IH

n y 2 2 sin 7:/ J

ce qui montre que la suite (7) est aussi également dense. La même conclusion s'applique au cas des séries de cosinus.

11 j a toutefois une différence entre le cas des suites (6) et (7). La suite (7) fait apparaître des points exceptionnels. Nous appellerons ainsi les points de l'intervalle (o, 1) tels que \^n{t) ne lende pas uniformément vers I dans leur voisinage. Dans le cas de la suite (6)^ F„ [t) tend uniformément vers i dans tout l'intervalle, et 11 n'y a pas de points exceptionnels. Dans le cas de la suite (7), au contraire, les extrémités de l'intervalle sont des points exceptionnels.

32. Examinons maintenant ce qui se passe lorsqu'on change Tordre des termes de la suite (6). On peut s'arranger pour rendre exceptionnelle n'importe quelle valeur t^ de l'intervalle (o, i). Les fonctions Jn (^0 sont en effet comprises entre o et 2, variant effectivement une infinité de fois entre ces limites quand n prend toutes les valeurs entières; en changeant l'ordre des termes, on peut donc s'arranger pour fjue la moyenne F„(^^) de ces quantités tende vers telle limite que l'on veut entre o et 2, ou bien même n'ait pas délimite. On peut donc rendre exceptionnelle la valeur i,.

On peut de même rendre simultanément exceptionnels un nombre fini de points donnés de l'intervalle (o, i), et même une infinité dénombrable de points donnés, pouvant constituer un ensemble partout dense. Mais on ne peut pas constituer d'intervalle exceptionnel, en ce sens que la moyenne de F„(^), dans n'importe quel Intervalle fini (^1, ^2)5 tend vers i, c'est-à-dire encore que F„(^) converge en moyenne vers i dans tout l'intervalle (o, i).

Pour le montrer, observons que les fonctions icos'-prU et isn\- pizt ont pour valeur moyenne, dans l'intervalle considéré,

^pT.{t2 — ti) ipr.ito — ^1 )

^p ayant son module inférieur à i . Cette valeur moyenne tend vers r pour yO infini. Par suite, les fonctions //^ (^) étant les fonctions (6)^ rangées dans un ordre quelconque, la valeur moyenne dey^^(/) dans l'intervalle considéré tend vers i , et il en est évidemment de même de celle de F„(^).

La suite (6) jouit donc de cette propriété d'être égalenunt dense et de le rester si l'on change l'ordre de ses termes d'une manière quelconque.

En ce qui concerne la condition relative à F,/(^, t), on peut de

CIIAP. III. — INFINITE DENOMBRABLE DE COORDONNEES. 299

même faire apparaître des lignes exceptionnelles autres que la droite ^^T, sur lesquelles F,, (^, t) tende vers une limite non nulle. Ainsi^ pour T = I — ^, et pour l'ordre indiqué formule ((3), on a

„ ï -\- 1 co^^2-t — 2s'\n^i~ t -\-...-+- ').cos^2/i':zt — T.sin'^iriT.t

expression qui tend vers zéro, saufpour ^ = o, -? ou i. Mais on peut changer l'ordre des termes de manière à favoriser soit les termes positifs, soit les termes négatifs, et l'on peut s'arranger pour que Fft (^, i — ■ t) converge en moyenne vers telle valeur que l'on voudra de l'intervalle ( — i , H- i), limites comprises. La droite z =^ i — t sera alors exceptionnelle; mais, d'après le n*^ 30, il n'y aura pas d'aire exceptionnelle.

