CIIAP. II. — VALEUR MOYEXNP: DANS L ESPACE FONCTIONNEL

lilés indépendantes, on trouve ])onr moyenne de la fonctionnelle (5)

X J cp(RC„ R^„ .... FU,Oe 2 d\,dU...dip.

Supposons maintenant que /(, t^, •••, tp varient. En intégrant l'expression (5), et supposant que la forme de la fonction cp varie avec ^4, ^27 •••5 f^pi on obtient la fonctionnelle [\). Dans le champ d'intégration, les points pour lesquels deux au moins des t sont égaux peuvent être négligés. Pour les autres, la fonction cp ayant pour moyenne la valeur (6), on en déduit sans difficulté la moyenne de l'expression (4), qui est

' dt,... dt,, / d^i

X / ^^;;cp(Rïi, ..., R^^„ tu ..., ff,)e 2

Telles sont les formules de Gâteaux.

Une formule analogue à la précédente s'applique évidemment si, au lieu d'intégrer la fonction o dans toute la région de l'espace Ey, décrite par le point ^,, t■2^ ..., fp, ce qui donne la fonctionnelle (4), on intègre sur certaines variétés de ce volume. Si aucune portion finie de ces variétés n'est constituée de points pour lesquels deux au moins des t sont égaux, une formule analogue à la formule (7) s'écrit sans difficulté. Si au contraire on a par exemple dans le champ d'intégration tp=: ^/;i, les autres t étant distincts entre eux et distincts de tp, on posera

et la formule (7) s'applique sans difficulté à la fonction '^,

On passe de là sans difficulté aux fonctionnelles représentables par des séries uniformément convergentes de fonctionnelles des types considérés, et l'on obtient ainsi la moyenne, sinon de toutes les fonctionnelles continues à l'intérieur de la sphère (i), du moins d'une catégorie très générale et comprenant sans doute toutes les fonctionnelles intéressantes au point de vue pratique.

19. Existence de la moyenne. — Si la propriété de la moyenne établie n" 17 est relativement aisée à démontrer, si cette moyenne existe, l'existence même de celte moyenne soulève des difficultés plus sérienses. Il n'est pas évident, si une fonctionnelle est continue dan^ un volume, que sa moyenne dans la ii'^™^ section de ce volume ait une limite pour /i infini. On peut donc se proposer d'établir une justification de la notion de moyenne, en faisant simplement des liypothèses relatives à la continuité de la fonctionnelle étudiée.

Deuxvoi.es sont possibles. D'une part on peut établir une justification directe, basée sur des raisonnements analogues à ceux par lesquels on démontre l'existence des intégrales définies. D'autre part on peut, en partant des mêmes hypothèses, obtenir une représentation de la fonctionnelle étudiée par des séries uniformément convergentes de termes dont les moyennes se calculent par les formules du numéro précédent.

Nous reviendrons sur ces questions dans le dernier Chajutre. Pour le moment, contentons-nous d'admettre les propositions >uivanlcs, dans le cas de la s p Itère :

\° Convergence de m,;, moyenne d'une fonctionnelle U dans Li ^^lemc section de la sphère, vers une limite m, moyennant une condition de continuité convenable imposée à U ;

i'^ Uniformité de la convergence de nia vers /«, pour une famille de fonctionnelles vérifiant également cette condition de continuité-

Les mêmes questions se posent évidemment pour une surface quelconque. Mais, pour la principale application que nous avons en vue (problème de Dirichlet relatif à une surface quelconque), il suffit d'admettre les propositions précédentes dans le cas de la sjdière.

20. Remarques. — ■ Les formules du n° 18 nous montrent que la; valeur moyenne des fonctionnelles considérées est la même que si. dans l'espace E^, au lieu de prendre la valeur moyenne dans la sphère (2), nous avions pris la valeur moyenne dans tout l'espace, en affectant chaque élément de volume infiniment petit d\ du poids

j;, = Pi.';,, ..., Xn^=^^ii étlmt les coordonnées d'un point intérieur

CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 283

à cet élément, autrement dit en admettant que la probabilité pour que Xi soit compris entre x ei x -{- dx est

(S bis) ^e~^-^,

les lois de j)robabilité de ^,, x-;,-, • • -, Xn étant indépendantes.

Il est facile, en partant de cette définition, de retrouver le rôle joué par la sphère (2) et, à la limite, par la sphère (i). En effet, d'après cette loi de probabilité, chacune des quantités x^^ Xo. . . .^ Xp a pour valeur quadratique moyenne Pi; il en est donc de même de

et de plus, d'après la loi des grands nombres^ la probabilité pour que cette quantité ne soit pas comprise entre R — s et R -f- s, s étant un nombre positif quelconque, tend vers zéro lorsque p devient infini. En d'autres termes, les portions de l'espace dont il J a lieu de tenir compte pour le calcul de la moyenne se concentrent près de la surface d'une sphère de rayon Ry//z, qui devient à la limite la sphère (1) de l'espace fonctionnel. La moyenne, au sens que nous venons d'indiquer, d'une fonctionnelle uniformément continue dans le voisinage de cette sphère et finie dans tout l'espace, ne dépend donc que de ses valeurs sur la surface de la sphère.

