CHAPITRE III

DE L'EMPLOI D'UNE INFINITE DENOMBRABLE DE COORDONNEES DANS L'ESPACE FONCTIONNEL.

Sommaire : Notions générales. — La notion de suite également dense. — Le cas des séries trigonométriques. — Exemple de cas où l'ordre des termes influe sur la densité. — Exemple de suite non également dense. — Remarques sur l'ordre des termes dans les suites de fonctions orthogonales. — La notion de suite normalement dense. — Le paramètre différentiel du second ordre. — La notion de moyenne dans l'espace Q. — Le cas de la sphère.

28. Notions générales. — L'espace Q, d'après une notation répandue, est le lieu des points, représentant une suite de nombres a,, «o.. . ., an,. . ., telle que ^ aj^ converge; de plus, {a) désignant le point correspondant à cette suite, la distance r entre deux points (a) et (b) est définie par la formule

D'après cela, et d'après les résultats du Chapitre VII de la première Partie, l'espace Q n'est autre chose que l'espace fonctionnel rapporté à ce que nous avons appelé un système de coordonnées orthogonales, défini par la donnée d'une suite complète de fonctions orthogonales et normales /, (t)^ f^ (t)^ ...,/'„ (^~), .... Une fonction u définie et continue dans l'espace 12 est alors la même chose qu'une fonctionnelle U|[^]| continue dans le champ des fonctions de carrés sommables. Mais les deux points de vue peuvent conduire à des définitions différentes de la moyenne ou du paramètre différentiel \u ou AU. L'objet de ce Chapitre est de définir ces notions dans l'espace 0, et de rechercher à quelles conditions ces déiinitions reviennent au même que celles du Chapitre précédent relatives à l'espace fonctionnel.

Nous avons déjà vu au Chapitre VIÏ de la première Partie les relations entre les dérivées premières - — et la dérivée fonctionnelle U' ;

les dérivées - — sont les coefficients du développement de U^ en série

de fonctions/; les deux notations correspondent au même vecteur de l'espace. Nous en avons déduit l'égalité des deux expressions du paramètre différentiel du premier ordre A,U, qui représentent, dans l'un ou l'autre système de notations, le carré de la longueur de ce vecteur.

29. La notion de suite également dense. — Nous avons rappelé au Chapitre VII de la première Partie le rôle que joue, dans la théorie des changements de coordonnées dans l'espace E//, l'équivalence des systèmes

( S „ ) < C/, ^ 1 C/,. I + C/i,2 CA,2

et

. .-f- C/lnCk,n= O

. •-+- Cn,iCnJ = O

déduits l'un de l'autre par interversion des lignes et des colonnes dans le tableau des n"^ coefficients c^j- Nous avons vu aussi que, n devenant infini, les deux systèmes (S) et (S') que l'on obtenait à la limite n'étaient pas nécessairement équivalents; mais le premier entraîne le second si l'on sait que les équations

sont résolubles par rapport aux a ; et inversement le second entraîne le premier si l'on sait que les équations

a/= Cijai^ Ci^ia^-h. . . (i = i, 'i, . . . )

sont résolubles par rapport aux a. En d'autres termes, si les c/i j sont les coefficients d'un changement de coordonnées dans l'espace Û, l'un des deux systèmes considérés ne peut pas être vrai sans l'autre.

Rappelons aussi que, si le système (S) est vérifié ainsi que les relations de la première ligne du système (S'), celles de la seconde ligne en résultent nécessairement.

Au lieu d'un changement de coordonnées de cette nature, considérons celui qui consiste à passer des coordonnées a^ à la fonction oo(t)y

CIIAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DE COORDONNÉES. 'Mj'')

autrement dit du point de vue de Tespace Ù à celui de l'espace fonctionnel. Ce changement de coordonnées est défini par les fonctions/„(^) qui remplacent les coefficients c/i^ , ; la variable ^joue le rôle du second indice; c'est un indice qui varie d'une manière continue. Le système

qui exprime que les fonctions de la suite (i) sont orthogonales et normales, est analogue à un des systèmes considérés ci-dessus, à cela près qu'il y figure des moyennes au lieu de sommes. Par interversion des deux indices, c'est-à-dire ici de l'indice et de la variable d'intégration, on est conduit à considérer le système

