CIIAP. I. — LV SPHERE DANS L ESPACE A II DIMENSIONS

jusqu'à ce que -,, s'annule. Pour cela, nous allons voir que l'hypothèse qu'elle cesse d'être vériliée pour a = 6 conduit à nne conlradiction.

Le premier membre de (17), d'abord supérieur au second, lui devenant égal, on aurait

(Ib - db ' c'e;st-à-dire

(18) U<Mr

Or ces variétés limitent des aires égales entre elles, de valeur

Nous savons que dans ces conditions leur mesure ne peut atteindre son minimum que si elles sont planes, ce qui est le cas pour L'^ et non pour L^. L'inégalité (18) n'est donc pas possible, et par suite l'inégalité (r-) est vériliée pour toutes les valeurs de a ou, ce qui revient au même, de 8.

On en déduit, comme au n° 11, que de toutes les variétés G qui divisent la sphère en deux aires égales, celle qui rend minima l'aire X de la région tK. balayée par une calotte sphérique de demi-angle au sommet 0, dont le centre décrit G, est une section plane passant par le centre.

Si l'angle 9 reste fini, le nombre de dimensions n devenant infini, le minimum en question de ï, et par suite la valeur de S pour une variété quelconque divisant la sphère en deux aires égales, représente (d'après le n" 6) une fraction de la surface totale de la sphère qui tend vers l'unité. En d'autres termes, la portion de l'aire sphérique n'appartenant pas à la région SV représente une fraction infiniment petite de l'aire totale.