CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS L ESPACE FONCTIONNEL

plan P = const., l'équation (i4) représente bien un cylindre. Supposons-le tel que le volume défini par les inégalités

soit fini. Ce volume est évidemment divisé en volumes égaux par des plans parallèles aux bases et équidistants. Par suite, la moyenne dans ce volume d'une fonctionnelle de la forme cp(P) n'est autre que la moyenne de la fonction o[a) dans l'intervalle (a,, a^)- C'est bien une véritable moyenne, tenant compte des valeurs différentes de cette fonction.

27. Considérons maintenant le cas du volume de révolution^ défini par l'équation

avec

V= f f{t)x{t)dt,

dt

: f xHt)dt, f /Ht)

et supposons-le fini. Soit à y chercher la moyenne d'une fonctionnelle de la forme ^(P).

Si on le divise en tranches infiniment minces par les plans Pzzz const., la tranche du plus grand rrr^o/i l'emportera infiniment sur les autres. Si donc le rayon

atteint son maximum pour une seule valeur a de «, la moyenne cherchée sera ^(a).

Supposons maintenant le maximum c' de p atteint pour les valeurs a, et a2 de a. La moyenne cherchée ne dépendra évidemment que de 'f(ai) et ^(a^). Quels poids devons-nous donner respectivement à ces deux valeurs?

Appelons r^ et r^o les épaisseurs des tranches voisines respectivement des plans P = ai et P = a^ et pour lesquelles

Les points pour lesquels cette inégalité est vérifiée comptant seuls

dans le caloul de la moyenne, il est bien évident que si le rapport de 7), à Tj2 a une limite quand e tend vers zéro, il faut donner à '^(a, ) et cp(a2) des poids dont le rapport soit cette limite. Ainsi, si la méridienne de la surface de révolution, définie par l'équation (i5), a aux points considérés des rayons de courbure égaux respectivement à R, et R2, /jj et T,2 sont à la limite dans le même rapport que y/R, et \/R2, et la moyenne cherchée est

cp(a,)\/Hi -4- cp(a2) /R2

Si R2 est nul et R, fini, ou bien si R, est infini et R2 fini, il n'y a pas à tenir compte de la valeur de ©(ao) et la moyenne est ^(ai ).

Considérons encore le cas où le maximum 0' est atteint pour une infinité dénombrable de valeurs a,, as, . . ., a/, . . ., de a, tendant en croissant vers une limite a, et le volume de révolution étant limité par le plan P =: a'. Supposons que les rayons de courbure R,, Ro, . . ., R/, . . ., correspondant aux valeurs considérées de a, soient tous finis. Les différentes valeurs de f (a^) ont des poids proportionnels à y/Rf. Le poids total est fini ou infini suivant que la série

est convergente ou non. Dans le premier cas, la moyenne cherchée est. évidemment

cp(ai)v/Ri-l-(p(«2) v/R^-+---.+ ?(3c/) y/ÏÏj-^. ..

Dans le second cas, elle est égale à ce (a').

On voit que, suivant les cas, la moyenne cherchée dépend d'une seule des valeurs de la fonction », d'un nombre fini de ces valeurs, ou d'une infinité dénombrable, ou de toutes les valeurs de cette fonction. Mais dans aucun cas il n'y a ambiguïté sur le sens à donner à la moyenne.