Considérons le cas où la fonctionnelle U est de la forme

\}-= f f{t)x^-{t)dt.

Nous savons que la valeur moyenne de t^:, sur la sphère /■ = R est

(•I) j\l)dt.

et qu'elle est presque partout égale à cette valeur moyenne.

Inversement, /(^ étant supposé positif, cherchons la valeur moyenne de

(^) Ainsi AU peut avoir un sens sans que l'on soit assuré pour cela <le l'existence de la dérivée U'',,,

GIIÂP. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 287

sur V ellipsoïde Li = ci^. En posant

on est ramené à la moyenne d'nnc fonctionnelle du second degré sur une sphère. Il est naturel de penser que ce changement linéaire ne change pas la valeur moyenne [cela n'est pas d'ailleurs évident, car x[t) et y{t) ne sont pas en même temps des fonctions simples d'ordre n\. On trouve alors comme valeur moyenne