Ce résultat peut d'ailleurs s'établir plus simplement

Dans l'espace fcnictionnel, la surface ininima Sq limitée à £0 (dont nous établirons plus loin l'existence) est orthogonale à S. Le tube^ limité par les normales à S^ aux points de 80, a, d'après le n^87, toutes ses séchons S d'un ordre de grandeur au plus égal à la section de Go- Or Il est eijTonscrit à S, et, dès qu'on s'éloigne d'une dislance h du conloui" 3<), la partie de S intérieure à S, obtenue en négligeant sur le

C(»ntour umt bande de largeur au moins égale à ——5 est dun ordre de

grandeur inférieur à celui de S, ela foj'tiori à celui de ^o- Le voisinage de S,) constitue donc presque tout le volume intérieur à S.

Le raisonnement du n® 89, plus long, avait l'avantage de nous donner un lésidtat applical)le à l'espace E„. Dans cet espace, la sur-

ClIAP. IV. — MESURi: DES VOLU.MKS ET DES SURFACES. 365

face mininia liiiiilt'c à Go, et la surracc iiiininia conlenànl Co et orthogonale à S, sont distinctes. On ne peut alors étendre le principe du raisonnement précédent ([u en négligeant les parties du volume non situées dans le voisinage de la surface, ce qui est légitime si n est grand. On peut alors raisonner sur une surface minima orthogonal*' à S. Mais dans ces conditions, il est plus simple de raisonner sur la surface, et non snr le volume intérieui-, et de remplacer les surfaces S paiallcles à ^^^ par les contours C parallèles à Co 5 <^n est ainsi conduit aux raisonnements du n" 89.

y l . La notion de valeur moyenne dans le cas des surfaces convexes. — Considérons toujours la surface fermée S, con\e\<% et telle que le rayon de courbure des sections normales soit toujours au plus égal à m\ nombre fini R. Nous allons démontrer, dans le cas d'une telle surface, le lliéorémc général énoncé n^ lo, déjà démontré dans le cas de la sphère, d'après lequel une fonctionnelle uniforménnnit continue L a presque partout la même valeur. Cela revient au même, dans ce l)ut, d'après le n" 57, de considérer les valeurs de U sur la surface S ou dans le \olume V qti'elh^ limite; si en effet une j^ortion de S constitue presque toute la surface, son voisinage constiluepres(|ue tout le \olume.

Il existe au moins une \aleur Uo de U telle que la portion de la surface S pour laquelle Uq — £ <^ U <^ Uo+ £ constitue, quelque petit que soit z, une fraction finie de l'aire totale. D'après le n" 61, le contour Go d'équation U = Uo a alors une mesure au moins du même ordre que les contours U -^ const. voisins de lui, de sorte que sa courbirre gé<^désique moyenne est nulle prescpic partout.

Raisonnons d'abord comme si elle était partout nulle. Le voisinage du contour L =1^0 constitue presque toute la surface; en vertu de la continuité uniforme, dans ce\oisinageL est très peu différent de Lo, et le théorème est démontré.

92. Il r(\ste à revenir sur l'assimilation entre un contour dont la courbure géodésique moyenne est nulle presque partout, et un contour pour lequel elle est nulle partout. A cet effets plaçons-nous d'abord dans l'espace E„, et, (!omme nous l'avons fait dans le cas de la sphère, commençons par résoudre un problème de calcul des vaiiatlons :

366 TROISIKME PARTIE. — MOVENNK DANS LK DOMAIXK FONCTIONNEL.

Parmi tous les contours Urnitant une aire donnée -lo sur la surface -S, trouver celui de mesure minima.

Désignons par 4^ et 8 les mesures du contour {\ et de l'aire qu'il limite, et définissons sa déformation par le déplacement normal y.* de chacun de ses points. On a

OrS = / ÔV<^3,

de sorte que le minimum ne peut avoir lieu que pour un contour pour lequel K^r soit constant. Ce contoui' ne pcul (railleurs admelire aucun point conique ou lieu de points coniques; en elFet, on peut modifier le contour en évitant ces points, et de manière que la variation de 8 soit très petite en valeur absolue par rapport à ceJle de i^, cotte dernière étant négative; on peut ensuite modifier le contour dans sa partie régidière, de manière à redonner à S la valeur voulue -l.; la valeur finale de <^ est alors inférieure à la valeur initiale, qui ne peut constituer un minimum. Vdineltant i'evistence de ce minimum, nous voyons qu'il existe un contour régulier, fermé sur lui-même^ pour lequel Ko. ait une valeur constante a. Admettons de plus, par laison de continuité ('), que a varie d'une manière continue de -f- x à — - X)

