VI

r' dt

Jo fW

qui n'est pas inverse de la précédente.

Cela peut paraître surprenant si Ton énonce les résultats obtenus en

disant que la fonctionnelle — sur la sphère /■ = R et par suite dans

tout l'espace est presque partout égale à sa valeur moyenne (12), et

que la quantité inverse |-t-> sur l'ellipsoïde U ::= a- et par suite dans

tout l'espace, est presque partout égale à sa valeur moyenne (i3).

La contradiction apparente disparaît si l'on observe que « presque partout )) n'a pas le même sens dans les deux cas. Dans l'ellipsoïde, deux portions de surface vues du centre sous un même angle solide ne sont pas égales, mais la plus rapprochée du centre est négligeable vis-à-vis de l'autre. Il peut ainsi arriver que, pour une fonctionnelle

telle que— ayant une valeur constante sur toTite droite passant par

Torigine, la valeur moyenne ne soit pas la même aux deux points de vue, puisque les angles solides n'ont pas le même poids dans les deux cas; les poids étant même infiniment différents, on s'explique qu'au

premier point de vue — ait presque partout la valeur (11), et qu'au

second ce rapport ait presque partout une valeur différente.

Un exemple plus simple d'une circonstance analogue est le suivant : On sait que presque toute la surface d'une sphère est concentrée sur son équateur. Par suite, vue d'un point A, une surface quelconque paraîtra presque tout entière concentrée à son intersection avec un plan passant par A; le reste de la surface sera vu sous un angle solide nul. Vue d'un autre point A' situé à une distance d du plan P, la même surface paraîtra de même concentrée à son intersection avec

n'importe quel plan P' passant par A'. En prenant le plan P' parallèle à P, on voit que deux régions de la surface n'ayant aucun point commun peuvent, selon le point de vue où l'on se place, paraître constituer toute la surface. La distance d'un point de la surface au plan P aura pour valeur moyenne zéro si Ton donne pour poids aux différents éléments de surface l'angle solide sous lequel on les voit du point A, et d si l'on remplace A par A'.

23. La notion de courbure moyenne. — Soit une surface S, définie par l'équation U = o, U étant une fonctionnelle continue et admettant une variation

oV = f Ul- ^x dt,

définie dans le champ des fonctions ox de carrés sommables. En un point A de la surface, le plan tangent P est bien déiini par l'équation SU = o. Pour définir la cburbure d'une section normale, considérons la section de S par le plan (à deux dimensions) défini par la normale AN à la surface et une tangente AT; sur cette section prenons un point M infiniment voisin de A et abaissons la perpendiculaire MH sur le plan P; elle sera parallèle à AN, par suite dans le plan sécant, et H sera sur AT. Désignons par o la distance HM et par /■ la distance AM. La courbure de la section considérée sera la

limile ue —

La courbure moyenne d'une surface en P sera la moyenne de cette courbure dans les difierentes directions du plan tangent.

La définition de la moyenne ne soulève ici aucune difficulté, car d s'agit de moyenne sur une sphère.

Soient en effet Yi une sphère de centre A et S' sa section par P. La quantité dont nous devons prendre la moyenne est définie sur ï'; nous pouvons compléter arbitrairement sa définition sur 2], en nous imposant seulement de respecter la continuité. La moyenne sur ï est bien définie, et comme presque toute la sphère S est concentrée sur la section ï', elle ne dépend que des valeurs sur S'. D'autre part, en représentant chaque circonférence section de S p^i' un plan normal ATN par le point où elle coupe AT, à deux régions de ^ décrites par cette circonférence que l'on considère comme égales pour le calcul de la moyenne correspondront deux régions de S'

CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 289

décrites par ce point qu'il est naturel de considérer comme égales. La moyenne sur S, qui ne dépend que des valeurs sur S', peut donc être considérée comme étant la moyenne sur S'. C'est dans ce sens que nous entendons le mot moyenne dans la définition de la courbure moyenne.

Dans ces conditions, le résultat du n° 17 est applicable, et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si la courbure en A de la section normale tangente à AT est une fonction uniformément continue du point où AT coupe la sphère S, elle a la même valeur dans presque toutes les directions; cette valeur est la courbure moyenne.

2i. Il est facile d'exprimer analytiquement la courbure moyenne. La fonctionnelle U qui définit la surface peut, dans le voisinage du point A, être représentée par une série de Taylor

et il est essentiel d'en supposer les deux premiers termes bien définis, pour que le plan tangent et la courbure de chaque section normale

soient bien définis. La distance au plan tanoenl est — — ^ — : or U, est

équivalent à ^, pour un point situé sur la surface et très voisin

de A. Par suite, la quantité — > dont nous devons prendre la valeur moyenne, est éciuivalente dans les mêmes conditions à , -^»

La valeur moyenne de -^ est égale à la valeur de AU au point A.

Par suite, avec une convention convenable pour le signe, la courbure moyenne s'écrit

les valeurs des paramètres difierentiels AU et A, U étant relatives au point A.

En un point quelconque de l'espace fonctionnel, la même expression représente la courbure moyenne de la surface de niveau U=const. qui passe par ce point.

LlîVV. 19

igo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

25. Surface minima. — Nous appellerons su/face minima une surface dont la courbure moyenne esl nulle en chaque point.

En chaque point A, la courbure normale est donc nulle dans presque toutes les directions. On peut dire en termes moins précis que, dans le voisinage dan points la surface est presque un plan. Gela signifie que, si l'on considère la section de la surface par une petite sphère S de centre A^ la distance des points de cette section au plan tangent est presque partout inférieure à G/-, G étant une constante positive quelconque.

Ge résultat n'est naturellement pas exact pour une surface qui ne serait pas minima. Mais il est curieux de remarquer que, pour une surface minima, il reste exact si l'on remplace le plan tangent P par n'importe quel autre plan P' passant par A. De même que la sphère est presque tout entière concentrée sur n'importe lequel de ses plans diamétraux, on peut dire que sa section par P qui, d'après ce que nous venons de voir, est presque confondue avec sa section par la surface minima, est d'autre part située presque tout entière dans le voisinage immédiat du plan P'.

D'après la formule (i3), cela revient au même de dire que la fonctionnelle U est harmonique (c'est-à-dire que AU = o) ou que les surfaces U = const. sont minima. Ge résultat est d'une grande importance pour la théorie des fonctionnelles harmoniques que nous exposerons plus loin.

26. Exemples de valeurs moyennes dans des volumes autres que la sphère. — Nous verrons au Ghapitre IV des extensions, à des volumes autres que la sphère, du théorème général du n" lo. Nous allons au contraire indiquer ici des cas dans lesquels la notion de moyenne se présente avec son aspect habituel, des valeurs diflerenles intervenant effectivement dans le calcul de la moyenne.

Gonsidérons un cylindre^ déhni par une équation de la forme

(i4) ¥\\or{t)~\f{t)]\ = o,

\ étant défini par la formule

X f p{t)cif= f f(t)xit)dt=^V\[.r{t)]\.

La fonction x{l) — lf{t) représentant la projection de x{t) sur le