33. Exemple de cas où l'ordre des termes influe sur la densité. — Divisons Fintervalle (o, i) en p intervalles égaux, et désignons par

gp,i{t) la fonction égale à \/^ dans l'intervalle ( ^ "" ) ' 6t nulle

dans le reste de l'intervalle (o, i). Les fonctions

(8) ê^pM.t), ,^>,2(0, ..-, ê-p,p{t)

sont orthogonales et normales. Elles définissent dans l'espace fonctionnel une variété linéaire représentant les fonctions simples d'ordre /?, au sens de Gâteaux {yoirn'^ 13). La fonction la plus approchée d'une fonction de carré sommable cc[t), qui est représentée par la projection sur cette variété linéaire du vecteur qui représente ^(^), est évidemment la fonction égale, dans chacun des intervalles

( ) - j j à la moyenne de x{t) dans cet intervalle.

Remplaçons/? par 2p. Nous obtenons une suite analogue

(9) ' ^2A',l(0, ^2P,p(i)^ ", g-2pAP^t)'

En remplaçant ces fonctions par des combinaisons linéaires convenables, on aura un autre ensemble de fonctions dont les combinaisons linéaires représentent toutes les fonctions simples d'ordre ^p. Prenons en particulier les fonctions (8), et les fonctions

('«) -p^[g2p,ii-\{t) — g.p^iiit)] (i = I, 2, .. .,/)),

/a égales à -\-\ p et — \/ p respectivement dans les deux moitiés de lin-

3oo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

lervalle ( ' ~ ) ' ^^ nulles dans le reste de l'intervalle (o, i). Elles

sont bien normales et orthogonales deux à deux. On voit donc qu'on peut passer de l'ensemble des fonctions simples d'ordre p à renseml)le des fonctions simples d'ordre 2/? par l'introduction des jy fonctions (10), qui sont normales, orthogonales entre elles et aux précédentes.

Donnons ainsi à p les valeurs i'^, 2^, 4^7 • • • , 2^^, ... ; nous obtenons une suite illimitée de fonctions orthogonales et normales. Cette suite est, de plus, complète, puisque des combinaisons linéaires des n premières fonctions permettent de représenter n'importe quelle fonction simple d'ordre n = 2^, et par suite.^ si h est assez grand, d'approcher autant qu'on veut, en moyenne, de n'importe quelle fonction de carré sommable.

Prenons cette suite pour suite des fn{t). Nous appellerons /o/^ctions fn{ty relatives à un intervalle celles qui sont partout nulles en dehors de cet intervalle. On peut s'arranger pour ranger ces fonctions dans un ordre qui favorise les fonctions relatives à l'intervalle ( o, - ) 5 par exemple pour que sur les Ji premières fonctions il y en

ait environ - n relatives à cet intervalle. Comme pour ces fonctions la

moyenne de/J;(^) entre o et - est 2, celle de F„(^) est 7 X 2 = -? et F/^(^) ne peut converger en moyenne vers i .

D'une manière générale, on peut s'arranger de manière à obtenir comme densité n'importe quelle fonction p^-(^) positive, somma])le, et de valeur moyenne i dans l'intervalle (0,1). Il suffît que, sur les n premières fonctions, la proportion de celles relatives à l'intervalle (^,, t.,) tende pour n infini vers

et cela quels que soient t^ et t^ entre o et i. C'est une condition que l'on peut évidemment toujours réaliser en rangeant les f,i(t) dans un ordre convenable.

34 Exemple de suite non également dense. — Prenons la suite (6) pour suite des fonctionsyrt (^) ; prenons comme nouvelle variable

CHAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DK COORDONNEES. 3oi

|jl(^) vérifiant les mêmes conditions qu'au numéro précédent, et ayant de plus son module limité supérieurement et inférieurement, et posons

On a évidemment

f ou{'z)o,A-^)dz= f Mt)f,,{t)dt,

f Cp/,(T)^(X)^X = f fh{t)x{t)dt.

Il résulte de ces formules que les fonctions o,i{'z) sont orthogonales et normales dans l'intervalle (o, i), que les coefficients du développement de X {t) en série de fonctions /;i(^) sont aussi ceux du développement de ^(t) en séries de fonctions 'fft(':), et que ces dernières fonctions forment une suite complète. D'autre part,

converge en moyenne, non vers i, mais vers -y- — 5 et cela quel que soit l'ordre des termes de la suite.

