Remarque. — Considérons une fonctionnelle de la forme

les Cn restant finis sans tendre vers une limite. Il est évident que pour une telle fonctionnelle, Au dépend effectivement de l'ordre des fonctions//^(f), et ne peut pas rester constamment égal à AU. Il est donc impossible que la suite (i) reste normalement dense pour un changement de l'ordre des termes qui fasse varier A«. Tel est le cas, à condi-

CHAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DE COORDONNÉES. 3o9

tion de choisir u convenablement, pour tout changement faisant varier la densité moyenne, dans la suite des fonctions fn{i)^ des ttrmes d'une suite partielle de ces fonctions. Le résultat énoncé n° 40 est donc établi.

Ainsi, la fonctionnelle

/ x{t)x{\ — t)dt = al-^ a'I — al-h.. . + (— O'^+^a^ + . . .

[en prenant la suite (6) pour suite des fonctions fn{^)] est harmonique dans l'espace fonctionnel, c'est-à-dire annule AU. Elle annule aussi Aw, si l'on conserve l'ordre des termes indiqué par la formule (6) ; mais en changeant cet ordre, en favorisant systématiquement soit les cosinus, soit les sinus, on peut donner à Aw n'importe quelle valeur de l'intervalle ( — 2, + 2), limites comprises.

La même circonstance ne peut pas se produire pour la suite (6) et une fonctionnelle normale; cette suite restant également dense si l'on change l'ordre des termes, à.u conserve la même valeur.

44. La notion de moyenne dans l'espace ù. — On peut, dans l'espace 0 comme dans l'espace fonctionnel, définir la moyenne d'une fonction dans un certain domaine. La marche à suivre est tout à fait analogue.

Nous considérerons comme /i'^™^ section de l'espace ù l'ensemble E;^ des points pour lesquels

Une fonction u se réduit dans cette section à une fonction Un de «,, a 2-) . . ., On. On forme sa moyenne dans le domaine V„, section parE„ d'un domaine V de l'espace Q. La limite, pour /i infini, est par définition la moyenne de u dans le domaine V.

Ainsi, la moyenne^de u dans la sphère S, d'équation

(18) a2+a|H-...4-rt2-f-...= R2,

est la limite de la moyenne de Un{cii, «o? • • •: ^n) dans la sphère 2;^ d'équation

af -4- a|-{-, . .-^ a%= R^.

On remarque que cette sphère a pour rayon R, et non y/Âï, comme la sphère analogue qui intervient au point de vue exposé Chapitre IL

Les principaux résultats du Chapitre II s'appliquent évidemment avec cette nouvelle définition de la moyenne. Il est toujours vrai que le volume d'une sphère soit concentré sur sa surface, de sorte que la moyenne d'une fonctionnelle finie et continue ne dépend que des valeurs prises sur la surface. De même, si la fonctionnelle a est uniformément continue, le volume de la sphère est concentré près d'une seule des surfaces de niveau u = const., de sorte que cette fonctionnelle a presque partout la même valeur. Les démonstrations sont les mêmes qu'au Chapitre IL

Il s'agit maintenant de rechercher si la moyenne définie dans l'espace 0, et celle définie Chapitre II, sont égales. C'est ce que nous allons examiner dans le cas de la sphère.

45. Le cas de la sphère. — Plaçons-nous sur la surface de la sphère S, définie par la formule (i8).

Une fonctionnelle du premier degré a évidemment pour moyenne sa valeur au centre de la sphère.

Considérons maintenant le cas d'une fonctionnelle homogène du second degré. Nous devons d'abord chercher sa moyenne sur la sphère S;^, n'^^^^ section de la sphère S. C'est un résultat connu, et d'ailleurs d'une vérification immédiate, que cette moyenne est

2 /d2w à^U d'Ul\

A la limite, pour n infini, on trouve que la moyenne de u sur la

sphère S, au point de vue de l'espace Ù, est — Aw,

Nous savons qu'au point de vue du Chapitre II, cette moyenne est - AU.

Les conditions pour que les deux définitions soient équivalentes sont celles pour que Aw = AU. Il suffit que la suite (i) soit normalement dense.

46. Dans le cas des fonctionnelles de degré quelconque, on peut généraliser le résultat précédent en s'appuyant sur la théorie des fonctionnelles harmoniques, que nous développerons plus loin. Nous verrons que :

i" Une fonctionnelle harmonique, uniformément continue àl'inté-