i lim F,j ( ^ ) =1,

) lim F„(^, T) = o {t^z),

\ n — >- 00 OÙ

Lorsque F„ ( f ) convergera en moyenne vers i dans l'intervalle (o, i) et que F„(^,':) convergera en moyenne vers zéro dans le carré o<:^^<^i, o<<T<<i;en d'autres termes, lorsqu'on aura

lim

'o lim

I f Fl(t,z)dtd- = o,

nous dirons que la suite (i) est également dense dans V intervalle (o, i). S'il en est ainsi, on peut affirmer, g {t) et h^t^z) désignant des fonctions de carrés sommables, que

lim f i,^{t)¥n{t)dt= f g{t)dt, lim / / h(t,z}Fu{t,x)dt dz = o.

Cette condition jouera un grand rôle dans la suite. Avant d'aborder les questions qui forment l'objet principal de ce Chapitre, nous présenterons quelques remarques à son sujet.

30. Remarquons d'abord que cette notion dépend essentiellement, en général, de l'ordre des fonctions/,, (t). Une suite également dense peut cesser de l'être si l'on change l'ordre des termes. Cette notion se distingue essentiellement par là de celles que nous avons introduites jusqu'ici dans l'étude des suites de fonctions orthogonales. Nous ne devons donc pas nous attendre, même dans le cas des suites complètes, à ce que le système (4) soit une conséquence nécessaire du système (2) qui exprime que les fonctions de la suite sont orthogonales et normales.

Du moins en est-il ainsi delà condition relative à F„ (/). Celle relative à F„ (t, t) est toujours vérifiée pour les suites, complètes ou non, de fonctions orthogonales et normales. Pour le montrer, nous allons montrer que la valeur moyenne de F„ (^, t) dans le rectangle cR , défini parles inégalités

tend vers zéro pour n infini, quels que soient ^,, ^2? '^n'^2; on pourrait d'ailleurs remplacer les intervalles (^,,^2) et (':,,':2) par n'importe quels ensembles de mesures non nulles.

Désignons par ce (t) la fonction égale à ——==^ dans l'inter-

valle (ti, t.j) et nulle dans le reste de l'intervalle (0,1), et par ^ (t) la fonction égale à -^== dans l'intervalle (t,, To) et nulle dans le reste

de l'intervalle (0,1). Posons

an= f fn{t)x{t)dt= 1 f f„{t)dt,

Les fonctions x {t) et ç(^) étant normales, on a

( «1 ai -h . . . + a„ a„ )2 ^ ( af +. ..-^al){y.\ -4- . . . -i- a^ ) ;^ « .

(On peut même remarquer que si les intervalles (^,, t.>) et (t,, t^ ) n'ont aucune partie commune et si de plus la suite (1) est complète.

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les fonctions x (t) et ; (^) sont orthogonales, et la série ^anCf.n a une somme nulle.

La moyenne de F,, (^, t) dans le rectangle cA. est alors

— y / ,fi{t)dt /,(T)rfT = -!-L^ ' -

Son numérateur ayant son module au plus égal à i, elle tend bien vers zéro, ce qui établit le résultat énoncé.

Il est curieux de remarquer que si la suite (i) est également dense, de sorte que ¥„ (^, t) converge en moyenne vers i sur la droite ^ = t, cela ne l'empêche pas de converger en moyenne vers zéro dans n'importe quel carré ayant un segment de cette droite pour diagonale, et par suite, si petit que soit h positif, dans la région | ^ — z\<^ h. La même circonstance peut se produire pour d'autres droites, comme nous le verrons par un exemple (n** 32).

31. Le cas des séries trigonométriques. — Prenons pour suite (i) la suite

(6) 1. \/ -i co'^ 2 ~ t , v'a sin '2 7:/, ..., \/'2 coso.pr. t, \/2. ?>in i p r. t , .... Si fi = 2p -|- I , on a

F„(/) =^ [[ + 2 C0S^2T.t + 2 Sin2 2- /-+-...-{- ICOS^ 2 nT.t -+■ 1 Sin2 2/171/1

de sorte que la suite considérée est également dense.

Considérons maintenant la suite ne contenant que des sinus

(7) v/'-isin;:/, /2siii27r/, ..., ^2 sin/iTt/, .... On a pour cette suite

F,j(/) 1=1 -(sin^T:/ -h sin227r/ -I-. . .-l- sip^/itt/)

I r I sin(2n -i- 1)7: M