Les fonctions 'f (t) forment donc une suite qui n'est pas également dense, et qui ne peut le devenir par aucun changement dans l'ordre des termes.

3o. Remarques sur Tordre des termes dans les suites de fonctions orthogonales. — Etant donnée une suite (ij, complète et non également dense, la question se pose de reconnaître si elle peut être rendue également dense par un changement convenable de Tordre des termes ( 1 ).

Il semble que Tordre convenable, s'il existe, puisse être défini de la manière suivante : les /i — i premières fonctions de la suite étant choisies, on choisira, parmi celles qui restent, celle qui occupera le rang n, par la condition de

(•) Il résulte de la suite que le problème analogue relatif à la notion de suite normalement dense (n" 40) est plus étroitement lié aux questions de calcul fonctionnel que nous étudions, et a plus de chance aussi d'avoir une solution unique, si Ton considère c )mme identiques deux ordres qui donnent nécessairement la même valeur

limite à toute expression de la forme —^ — '— -^ -^ les A„ étant finis.

3o2 TROISIÈME PARTIE. — MOVENXE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL,

rendre niinima rintégrale

Toutefois, cela n'est pas évident ; il n'est pas sur en effet que ce minimum soit le même que Ton obtiendrait en remettant en question à chaque opération les choix antérieurement faits. On est sûr que ce dernier minimum tend vers zéro s'il est possible de trouver un ordre tel que l'intégrale (ii) tende vers zéro. Mais on n'en est pas sûr pour le minimum considéré d'abord; la seconde règle au contraire, remettant en question une infinité de fois le choix de la fonction devant occuper un rang déterminé, risque de ne pas aboutir à une définition précise.

D'ailleurs la première règle même peut donnei" lieu à ambiguïté si plusieurs fonctions conduisent à la même valeur de l'intégrale (ii). Tel est le cas si Ton veut appliquer cette méthode à la suite (6). La première fonction est nécessairement f, mais pour le second rang on peut hésiter entre toutes les autres.

36. Sans pousser plus loin l'étude de la question posée, remarquons que ce n'est pas aussi simple qu'on pourrait le penser de trouver une loi bien définie permettant de ranger dans un ordre bien déterminé les termes d'une suite complète de fonctions orthogonales et normales, de manière que si deux suites données diffèrent par l'ordre des termes et non par leur nature, on soit sûr de reconnaître leur identité en les rangeant dans l'ordre ainsi défini. Une telle loi doit être telle que :

i'^ Etant données deux fonctions différentes, on sache toujours déterminer leur ordre relatif;

?»" Étant donnée une fonction de la suite, celles qui la précèdent dans l'ordre à définir soient en nombre fini.

Ainsi, on peut chercher à ranger les fonctions /^(^^ ) dans l'ordre des ] y.,i \ décroissants, a„ désignant la projection de/^(^) sur une direction de l'espace fonctionnel, soit

^-«= / fn

{t)o{t) dl.

Plusieurs a,^ peuvent être égaux en valeur absolue; dans ce cas, parmi les fonctions correspondantes, on rangera d'abord celles pour lesquelles a.,i est positif, et s'il y en a plusieurs on fera intervenir la projection sur une autre direction. On arrivera ainsi toujours à savoir l'ordre relatif de deux fonctions fn{t). De plus. Sa,-; étant fini, toute fonction pour laquelle a„ ne sera pas nul aura un rang fini. Mais il peut arriver qu'il y ait certains a„ nuls, tandis qu'une infinité d'autres ne seraient pas nuls. Les fonctions/„(7 ) correspondant aux a,^ nuls devraient être précédées d'une infinité d'auties. Il n'est pas possible alors d'arriver par le moyen proposé au résultat de ranger, suivant une bu bien déterminée, les termes d'une suite quelconque. \ous allons indiquer un procédé qui semble lié à la question de rendre une suite égalenuMit dense.