(') Il y a d'ailleurs quelque difficulté à rendre la démonsLralion rigoureuse sur ce point. Il peut arriver en effet que, pour une valeur r%i' de l'air rXi (ou pour plusieurs valeurs), le minimum de la mesure du contour soit réalisé pour deux contours différents Ci et C^, les contours voisins du premier donnant le minimum (juand l'aire est inférieure à ^h>\ ceux voisins du second le donnant quand l'aire est supérieure à cette valeur. La courbure géodésique moyenne est alors une fonction de l'aire discontinue pour cette valeur.

On peut échapper à cette difficulté en remplaçant le problème de minimum absolu par un problème de minimum relatif. Un contour C^ réalisant le minimum, pour une valeur très petite Jloo de l'aire, on cherchera, pour les valeurs de l'aire un peu supérieures à «lo^, le contour voisin de Cq et de mesure aussi petite que possible, et, «•()ntinuant de même, on aura une famille de circonférences géodésiques fermées dépendant de olo d'une manière continue. L'une d'elles sera alors une géodésique fermée, et la conclusion du texte subsiste.

Pour une étude plus approfondie de c^ette question, dans le cas des surfaces convexes de l'espace ordinaire, voir Poincaré, Sur les géodésiques des sur/aces convexes (Transactions of math. amer. Society, t. VI, igoS; voiv notamment le paragraphe 7 de ce Mémoire), et Hadamard, Sur quelques questions de calcul des variations (Ann. Ec, Norm., 1907; voir le n° 7).

CflAP. IV. — MKSLRK DES VOLLMKS ET DKS SUHFACKS. SGj

quand ^X, \ari<' de zrro à 1 aiic totale ^ de S. nous \ovons que a ^ annu l<' et qxie par suite il <'\i.stt' un contour régulier, fermé sur luimême, et d(nit la courbure géodésique inovenue soit partout nulle; nous désignerons par -S,, la xaleiir de 1 aiic liinil^'c [)ar ce contour.

Le \(nsinage de ce contour, lien des |)oints situés aune distance de lui inlej'ieurc à £, a une-fjire sensihleincnt ('gale à .(^£. Nous savons que, pour n assez grand, il €onslitue picscpic loulc la surface. Cela sera vrai a fortiori pour les autres contours entourant la même aire -S„, et ayant par suite une mesure (^supérieure. Or, parmi les aires définies par une inégalité de la forme U <^ Lq, il en existe certainement une égale à S^^. Le voisinage du contour IJ ;= L'o <'onstitue alors presque toute la surface; en d'autres termes, pour n assez grand, la \aleur Uo compte seule dans Je calcul de la mojenne.

93. Le raisonnement précédent prête encojc à une oJ)je(iion; zj aj)paraît tantôt comme un nombre fini, indépendant de /i, tantôt comme un nombre infiniment petit. Pour iMmdi'c le raisonnement rigoureux à ce j)Oint de \iie, nous [)rendrons un noml)re £ bien déterminé, el a^^iiWevows voisinage de G, el désigneions par \'^ç(C), ou simplement \'^(C), le lieu des points de S dont la distance à C, comptée sur la surface, soit inférieure à £. Considérons le problème de calcul des \arjations suivant :

Parmi tous les contours limitant une aire donnée -l. sur la surface S, trouver celui pour lequel KHCj) ait une aire minima.

La variation de Taire 'C> de 'Q (C) est de la forme

aO&v^a.

a, et C/.2 désignant le rapport, à l'élément «?©, les éléments corres[H>ndants des contours parallèles C< et C> qui limitent la région \'M CV La solution du problème (\st alors un contour pour le([uel a, — 7-2= const., et, par raison de continuité, on peut encore troiixcr une valeur ,So de A^ telle que la constante soit nulle, eta, ^a^.. Les portions correspondantes des contours C| et C^ sont égales.

