LA NOTION DE VALEUR MOYENNE DANS L'ESPACE FONCTIONNEL

Sommaire : ReiDarquos gcnrrales. — La nolion de valeur moyenne. — lùioncé d'un théorème généraL — Exemples de valeurs moyennes à l'inlérieur d'une sphère. — Démonstration du ihéorème général dans le cas d'une fonctionnelle uniformément continue à l'intérieur d'une sphère. — Les formules de Gâteaux pour la sphère. — Postulat de Pexistence de la moyenne. — Remarques. — Application aux fonctionnelles du second degré. — La notion de courbure moyenne.— Surfaces minima. — Exemples de valeurs moyennes dans des volumes autres que la sphère.

13. Remarques générales. — Les notions d'intégrale et de valeur moyenne n'ayant a priori aiicun sens dans l'espace fonctionnel, nous devons, pour leur en attribuer un, appliquer le procédé du passage du fini à l'infini dont nous avons fait déjà un fréquent usage dans la première partie de notre étude.

.Une fonction déterminée x{t)^ définie entre o et i, peut èlrë approchée en moyenne autant qu'on veut par ce que nous appellerons, avec R. Gâteaux, une fonction simple d'ordre /?, c'est-à-dire une fonction ayant une valeur constante dans cliacun des intervalles

o,r), (1,1), ..., ('iszi,,

Il ) \/i II j \ '^

])Ourvu que l'on prenne n assez grand. Nous appellerons ^<, j^o, . . ., Xn les valeurs respectivement prises par une fonction simple d'ordre n dans CCS n intervalles. Une telle fonction est représentée par le point de coordonnées :r,, x^^ . . ., Xn dans l'espace E;^ à n dimensions.

Soit maintenant un volume V de l'espace fonctionnel; pour fixer les idées, nous prendrons le volume intérieur à la splière

j'^,nat^^

CIIAP. H. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 2-5

Les fondions simples d'ordre ii appartenant à ce domaine constitnent dans l'espace E„ un volume Y,i que nous appellerons la jf^n;ne g^cUofi du volume V. Dans l'exemple choisi, V;^ est le volume de la sphère

(a) û^l -h xl -{- . . .-i- xl = nii-.

Si l'on veut mesurer le volume V, sa mesure doit être délinie comme la limite de celle de V^^ pour n infini. Dans l'exemple choisi, en vertu des résultats du n" 4, cette limite est nulle ou infinie suivant la valeur de R.

Cette circonstance est très générale. La mesu/e cV an volume de V espace fonctionnel sera presque toujours nulle ou infinie.

Considérons, pour préciser cet énoncé, deux volumes homothétiques par rapport à Torigine dans le rapport />: ^> i , c'est-à-dire tels qu'on passe d'une fonction quelconque x{l) du premier volume à une fonction quelconque X(^) du second par la transformation

X(0 = kx(J).

Leurs n^^^^^ sections sont des volumes homolhétiques dans l'espace E// ; le rapport d'iiomothétie étant A, le rapport des volumes est A'* et devient infini avec n. Il en résulte que, parmi tous les volumes de l'espace fonctionnel homothétiques d'un volume donné par rapport à l'origine, il en existe au plus un dont la mesure ne soit ni nulle, ni infinie. Encore ce volume peut-il ne pas exister, comme nous l'avons vu p.ar l'exemple de la sphère.

14. La notion de valeur moyenne. — D'après ce qui précède, l'extension des notions de volume ou d'intégrale de volume dans l'espace fonctionnel présente une difficulté fondamentale. JNous reviendrons plus loin sur ces notions. Il est souvent avantageux de leur substituer la notion de valeur moyenne, qui conserve un sens bien défini.

Considérons une fonctionnelle définie et continue dans le volume \ . Elle sera évidemment définie et continue dans V„ et y admeltra une valeur moyenne ul„. Pour n infini, cette valeur peut tendre vers une limite, qui sera alors par définition la valeur moyenne de la fonctionnelle considérée dans V.

Considérons, par exemple, une fonctionnelle de la forme '^{r).

/' désignant la distance à Forlgine définie par la formule

C xH,t)dt

et 'f(j') une fonction continue, et cherchons sa valeur moyenne à l'intérieur de la sphère (i).

Dans \,i, on a évidemment

/ cp(/-)r«-i c^r

la couronne sphérique dans laquelle la distance au centre varie de r à /• -j- d/' ayant un volume proportionnel à /"' ' dr. Pour 7i infini, la couronne extérieure l'emporte sur les autres, qui deviennent négligeables vis-à-vis d'elle, et l'on a comme limite de [in la valeur C2(R). Ainsi la moyenne de la fonctionnelle ©(/) n'apparaît pas comme une véritable moyenne entre différentes valeurs ayant chacune un poids appréciable. Une seule valeur l'emporte sur toutes les autres, et, quelque petit que soit s, le volume dans lequel o{r) diffère de cette valeur de plus de z a une mesure nulle par rapport à celle du reste du volume V. 11 n'y a pas lieu, dans le calcul de la moyenne, de tenir compte des valeurs de ^(/') dans ce volume, de même que dans le calcul d'une intégrale (simple ou double), au sens de M. Lebesgue, il n'y a pas lieu de tenir compte des valeurs de la fonction intégrée pour les points d'un ensemble de mesure (linéaire ou superficielle) nulle.

lo. Énoncé d'un théorème général. — Luc généralisation évidente de ce qui précède nous montre que, pour calculer la valeur moyenne? d'une fonctionnelle continue à Tinté rieur de la sphère (i), il suffit de connaître sa valeur à la surface de cette sphère. I\[ais on peut obtenir un résultat bien plus général.

Soit à chercher la moyenne d'une fonctionnelle continue U dans un volume V. Dans la /i''™*' section de ce volume, U est continue; les points de ce volume V;^ pour lesquels V est compris entre a et a + da forment un volume dont une seule dimension est infiniment petite, de sorte qu'il est naturel de désigner sa mesure