CHAP. III. — INFINITÉ DENOMBRABLE DE COORDONNEES. 3o3

37. Désignons par §n(t) ^a fonction primitive de fnit) ayant sa va leur moyenne nulle dans l'intervalle (o, r), c'est-à-dire que la constàille d'intégration est déterminée de manière à rendre minima l'intégrale

r / qfs hi — f 'J II

(t)dt.

i/ordrc que nous considérons est celui des I„ décroissants. I„ ne pouvant pas être nul. pour montrer (jue chaque fonction y„(^) aura un rang fini, il suffit de montrer (jue I„ tend vers zéro. Nous montrerons même que la série SI„ est convergente :

Représentons y"„(^) par la série de sinus

fn(i) = CnA ?i(0 -^-' ■ ■-+- Cn,p^/>(t)-^- ... OÙ

ÇpÇt) = ^2 s\np-t.

La fonction cF«(^) a alors la valeur

cf«(^) - ^ cp,(o +. . .-4-- ^^^ 4>,,(0 +. . ., en posant

^p{t) = — yZ-i cospir^.

Les fonctions ^/,( t) étant orthogonales et normales, on a

En posant

on

Lorsque /i augmente, ;?„,^, tend en croissant veis i. de sorte que S 1^2 tend

vers - • Pour une valeui" finie de n, comme G

le maximum de la somme (12 ) s'obtient en rendant les n premières de ce> souimes égales à 1 et les autres à zéro. Ces conditions sont réalisées si Ton prend la suite des o„ U) pour suite des y„(^), ou d'une manière générale si Ton prend pour les n premièies fonctions /„,( t) des combinaisons des n prenuères fonctions o,i{ t ). Le maximum de 1]+ ^2+ • • • -^ hi <^^t donc

3o4 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

il est atteint pour toutes les valeurs de nsï Ton prend la suite des cp,j(/) comme suite desf,i{t). Les I„ étant rangés par ordre de grandeur décroissante ou du moins non croissante, le maximum de I„ est

il peut être atteint en prenant pour les n premières fonctions /„(^) des combinaisons des n premières fonctions ^n(J) telles que I, = I2 = ... = I,j. Naturellement, pour une suite déterminée de fonctions fait), cette circonstance ne se présente que pour une seule valeur de n.

38. D'après ce qui précède, une fonction de la suite ( i) ne peut être précédée, dans Tordre défini par la condition que les !„ soient décroissants, ou du moins non croissants, que par un nombre fini de fonctions. Mais il peut arriver qu'il y ait à un certain moment indétermination pour Tordre entre un nombre fini de fonctions donnant la même valeur à I,j, et naturellement cette circonstance peut se reproduire une infinité de fois.

La règle la plus naturelle à adopter, pour rester dans le même ordre d'idées,, est de considérer les intégrales analogues à I„, obtenues en remplaçant ^niO par ses intégrales successives, la constante d'intégration étant définie chaque fois par la même règle que pour ^nit)- C^^'*' intégrales ont la valeur

Si les intégrales I„ relatives à deux fonctions sont égales, on comparera les valeurs de I„2, puis, s'il y a lieu, celles de I„,3, et ainsi de suite. On arrivera ainsi à définir Tordre relatif des deux fonctions, sauf dans les cas où les coefficients correspondants de leurs développements en séries de fonctions ^p{t) sont égaux au signe près. Dans ce cas, on pourra les classer d'après les signes des premiers coefficients différents.

39. Cet ordre paraît lié à la question des suites également denses parce quMl ne fait apparaître pour la classification aucune fonction de t arbitrairement choisie. Dans les intégrales considérées, on accorde des poids égaux à des intervalles égaux.