D'autre part, le poids à attribuer à chaque élément de volume pour le calcul de la moyenne étant, d'après la formule (8), fonction de sa distance au centre, les poids attribués aux régions de l'espace "intérieures à deux cônes ayant le centre pour sommet sont dans le même rapport que les surfaces des régions de la sphère (i) comprises dans ces deux cônes.

Ea moyenne, calculée en tenant compte des poids définis par la formule (8), n'est donc autre pour n infini que la moyenne de la fonctionnelle sur la surface de la sphère (i), ce qui donne une nouvelle démonstration des formules de Gâteaux (pour la surface de la sphère, et par suite aussi pour le volume ).

!21. Ee raisonnement précédent met en évidence un phénomène de concentration sur la surface de la sphère (2) analogue à celui que nous avons déjà observé en étudiant le volume de la sphère. Il n'est

pas sans intérêt de comparer les lois qui régissent ces deux phénomènes.

D'après la formule (8), la probabilité pour que la distance au oentre d'un point de l'espace E;^ soit comprise entre Pip etR(G-|- c/p)

€St

nl\n étant la surface de la sphère de rajon i . Si nous posons •

et prenons B comme variable au lieu de g, la probabilité précédente

devient

nlin n

En tenant compte de la valeur asjmptotique de K,/ (n° 4), on trouve que cette probabilité est équivalente, pour n infini, à

e ^ di

La probabilité, avec la loi de probabilité considérée, pour que la distance Rp à Forigine d'un point de l'espace E„ soit comprise

fnitre R J n ( i + -^ ) et R \J n [ i -| — -^ ) , tend donc vers \ Sjnl \ \/nJ

quantité aussi voisine de i qu'on le veut si a, est assez grand négativement et a2 assez grand positivement.

Si nous considérions toutes les parties de l'espace E;? comme ayant des poids proportionnels à leur volume, mais ne considérions que les points intérieurs à la sphère de rajon Ry//i, il faudrait, pour avoir une probabilité finie, chercher la probabilité pour que la distance au

centre soit comprise entre R ^n ( i — — j et R \/ n f i ) ' °^' et a^

CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. '285»

étant positifs, et cette probabilité serait (n'' o)

22. Application aux fonctionnelles entières du second degré. — - La moyenne dans une sphère d'une fonctionnelle linéaire étant évidemment, par raison de symétrie, égale à sa valeur au centre, nous n'avons qu'à nous occuper des fonctionnelles homogènes.

Considérons d'abord la fonctionnelle normale

(9) ^ "= f fiO^HO^^^-^ f f ^{t, t\)x(t)x{ti)dtdfi, .

Les formules de Gâteaux nous donnent, comme valeur moyenne de l'intégrale double dans la sphère (i) :

dti

/;%rï.,]^o.

Pour l'intégrale simple, on a de menu

= / At)dt / pe ■' d^r= R2 / y(

t)dt.

On trouve 'donc, comme moyenne de la fonctionnelle (9), 1(8 valeur

t)dt = —AU

Plaçons-nous maintenant dans le cas d'une fonctionnelle générale [voir n" 66) de la pi-emière Partie) contenant des termes de la forme

/ S'ia)x[ty{cr.)]x[h{cL)]dy.,

ti et ^2 étant différents, sauf peut-être pour des valeurs particulièresde a. Pour un tel terme, on trouve comme valeur moyenne

-^ f\(y.)dJ f"^'^e~'^dk\ = 0,

de sorte que la formule (10) est générale pour les fonctionnelles entières du second degré, continues dans la sphère (i).

Onendédiiitimmédiatementque,/?oz^/' toute fonctionnelle admettant en un point O des variations première et seconde au sens de M. Fréchet^ la valeur moyenne de U — Uq dans une spJière de

centre O et de rayon infiniment petit /•, est équivalente à — AUo,

Uo et AUq désignant les valeurs de U et AU en O. Cette propriété peut servir de nouvelle définition au symbole ALI (').

Ces résultats seront généralisés plus loin, lorsque nous exposerons la théorie des fonctionnelles harmoniques. Remarquons que la méthode du passage du fini à l'infini les rend intuitifs. Nous savons en effet qu'une fonctionnelle continue du second degré est la limite d'une fonction

dont la valeur moyenne à l'intérieur de la sphère est