CHAP. II. — LA. NOTION DE CONTINUITÉ DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. I

d'une partj qu'elle n'est pas continue d'ordre p — i (définition de lu continuité liée au voisinage iniiforme d'ordre p — i), d'autre part, qu'il n'est pas possible qu'elle soit continue d'ordre /> -|- i sans l'être d'ordre jo? Il semble que oui ('), car le fait d'être définie dans le champ que nous \enons de considérer indique que la déri\ée d'ordre /? de jc(^) intervient (explicitement ou non) dans sa définition; alors on ne s'expliquerait, ni qu'il suffise que les fonctions x{l) et r(^) aient leurs dérivées d'ordre p — i très peu différentes, ni qu'il soit nécessaire qu'elles aient leurs dérivées d'ordre p -f- 1 très peu difierentes, pour que les valeurs correspondantes de U soient très peu différentes. Il serait intéressant de le démontrer rigoureusement, ou bien de donner des exemples d'exception à cette règle.

14. Continuité uniforme. — Considérons une définition déterminée de la distance. Une fonctionnelle U sera dite luilforniément continue dans un certain champ fonctionnel G si, étant donné un nombre positif s, on peut déterminer un nombre 't\ tel que, si deux fonctions du champ G ont une distance inférieure à v], les \aleurs correspondantes de U diffèrent de moins de s.

On sait que, dans l'espace à n dimensions, toute fonction continue dans un domaine fini y est uniformément continue. Pour bien comprendre la raison de cette circonstance, il faut connaître la notion d'ensemble compact, due à M. Fréchet. Dire qu'un volume V de

(') On peut èlrc teiUé de considérer connue une exception le cas d'une fonclionnelle telle <jue

dont la variation, lorsque x' est continue et que x" existe, peut s'écr

dt.

l\^x' rjX\\ 3 / x" Zx

et a une continuité d'ordre o. Mais cette continuité n'appartient pas à la fonctionnelle elle-niénie. On peut, en eft'et, trouver des dctei minai ions de a;, telles que

-sin^Tr^, inféricuii's <lans tout l'intervalle à n'injporlc (|ucl nombre donné si n est

assez grand, et icllcs j)oui-tant que U ne tende pas v(n's la valeur o, qu'elle prend pour a; — o.

l'espace-à ii dimensions est compact^ c'est dire qu'étant donnée une suite infinie

Al, A-2, . . ., Ay,, . . .

de points de ce volume, on peut trouver au moins un point A tel qu'il existe une suite iniinie extraite de la suite précédente et tendant vers A. Considérons alors une fonction u qui soit continue dans V. Si elle n'était pas uniformément continue, il existerait un nombre positif £ auquel on ne pourrait faire correspondre aucun nombre t, tel que, à deux points A et A' distants de moins de y, correspondent nécessairement deux valeurs de u différant de moins de £. Ce serait donc qu'on pourrait trouver une suite de couples de points A^, A^^, tels que la distance A^A/ tende vers o quand p augmente indéfiniment, et que les valeurs de la fonction a en A^ et A' diffèrent de plus de z. Mais les Kp auraient au moins un point limite A, où la fonction u ne serait pas continue, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

Ce résultat ne s'étend pas à l'espace fonctionnel, où un domaine fini V n'est en général pas compact. Considérons, par exemple, la suite de points correspondant aux fonctions

cosir.t, cos4t^, ..., cosii'nt, ....

Ces points sont compris dans un \olume fini, aussi l)ien avec la définition (i) de la distance qu'avec la définition (2), mais il est impossible d'en extraire une suite tendant vers une limite, puisque la distance de -deux quelconques d'entre eux est ï, si l'on considère la distance définie par la formule (i), et 2] si l'on considère la distance définie par la formule (2).

15. Fonctionnelles dépendant d'un paramètre. — Considérons une famille de fonctionnelles Lx dépendant d'un paramètre A, et définies dans un champ fonctionnel C. On dit qu'elles sont également continues dans le champ C et pour un certain ensemble de valeurs de A, si, en chaque point du champ C, le module de continuité relatif à un nombre z peut être choisi indépendamment de A. S'il peut être choisi indépendamment à la fois de X et de:r(^), les fonctionnelles Ux sont dites également et uniformément continues .

On dit que U) tend vers V^^ quand ). tend vers Aq, s'il en est ainsi