Toutefois, la condition d'égale densité présente un caractère d'invariance que ne présente pas Tordre que nous venons de définir. Dans la définition de Tégale densité, deux intervalles égaux jouent le même rôle, en ce sens (jue leur ordre n'intervient pas. On peut diviser l'intervalle (0,1) en intervalles quelconques et changer leur ordre; cette opération définit un changement de variables qui transforme une suite complète, également dense, de fonctions orthogonales et nf)rmales^ en une suite de même nature. Aucun de ses caractères n'est altéré. Or par cette opération l'ordre que nous venons de définir (;st altéré.

Il n'est d'ailleurs pas possible de définir un ordre qui ne soit pas altéré dans.

CHAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DE COORDONNÉES. 3o5

ces conditions. En effet, à ce point de vue, les fonctions

Op(t) = y/'i smpr.t,

qui ont même fonction sommatoire, apparaissent comme identiques, et cela est lié au fait que leur ordre est indiflérent pour la formation d'une suite également dense. Pour les ranger suivant un ordre déterminé, il faut faire intervenir des considérations de nature différente.

D'après ces remarques, il n'y a pas lieu de s'attendre à ce que l'ordre défini n°' 37 et 39 résolve la question posée au n*^ 35. Il est facile de le vérifier par des exemples, il suffit de généraliser l'exemple du n° 33 (fonctions simples d'ordre i^^) en remplaçant des intervalles égaux par des intervalles variant en progression géométrique,

40. La notion de suite normalement dense. — La notion de suite également dense suffit pour les résultats que nous nous proposons d'obtenir, dans le cas des fonctionnelles normales. Dans le cas des fonctionnelles générales, il faut introduire une notion un peu plus restrictive.

Considérons une répartition de masses à l'intérieur du carré o <^ t <^ij o<;t<^i, symétrique par rapport à la diagonale ^ = t, ne comportant aucune masse finie située sur cette diagonale, et telle que la fonctionnelle du second degré

f fx{t)xiz)d^

correspondant à cette répartition soit finie, et par suite continue, dans le champ des fonctions de carrés sommables.

Nous dirons que la suite (i) est normalement dense si :

1° La fonction ^^n{t) converge en moyenne vers i dans C intervalle (o, i) ; 2° U intégrale

If'

tend vers zéro cjaand n augmente indéfiniment, quelle que soit la fonctionnelle additive à variation bornée ^, liée à une répartition de masses de la nature considérée.

La condition que la fonctionnelle (i3) soit continue dans le champ des fonctions de carrés sommables, exclut la possibilité que des masses finies soient situées dans un ensemble dont la projection sur

3o6 TROISIÈME PARTIE — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

l'un des axes ait une mesure nulle. Un ensemble susceptible de contenir des masses doit donc avoir une mesure linéaire positive; en d'autres termes, contenir au moins une ligne, et la condition a*' cidessus revient à dire que F,i{t^ t) converge en moyenne vers zéro sur toute ligne autre que la droite ^ = t ou une parallèle aux axes. Si une suite également dense n'est pas normalement dense, c'est donc qu'il existe des lignes, autres que la droite 1 = -: ou des parallèles aux axes, sur lesquelles F„(^, t) ne converge pas en moyenne vers zéro. Nous appellerons ces lignes lignes exceptionnelles de la suite considérée. Lorsqu'une suite est normalement dense, nous dirons que l'ordre de ses termes est normal; nous dirons dans le même cas que les axes de coordonnées correspondants sont rangés dans un ordre normal. Cet ordre normal n'est d'ailleurs pas complètement déterminé. Si par exemple on considère une suite partielle de fonctions fn{t) d'indices

/i,, /?2, .-., rip^ ..., tels que la densité moyenne — des termes de cette

suite dans la, suite de toutes les fonctions fn{t) tende vers zéro, ces fonctions sont sans influence sur la valeur limite de F„(^, t) [du moins si les fonctions /;i(^) sont finies] ; il est alors indiff'érent, soit de changer l'ordre des termes de cette suite partielle, soit de déplacer ses termes par rapport aux titres, mais de manière que leur densité moyenne continue à tendre vers zéro. Au contraire, si l'on efî'ectue un changement qui fasse varier la valeur limite de la densité d^ine suite partielle de fonctions /„(^), il est impossible que l'ordre reste normal (voif n*^ 43). L'ordre normal est donc déterminé, à certaines substitutions près, qui forment un groupe, indépendant du choix des fonctions /„(^).

