CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS L ESPACE FONCTIONNEL

par fil \a) da. Il arrivera, en général, que, pour n infini, le rap-

port ^^ — - («0 étant une valeur particulière de a) tende vers une

fonction déterminée g'{ci). Si cette fonction admet un maximum atteint pour une seule valeur b de a, le volume dans lequel U est compris entre b — s et^-f-s l'emporte infiniment sur le reste du volume V, quelque petit cjue soit z. La fonctionnelle U est donc presque égale à 6, sauf dans une fraction négligeable du volume, dont il n'y a pas lieu de tenir compte pour le calcul de la moyenne.

On voit donc que, moyennant certaines conditions sans doute très peu restrictives, une fonctionnelle continue clans un volume V y r/ presque partout prescjue la même valeur^ les valeurs diJJ'érentcs de celle ainsi considérée pouvant être négligées pour le calcul de la moyenne.

Nous démontrerons ce théorème d'une manière précise dans des cas étendus. Il nous arrivera, au lieu de « presque partout presque la même valeur », de dire « presque partout la même valeur ■)k II est J)ien entendu que l'égalité rigoureuse n'est réalisée que sur une surface qu'on ne peut considérer comme constituant presque tout le volume; c'est le voisinage immédiat de cette surface qui constitue presque tout le volume.

16. Exemples de valeurs moyennes à l'intérieur d'une sphère. — Soit à chercher la moyenne, à l'intérieur de la sphère (i), d'une fonctionnelle de la forme 'f(U), U désignant une fonctionnelle linéaire.

Supposons d'abord cette fonctionnelle continue. Elle sera, d'après la formule de M. Fréchet (première Partie, n*^ i3), de la forme

dt.

Si ^(^) est une fonction simple d'ordre /i, U se réduit à la forme

avec

'/= / .f{^)dt (f = i; 2, ..., Il);

U esl donc la distance p à un plan passant par l'origine du point représentatif de x{^t) dans l'espace E;^, multipliée par le facteur

v/af -f-aH -+-... + a2 = JL, s/n

k„ tendant vers le nombre k défini par

k^= f p{t)rït.

La moyenne (jl^ est donc la moyenne de 'j ( ^^ ) à l'intérieur de la

sphère (2) de rayon Ry//^, ou, ce qui revient au même, la moyenne de '^(pkji) à l'intérieur de la sphère de rayon R. Le 'facteur A^ étant fini, et/? étant inférieur en ^aleur absolue à n'importe quel nombre donné î, sauf dans une fraction de cette sphère négligeable si 7i est assez grand, on peut dire que U =: pkn est nul presque partout, et la valeur moyenne de 'f (L) est ^{o). Le théorème du numéro précédent s'applique.

Supposons, au contraire, que U ne soit pas une fonctionnelle continue. Prenons, par exemple, une fonctionnelle de la forme ^'(t), Tétant une valeur particulière de t entre o et i. Si û^{i) est une fonction simple d'ordre tz, U est alors la distance à un plan de l'espace E,/, de sorte que le facteur infiniment petit -^ qui mterve-

nait précédemment est remplacé par i . D'après le n** 6, la probabilité pour que U soit compris entre RÇi et Ri27 1^ point représentatif de x[t) étant intérieur à la sphère de rayon Ry//i, tend pour ji infini

vers

de sorte que la valeur moyenne p.,i de «5(U) dans celte sphère tend, pour II infini, vers

La moyenne de o(U) est ici une véritable moyenne, dans le calcul de laquelle il y a lieu de tenir compte de toutes les valeurs de la fonction cp, afTectées chacune d'un {)oids convenable. Le théorème du II" 15 ne s'applique plus. On peut dès lors prévoir que, pour la

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démoiisLralion de ce lliéorème, l'hypothèse que la fonctionnelle considérée soit continue doit jouer un rôhi essentiel.

