IL - UN PROBLÈME DE CALCUL DES VARIATIONS

9. Énoncé du problème. — Au lieu de la section par un plan diamétral de la sphère de rayon R dans l'espace à n dimensions, considérons maintenant une variété C quelconque k Ji — 2 dimensions, divisant la sphère en deux parties ayant même surface, et considérons la portion A de la surface formée de points situés à une distance de la variété G au plus égale à RQ (la distance de deux points de la sphère étant comptée sur le grand cercle passant par ces points). Nous montrerons que la surface de la région A^ pour des valeurs données de /î, R et 0, est minima lorsque la variété G se réduit à la section de la sphère par un plan contenant le centre. Il en résultera que ce qui a été dit sur la concentration près de l'équateur est vrai a fortiori pour la concentration près de la variété G. La région de la sphère extérieure à SI représente une fraction de la surface totale à laquelle on peut assigner une limite supérieure, fonction de 8 et n seulement, et tendant vers zéro lorsque n devient infini, 9 restant fixe.

Le problème de calcul de variations d'où résultent ces conséquences est une généralisation du problème classique consistant à déterminer la surface d'aire minima limitant un volume donné. Nous allons commencer par quelques cas simples.

(^) Voir sur ce sujet E. Uokel, Introduction géométrique à quelques théories physiques.

10. Un problème de géométrie plane. — Considérons une courbe plane fermée sans point double G. Appelons / sa longueur, S l'aire intérieure à C, et S l'aire de la région lieu des points intérieurs à G et dont la distance à cette courbe ne dépasse pas une longueur donnée a. Gherchons pour quelle courbe S est minimum si a et S sont donnés (S étant supérieur à Tra-).

Observons d'abord que la courbe G qui réalise le minimum ne peut avoir nulle part son rayon de courbure inférieur à ^ ('). Si en etfet le rayon de courbure est quelque part inférieur à a, la région YJ comprenant les points de S n'appartenant pas à S est limitée, non par la courbe G' parallèle à G à la distance a, mais par une portion seulement de cette courbe, dont certains arcs sont intérieurs k S. A ces arcs correspondent des arcs de G situés à une distance de ^' supérieure à a. Appelons alors S, Faire de la région comprenant S' et les points situés à une distance de S' au plus égale à a. Gette région est limitée par des arcs de G et des arcs de cercles de rayon a ayant pour centre les points doubles de G^, tels que l'arc MN, de centre A, de la figure ci-dessous {fig. 2). En remplaçant S par S,, on diminue

les aires S et S sans changer leur différence!, qui est Faire de S'. Remplaçant alors la figure par une figure semblable et plus grande, on peut remplacer S, par une aire égale à S, en remplaçant X' par une aire 'plus grande et par suite S = S — S' ])ar une aire plus j)etite.

(1) Nous supposons l'existence du rayon de courbure. On sait que les difticullcs augmentent beaucoup, dès le cas du plan, si l'on veut une démonstration tout à fait générale, et Textension au cas de la sphère de l'espace E„ de cette démonstration nécessiterait des développements beaucoup plus étendus que ceux qui suivent.

CHAP. I. — LA SPHERE DANS L ESPACE A n DIMENSIONS. 27 1

La courbe considérée ne réalise pas le minimum. Celle qui réalise le minimum de S a donc son rayon de courbure toujours au moins égal à a.

Pour cette courbe. Faire 1' peut alors être considérée comme balayée par un segment de longueur a normal à C. Lorsque Fextrémité de segment décrit un arc ds de G, ce segment décrit une aire

(i3) a ds —A ds,

k étant la courbure, comptée positivement vers l'intérieur. Observant que k ds est l'angle de contingence de la courbe C, dont l'intégrale

(i4) S = a/ — Tra^

2C est donc minimum en même temps que /, c'est-à-dire lorsque G est une circonférence.

11. Un problème de géométrie sphérique. — On peut se poser un problème analogue au précédent sur la surface d'une sphère de rayon i dans l'espace à trois dimensions. Parmi les courbes G tracées sur cette sphère et entourant une aire ayant une valeur donnée S, quelle est celle qui rend minima l'aire S de la région SI lieu des points de l'aire S dont la distance à G (comptée sur la sphère) ne dépasse pas une longueur donnée a.

Le principe du raisonnement précédent s'applique sans modification. L'expression de Taire élémentaire (i3) doit seulement être remplacée par

(i5) dssvna — (i — cos a) k ds,

k désignant la courbure géodésique de la courbe G, dont l'intégrale sur la courbe G a la valeur

(d'après une formule que l'on démontre aisément en remplaçant la courbe G par un polygone sphérique de côtés très petits, en décomposant ce polygone en triangle et en appliquant à chaque triangle le théorème de V excès sphérique).

En intégrant l'expression (i5), il vient alors, pour l'aire de la

région c^,

{\6) L=lsma — (i — cosa)(2'n: — S),

ce qui montre que, S et a étant donnés, S est minimum en même temps que /, c'est-à-dire lorsque C est une circonférence.

Si en particulier S = 27r, c'est-à-dire si C est une courbe divisant la sphère en deux aires égales, le minimum de S est réalisé si G est un grand cercle. Ce cercle réalise le minimum des aires comprises entre C et les courbes parallèles tracées à une distance a d^iifi côté ou de Vautre de G, et par suite le minimum de la somme de ces deux aires, c'est-à-dire de l'aire balayée par des cercles de rayon sphérique a dont les centres décrivent la courbe G.

12. Généralisation. — Les résultats précédents s'étendent à l'espace à n — i dimensions et à la sphère de l'espace à n dimensions. Mais leur démonstration, par une méthode analogue à la précédente, présente une difficulté provenant de ce que les formules (i4) doivent être remplacées par des formules de degrés plus élevés en a dont les coefficients ne s'expriment pas en fonction de / et S seulement.

11 vaut mieux raisonner comme suit :

Soit, sur la surface de la sphère de rayon R dans l'espace à /i dimensions, une variété G à n — 2 dimensions, de mesure J., limitant une aire sphérique S. Si S est donné, on sait que L atteint son minimum / lorsque G se réduit à une section plane G' et dans ce cas seulement.

Soient Sia le lieu des points de l'aire S limitée par une variété non plane G et situés à une distance sphérique de G ne dépassant pas une valeur donnée a = OR, et c'îl',, l'aire analogue définie en partant de G'. Appelons S^ et Xi les aires de c'R^ et c!R.J,, et L^ et L[^ les mesures des variétés parallèles à G et G' limitant ces aires. On a évidemment

= K, el par suite, pour a positif très petit,

Je dis que cette inégalité reste vérifiée pour toutes les valeurs de <7,

da - ^-

So=S'o =0,