41. Le paramètre difiFérentiel du second ordre. — Dans l'espace 0, ce paramètre est défini par la formule

I /à-^u (Pu à^u

Aw := lim

(Ja

C'est la moyenne, et non la somme des dérivées -r-rr qu'il y a lieu de

daf

considérer, cette somme étant en général infinie. Si nous considérons par exemple une fonctionnelle du second degré de la forme

Ci a 2

CIIAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLK DE COORDONNÉES. 307

elle sera définie et continue si les Cn sont limités supérieurement. Le paramètre différentiel du premier ordre

est alors bien défini; mais la somme des dérivées secondes ^d est en général infinie, tandis que leur moyenne, qu'elle ait une limite ou soit indéterminée, resté finie.

Supposons maintenant que u représente, dans le système de' coordonnées orthogonales défini par la suite (i), une fonctionnelle U I [.r(^)] |, ayant une variation seconde de la forme normale

(i4) Ô2U= r \}\..{'^xYdt-\- f f \j\.,r,^x^Xxdtdtu

et demandons-nous si Aw, calculé comme il vient d'être dit, est

égal à

AU

paramètre différentiel calculé au point de vue du Chapitre IL

• . . ()- Il

Par définition de la variation seconde, y- 7 n'est autre chose que la

variation ô-U, calculée pour ox =^fn{t). On en déduit

n\àa'j ' ' ' âaf^

^1 f lj".:-,y^[f{t)fit,)+...-^Mt)fAt,)]dtdt,.

La fonction U^o est nécessairement une fonction mesurable bornée, et U^.,.^ une fonction de carré sommable (U, et par suite 8-U, étant supposés définis dans le champ des fonctions ùx de carrés sommables). Si alors la suite (i) est également dense, l'expression précédente tend vers AU. Donc Aw existe et l'on a

(i5) Aa = AU.

42. Considérons maintenant le cas où 3- [J n'est assujetti à aucune autre condition que d'être définie dans le champ des fonctions de

3o8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

carrés sommables. En distinguant, dans la répartition de masses liées à o2[J^ celles qui peuvent être situées sur la droite ^ = t, il vient

Ô2U = r \}"r.{ZxY dt -\- Ç Ç^ X{t)ù X{Z) d^.

<ï> étant une fonctionnelle additive à variation bornée de l'espèce considérée n" 40. Il vient, comme au numéro précédent,

^) KS-"-"â)=/^^'^'"'^^^^^^"/A^^^'^^^^-

Si la suite des fonctions /n{t) est normalement dense, il suffit de faire augmenter n indéfiniment pour retrouver la formide (i5), qui s'applique ainsi dans ce cas à toute fonctionnelle continue admettant une variation seconde.

Ainsi, en supposant de toute façon la suite (i) également dense, il suffit pour qu'on puisse appliquer la formule (i5), soit qu'elle soit de plus normalement dense, soit que la variation seconde 8-U ait la forme normale (i4)- Si aucune de ces conditions n'est remplie, c'està-dire si d'une part il existe des lignes exceptionnelles pour la suite (i), si d^autre [part il en existe pour la répartition de masses liées à la variation 6^ U, le raisonnemeut précédent peut être en défaut. Mais il faut évidemment, pour que la formule (i6) cesse d'être exacte, qu'une même ligne soit exceptionnelle aux deux points de vue, en ce sens qu'elle contienne des masses finies et que Fn{t, t) ne converge pas en moyenne vers zéro sur cette ligne. Il n'y aurait aucune difficulté à passer de la formule (17) à la formule (i5) si des masses finies sont réparties sur une ligne, et que sur une ligne différente de la précédente F„(^, t) cessait de converger en moyenne vers zéro.