17. Démonstration du théorème général dans le cas d'une fonctionnelle uniformément continue à l'intérieur d'une sphère. — Soit U une fonctionnelle uniformément continue à l'intérieur de la sphère (i). Quelque petit que soit e positif, on peut alors trouver un nombre r, tel que, deux points de l'espace fonctionnel intérieurs à cette sphère ayant une distance inférieure à Tj, les valeurs correspondantes de U difTèrent certainement de moins de î.

Dans l'espace E„, U se réduit à une fonction ii,i continue sur la sphère (2). Considérons les points de la surface de cette sphère vérifiant l'inégalité

Ils constituent une portion de la surface dont la mesure, nulle pour a suffisamment petit, croît et atteint ou dépasse la moitié de la surface totale quand a atteint ou dépasse une valeur bien déterminée a„. T.a variété U = a,/ (ou si U= a„ sur une fraction finie de la surface totale, une variété convenable formée de points pour lesquels l = a„) divise la surface de la sphère en deux parties égales.

Considérons les points de la surface de la sphère (2) distants de

moins de r, [/ — des points de cette variété.. Ils forment une région S;^ qui, d'après le n" lî2, représente une fraction de la surface totale qui tend vers l'unité pour /i infini. Considérons ensuite les points intérieurs à la sphère, situés sur des rayons aboutissant sur S^, et à une

distance de la surface inférieure à *^ii/-' Us forment un volume Y, t. présente une fraction du volume total de la sphère qui tend

rs l'unité pour n infini.

Or un point M de ce volume est évidemment distant de moins de 'f\\//i d'un point A de la variété {J=cf.n. Les points correspondants de l'espace fonctionnel sont alors distants de moins de 7j, et les valeurs correspondantes de U diffèrent de moins de £. U est donc compris entre y.„ — s et y.n-\- ^, sauf dans un volume qui, pour m suftisamment grand, ne représente qu'une fraction infiniment petite du Nolume de la sphère. Comme d'ailleurs U est fini dans ce volume^ la moyenne iK,i de U dans la sphère (2) diffère de y.,i d'une quantité qui tend vers zéro pour n infini.

<[ui r<

aSo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Admettant que tji„ tende vers une limite a, c'est-à-dire que la

valeur moyenne de U dans la sphère (i) existe, a,, tend nécessairement vers la même limite, et nous voyons que ijl doit être considéré comme la moyenne de U parce que U diffère très peu de p., sauf dans une région dont le volume est négligeable à la limite. Nous sommes dans un cas d'application du théorème général du n^ 15.

Donc, dans le cas d' une fonctionnelle unifoiniénienl continue à V intérieur cV une sphère de V espace fonctionnel^ ou bien la valeur moyenne n'existe pas (circonstance dont le raisonnement très simple qui précède ne suffît pas à exclure la possibilité), ou l)ien la fonctionnelle est presque partout égale ci sa valeur moyenne.

1^'énoncé reste évidemment vrai, et même la démonstration se simplifie un peu si, au lieu du volume d'une sphère, on considère sa surface. Cela revient d'ailleurs au même, puisque tout le volume est concentré sur sa surface.

18. Les formules de Gâteaux pour la sphère. — 11 reste, pour compléter le résultat précédent, à démontrer l'existence de la valeur moyenne, à l'intérieur de la sphère (i), d'une fonctionnelle continue, et à en former l'expression. INous allons, avec Pi. Gâteaux (*), former cette expression dans le cas d'une fonctionnelle de la forme

(4') U=/ dti I dt^... 1 dtj,<^[x{i^),x{t2),...,xUj>),t^,ti....,t,,]. Cherchons d'abord la moyenne de la fonctionnelle

/i , ^), . . ., tp étant des valeurs particulières de t entre o et i . Si/> = i , cette valeur moyenne sera, d'après la formule (3),

Si /? >> i , le raisonnement qui nous a conduit à cette formule s'applique sans difficulté, si ^1, io? •••5 tp sont distincts. Les quan- |ités x{t^)^ ^(^2)7 •••7 x{tp) ayant dans ce cas des lois de ])robabi-

(') Bidlelin de la Société mathématique de France, 1919.