considérée est donc équivalente à
/a -:>^ e ^ dx.
On voit donc qu'elle représente bien une partie finie de !„, fraction aussi voisine de l'unité que Ton veut si l'on a pris a assez grand.
4. Le volume de la sphère dans l'espace E/^. ^ Ce \olumc est évidemment de la forme
R étant le rayon de la sphère, et K„ le volume de la sphère de rayon i. Pour calculer ce volume, décomposons-le en tranches par des plans parallèles; la distance d'un de ces plans au centre étant sinÔ, la mesure de la section de la sphère par ce plan est K,^., cos"~' B, de sorte que
ZE
ces" 6 û?6 = 2l„K„i
et par suite
ou, en tenant compte de la formule (4), (6) K„=^K„,.
De cette formule de récurrence et des valeurs connues de K2 et K3, on déduit
tJ'
CIIAP. I. — LA SPHÈRE DANS l'eSPACE A 71 DIMENSIONS. ' 265
On voit donc que le volume de la splière de rayon R dans l'espace \l,i tend vers zéro pour n infini^ et que le volume de la sphère de ravon R.\//i est équivalent, d'après la formule de Stirling (M, à
Il devient donc nul ou infini suivant que R est inférieur ou égal
a ^ ou au contraire supérieur a cette valeur.
5. La concentration près de la surface. — Considérons dans l'espace E/^ deux sphères concentriques de rajon R et R(i— ^a), a étant compris entre o et i. Leurs volumes sont dans le rapport des
nombres
Donc, quelque petit que soit a, le second est, pour ji infini, infiniment petit comparé au premier; autrement dit, la région comprise entre les deux sphères concentriques a un volume équivalent à celui de la plus grande sphère. On peut exprimer ce fait en disant que, pour 11 très grand, le volume de la sphère se concentre près de sa surface.
Si l'on veut que la région comprise entre les deux sphères soit une fraction finie du volume total, il faut donc que la différence des deux rayons soit^ non une fraction finie de R, mais une quantité
infiniment petite. En prenant comme rayons R et R(i — -j , les
volumes des deux sphères sont entre eux comme les nombres
(') On déduit en général cette formule de la théorie des fonctions eulériennes. Il nous paraît plus simple d'observer que la fonction
a une limite, puisque logF(/iH-i) — logF(/î), équivalent pour n infini à r,^
est le terme général d'une série convergente. Cette limite se déduit alors immédiatement des formules (3) et (5) ou, ce qui revient au même, de la formule Wallis.
et à la limile, comme les nombres
La sphère intérieure comprend cette fois une fraction finie du volume total, mais on peut rendre cette fraction aussi petite que l'on veut en prenant a assez grand. Cela montre bien suivant quelle loi le volume de la sphère se concentre près de la surface.
6. La concentration près de l'équateur. — Considérons maintenant dans l'espace E^^ la portion de la sphère de rajoii R compris entre les plans
5 = R sin8,, ^ = R sinÔa,
z étant la distance à un plan passant par le centre de la sphère. Le volume total et la portion considérée, d'après le procédé qui a été employé n** 4 pour évaluer le volume de la sphère, sont entre eux comme les intégrales
/cos"0<:/0, / cos"
Si B, <^ o << ^2 5 quelque petites que soient les valeurs absolues de ces nombres, ces deux intégrales sont équivalentes pour n infini (n** 3), de sorte que tout le volume de la sphère se concentre pour n très grand dans une zone aussi mince que l'on veut, limitée par deux plans parallèles situés de part et d'autre du centre.
Si nous voulons que la zone considérée comprenne, lorsque n devient infini, une fraction restant finie du volume de la sphère, il faut que 9, et 82 tendent vers zéro. En prenant comme plans limites
^ = Rsin4:k. 2=:Rsin-^,
OU, ce qui revient au même,
s/ Il sj II
on obtient un volume, dont le rapport au volume total tend, d'après
ClIAP. I. — LV SPHÈRE DAXS LESPACE A II DIMENSIONS. 267
le n^ 3, vers
(9) -p=^ / ^' '^ dx.
Celte fraclion est aussi voisine que l'on veut de l'unité, pourvu que Ç, et Co soient l'un négatif, l'autre positif, et tous deux suffisauinient grands en valeur absolue.
Si, au lieu de la sphère de rajon R, on considère la sphère de rayon Ry//, qui nous donnera à la limite une sphère de rayon R dans l'espace fonctionnel, on obtient évidemment le même résultant en considérant la zone d'épaisseur finie limitée par les plans
7. Volume commun à un nombre fini de zones. — Considérons d'abord le cas d'un nombre fini p de zones, dont chacune est limitée par des plans parallèles situés de part et d'autre du centre à des dis-tances de ce point égales à des fractions finies du rayon. En retranchant d'abord du volume de la sphère la région extérieure à la première zone, on ne retranche qu'une fraction infiniment petite du volume total; il en est de même quand on retranche successivement les régions extérieures aux autres zones. Donc le volume commun aux p zones considérées est, pour n infini, équivalent au volume total.
Il en est de même si l'on retranche en outre le volume- intérieur à une splière dont le rayon représente une fraction finie du rayon de la sphère étudiée.
On peut donc dire que le volume de la sphère se concentre tout entier, pour n infini, dans le voisinage de la zone comprenant les points communs à la surface et à p plans passant par le centre.
Considérons maintenant des zones d'épaisseurs infiniment petites par rapport aux rayons. Pour fixer les idées, nous prendrons la sphère de rayon infini Ry//i et les zones d'épaisseur finie
(10) R~^;<-s,<Rr; (/^f,^, ...,p).
Nous allons montrer que la fraction du volume de la sphère comprise dans la- région commune à ces zones, autrement dit la probalillité pour qu'un point intérieur à la sphère soit dans cette
région, a la valeur