Or les régions ('lémentaires correspoiidaiiles (Tune famille de (Contours parallèles foinient, comme nous le sasons, un tube dont la seclion, maxima pour celui dont la courbure géodésique moyenne est

nulle, décroît des deux côtés, au moins aussi \ île que sur la sphère de rayon R. Le maximum a alors lieu nécessairement entre C, el C2, et, si non seulement les rayons de courbure des sections normales de S sont fiiiis^ mais qu'ils soient des fonctions uniformément continues du point considéré de S et de la direction de la tangente, il est à peu près équidistant de G, etG2; autrement, la décroissance de la section de chaque tube élémentaire se faisant à peu près suivant la même loi des deux côtés de la section maxima, les sections par G, et Go ne pourraient être égales. D'une manière précise, on peut limiter inférieurement la distance à chacun des contours G, et G2 de cette section maxima; soit7| cette limite inférieure. Gomme les sections décroissent au moins aussi rapidement qne sur une sphère de rayon R, la fraction de chaque tube située dans \'^(G) est au moins égale à la fraction de Taire d'une sphère de rayon R comprise entre deux plans parallèles

situés de part et d'autre du centre à la distance R sin ^ • La fraction

de Faire de la surface S intérieure à\'>(G)est alors certainement inférieure à la même quantité, et tend vers i quand /i angmente indéfiniment.

Gela est alors vrai a fortiori pour tout contour G limitant la même aire 80, et en particulier pour le contour U = Uq, L'o étant défini par la condition que L soit inférieur à Uo sur une aire égale à Sq» Getle valeur de Uo compte donc seule, pour n très grand, pour le calcul de la moyenne. c. q. f. d.

94. Classification des surfaces et des volumes au point de vue de l'aspect de la notion de moyenne. — INous appellerons surface de la première catégorie toute surface finie sur laquelle toute fonctionnelle uniformément continue a presque partout la même valeur. Les autres surfaces finies sont dites de la deuxième catégorie.

D'après ce qui précède, il est particulièrement simple, dans le cas des surfaces convexes, de montrer qu'elles sont de la première catégorie. Mais ce résultat une fois obtenu, il est facile de former d'autres surfaces de la première catégorie.

Donnons à chaque point M d'une surface S un déplacement, parallèle à une direction {\xe^ et de longueur a variable; nous supposerons que a, considéré comme fonction du point M, soit continu et admette une dérivée fonctionnelle bornée, c'est-à-dire que, si ds désigne un

CHAP. IV. — MESURE DFiS VOLUMES ET DES SURFACES. BGf)

arc élémentaire de la surface S, et da la variation correspondante de a,

-j- existe et son module a une limite supérieure indépendante du

point i\[ et de la direction de l'arc c/s. Le déplacement considéré transforme la surface S en une autre surface S' telle cpie les rapports des longueurs ou des aires de S' aux longueurs ou aux aires correspondantes de S soient finis. Il en résulte aisément, si la surface S est de la première catégorie, que la surface déformée Test aussi.

En répétant cette opération, on peut obtenir des surfaces d'un très grand degré de généralité, qui sont de première catégorie.

9o. La distinction en deux catégories que nous venons de faire au sujet des surfaces, ou des volumes qu'elles limitent, s'étend aisément à toutes les variétés à une infinité de dimensions.

Soit une surface S de la première catégorie, limitant un volume A . Désignons par ^/,, u^-, ..., Up les valeurs moyennes de fonctionnelles Li4, Lo, ...1 U^, sur la surface S ou dans le volume V. La variété <'H,,, à iù — j) dimensions, lieu des points de \ P^^ur lesquels L]^=zu^, {]2^=iii^ •••, Uy,= Up^ constitue presque tout le volume ^ . Il en résulte qu'elle appartient à la première catégorie. Si en ellet une fonctionnelle l a\ait des valeurs distinctes dans deux fractions finies de la région dl^,, elle aurait à peu près les mêmes valeurs dans les portions de \ voisines respectivement de ces deux fractions de <R^,, et n'aurait pas par suite la même valeur dans presque tout le volume V.

En partant d'une région ^Kp^ à m — p dimensions, et de n'importe quelle catégorie, il est facile de constituer des volumes de la deuxième catégorie. On peut obtenir un volume en considérant le lieu de régions Ap dépendant de p paramètres À,, Ào, ..., Â^; si toutes ces régions sont du même ordre de grandeur, c'est-à-dire si les rapports de leurs mesures sont finis, on obtient un volume V de deuxième catégorie.

Considérons dans ce volume /> fonctionnelles L<, Uo, ..., L^^. Les variétés définies dans \ par les conditions L< = d,, L.,= C2, ..., {]pZ=Cp sont en général telles que leur voisinage constitue une

fraction finie du volume total, du moins si le point c^, Co, Cp de

l'espace E^ est dans un certain volume de cet espace. Alors la moyenne d'une fonctionnelle de la forme/(Li, , L2, ..., L^) sera donnée par une intégrale d'ordre/?.