II
Cette formule exprime que les variables z ont des lois de probabilités indépendantes. Pour la démontrer, il suffît de montrer que les conditions
{\l) Zi^V^\i, (1 = 1,9.,...,/)—})
sont sans influence sur la loi de probabilité de z-p. En effet, ces équations, écrites dans l'espace à 7i dimensions, représentent un plan à 71 — /> H- I dimensions, à une distance déterminée r := IcK du centre de la sphère, égale, si les plans Zi= const. sont perpendiculaires deux à deux, à
r = R v/Çf + ç|; 4-. . . + ç^; = ar.
La section de ce plan par la sphère du rayon R\//i est une sphère de l'espace à n — /? -h i dimensions et de rayon K\/n — A^ équivalent à Ry/n — p-\-i. Le nombre /z, et par suite n — p-\-i, devenant infini, la loi de probabilité pour la coordonnée Zp=Kqp est bien celle qui résulte de la formule (9). Elle est donc bien indépendante des conditions (12).
8. La surface de la sphère. — Dans l'espace E,;, le volume de la sphère étant K,iR'', sa surface est évidemment
La surface de la sphère de rayon R tend donc vers zéro pour n infini, tandis que celle de la sphère de rayon R\//i devient nulle ou infinie
en même temps que le volume, sauf dans le cas limite où R = •
\/'nze
Dans ce cas, d'après le n" 4, le volume de la sphère est équivalent
à , y de sorte que sa surface est équivalente à 1 / — •
On peut évaluer directement la surface de la sphère en partant de la surface d'une zone. Le calcul est analogue à celui du n" 4, mais le rôle joué par l'intégrale I,^ est joué ici par l'intégrale I«,. Il résulte
CHAP. I. — LA SPHÈRE DANS l'eSPACE A 11 DIMENSIONS. 269
immédiatement de cette circonstance que la théorie de la concentration près de l'équateur, développée pour le volume de la sphère, s'applique sans modification pour la surface ( ^ ).
Il y a lieu de remarquer d'ailleurs que, étant établie pour le volume, la théorie en question est sûrement vraie pour la surface. En effet, ayant démontré que le volume de la sphère, si n est très grand, peut être confondu avec une erreur très petite avec celui d'une couronne sphérique très mince, cela revient au même de dire que le volume de la sphère est presque tout entier dans le volume commun à un nombre fini de zones très minces, ou d'énoncer le même résultat relatif à une couronne sphérique voisine de la surface, ou encore à la surface elle-même.
