CIIAP. II. — LA NOTION DE CONTINUITE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL

en chaque point du champ G, c'est-à-dire si, en chacun de ces points, £ étant un nombre positif si petit qu'on veut, on peut déterminer yj tel qu'en ce point, et pour |X|<;t,, on ait nécessairement |Ux — Li) J<^£. Si /j peut être choisi indépendamment du point considéré dans le champ G, on dit que Ux tend uniformément vers sa limite.

Il est facile de préciser ce que la convergence uniforme ajoute à la convergence simple.

i*^ Soit une fonctionnelle Ux, tendant, quand )aend vers o, vers une fonctionnelle continue Uo- Si, à partir d'une certaine valeur de \ et d'une fonction x(^) correspondant à un point du champ G, on fait varier soit X, soit x{^t^^ \j\ varie d'une manière continue. Mais il n'en résulte pas que Ux varie d'une manière continue quand on fait varier simultanément X et x{t). Gette conséquence est, au contraire, évidente, soit si Ux tend uniformément vers Uo, soit si les fonctionnelles Ux sont également continues. En écrivant, en effet, dans le premier cas,

uxl [X(0] 1 - Uol [x{t)] \= j uxl [X(o] 1 - Uol [X(o] 1 ;

+ |Uo|[X(^)]|-Uol[:r(0]i:, et, dans le second cas,

U)J [X(0] 1 - Uol [:r(0] I = I Uxl [X(0] 1 - Uxl [x{t)\ 1 I

+ ÎUxl[^(0]|-Uol[:r(Oll!,

on décompose l'accroissement de U en deux termes tous deux inférieurs à - si À est assez petit et X.(^) assez voisin de x[t).

Gette remarque généralise le fait bien connu qu'une fonction u{x^ )v)'peut être continue par rapport à chacune des variables, prise séparément, sans l'être par rapport à l'ensemble des varial)les. Si, au contraire, la continuité par rapporta l'une des variables est uniforme par rapport à l'autre, c'est-à-dire si le module de continuité relatif à À par exemple peut, pour chaque valeur de X, être choisi indépendamment de x^ cette circonstance n'est plus possible.

2° Voici, par contre, une diflerence essentielle avec le cas d une fonction de deux variables. La fonctionnelle Ux étant supposée varier d'une manière continue avec \ et x{t)^ il n'en résulte pas nécessairement que la convergence de Ux vers Uo, quand k tend vjv-; o, soit

uniforme dans C, tandis que, dans le cas d'une fonction u(x^ X). si elle est continue, la convergence de u{x, à) vers u{.jr, o) est uniforme par rapport à :r.

On voit par cette remarque que, dans le domaine fonctionnel, la notion de convergence uniforme apporte une double restriction à la notion de convergence simple. Dans l'espace ordinaire, ces deux restrictions n'en font qu'une.