I.KVV

Supposons mainlenanl les réj^ions cR/, de la première caléi;orle, el considérons un nombre quelconque q de fonclionnelles L < , l 2^ • • • , ^ q- Chacune d'elles a presque partout la même valeur dans chacune des régions c'R^. Par suite, en négligeant seulement des (Vaclloiis négligeables du \olume total, ces fonctionnelles sont des fonctions de À,, Ao, ..., \p. Quelque grand que soit ^, les systèmes de valeurs des fonctionnelles considérées, réalisés dans une fraction finie du solume total, dépendent au plus de y> paramètres. I.a moyenne d'une fonctionnelle de la formey'(L^, Lu, ..., Ly) sera donnée par une intégrale d'ordre p.

Ce nombre/; dépend évidemment seulement du volume (onsidéré, et non du choix des régions .Pi^^ qui le décri\cnt. \(uis dirons (pi'un tel volume, ou la surface qui le limite, sont de la deuxième catégorie^ et d'ordre p. Ce volume ne peut être décrit par (h's varii'tés de la première catégorie que si elles dépendent d'au moins p paramètres; et si elles dépendent de plus de p paramètres, c'est (pie certaines sont négligeables devant les autres, et celles dont il v a lieu de tenir compte pour les calculs de moyennes dépendent e\aclemenl de p paramètres.

96. Il ]>eut exister des volumes de la deuxième ( alégorie et d'ordre iii(ini. Tel est le \olume \' défini par les conditions

x\<a\, x\<C.a\. . . . , ,r;-; < aj-), . . . ,

les a,i étant tels que - a'^ comergc.

Ce volume présente cette particularité d'être trop petit |>our pouvoir contenir une sphère à son intérieur. Quelque petit que soit le jayon p d'une telle sphère, il n'y a qu'un nombre fini de \aleurs de aji supérieures à 0 en valeur absolue, et les diamètres de la sphère correspondant aux valeurs de a,, inférieurs à g en valeur absolue sortent du \olume coiisi(h''ré.

Considérons alors le volume \ , lieu des sphères (h; rjiNon 11 ayant leurs centres dans le voluuie \ '. Il est de dimensions finies, et, si grand que soit />, les cooidonnées X\^ ./o, .-•, Xp prennent, dans des fiaclions non négligeabh'S du Nolume total, des valeurs indépen(!ant<'S. i.e \olume \ est donc de deuxième catégoiie et d'ordie infini.

.Mais il présente une circonstance assez remarquable. Soient a une fonctionnelle uniformément continue, et L , , en chaque point ]\J, le

CHAP. IV. — .Mi:SLRK DliS VOLUMES ET DES SURFACES. 37I

« potentiel sphériqiie », moyenne de IJ d^ns la sphère de'centreMet (le rayon R. On voit aisément que la moyenne de L dans A est égale à celle de L , dans \ < . Proposons-nous de la calculer avec une eireur au plus égale à un nombre positif s, aussi petitque nous voulons, luais déterminé; désignons par tj le module de continuité uniforuie de la lonctionnelle l dans le volume V, correspondant à s; il convient aussi dans le volume V, pour la fonctiounelle l , . Prenons alors/? assez grand pour ([ue

«/.+ 1-1- «7^+2 +.-.< iq2-

On peut, pour le calcul de la moyenne chercliée, remplacer par zéro tous les X d'indices plus grand (jue p. L, se réduit alors à une fcuiction o(^,, X21 ..., Xp), et la moyenne cherchée est, à une erreur près, au plus égale à s,

Les seules valeurs de U qui comptent pouj- le calcul de la moyenne sont celles deU|. On peut se contentei' de considérer des valeurs dépendant d'un nombre fini de paramètres, (jui ne dépend pas de la l'onctionnerie considért'c mais seulement du module de coutinuilé uniforme Tj (^orrespondanl à la précision cherchée; ainsi, poui- une précision donnée, il sera le même pour toutes les fonctionnelles dont les dérivées premières ne dépassent pas un nombre déterminé, et plus généralement pour toute famille de fonctionnelles égaJemeut v\ uniformément continues. ISaturellemenI vv nombre/» augmente indéfiniment avet; la précision cherchée.

Cette circonstance s'étend à tous ies \olumes de deuxième catégorie et d'ordre infini (^). On peut d^^nc les connaître assez bien, au p(>int de vue du calcul de la moyenne des fonctionnelles, en n'étudiant que ceux d'ordres finis, dont la généra ticm à partir des volumes de la première catégorie csl 1res simple. Ou \oil donc le lôlc essentiel que joueni ces volumes de la première ealégoiie.

(') Pour y écliapper, il faudrait engendrer un volume \ en donnant à une variété cR de la preniièrc calégorie des déplacements dépendant d'une infinité de paramétres, et d'amplitudes moyennes telles que la somme de leurs cariés ne converge pas. Mais alors le volume V ne serait pas situé dans une région (inie de l'espace.

97. Remarques diverses. — Considérons un volume V, convexe, limité par une surface S. On peut considérer plusieurs quantités liées à l'ordre de grandeur de ce volume. Il est intéressant de les comparer entre elles.

Un raisonnement superficiel pourrait conduire à penser que, si la surface S est de la première catégorie, ayant presque partout même rayon de courbure moyenne et même rayon de courbure totale, elle est presque une sphère^ et que ces diverses qviantités sont égales. Il n'en est rien.

Une première grandeur à considérer est le rayon R de la sphère de volume équivalent à celui de V. On démontre sans peine que c'est aussi le rayon de la sphère de surface équivalente à celle de S, et qu'on ne change pas non plus ce rayon en remplaçant le volume V et la sphère par leurs projections sur vm plan à to — p dimensions. Bien entendu, la mesure de la projection du volume dépend du plan choisi, mais le rapport entre les mesures de deux telles projections, fini ou infini, ne peut être de l'ordre de grandeur de a^{a^i), et est sans influence sur le rayon de la sphère équivalente.

D'autre part, si la surface S est de la première catégorie, le rayon de courbure totale a presque partout la même valeur R', tandis que si on le considère comme fonction du point de la sphère sur laquelle on représente l'ellipsoïde, il a presque partout la même valeur R'.

Les nombres R, R', R" ne sont pas nécessairement égaux. Par des remarques analogues à celles du n'' 76 sur l'inégalité (36), on peut montrer que

98. Il y a d'autre part une relation entre la courbure moyenne K, et la distance p du plan tangent à un point fixe O; nous compterons cette distance positivement vers l'inlérieur. A cet efTet, faisons varier la surface S, en la remplaçant par une surface homo thé tique par rapport à O et très voisine, le rapport d'homothétie étant i-j-s. Faisons se correspondre les points des deux surfaces situés sur une même normale à S; leur distance esips. Chaque élément d'aire varie alors d'une surface à la voisine comme dans une homothétie de rapport 1 -+- Kpz. Pour l'ensemble de la surface, d'après la formule (8), la variation relative du rayon R de la sphère équivalente est alors 7?i, e ou 7112^^ suivant le signe de e, m, et /^/o désignant les valeurs extrêmes

CilAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. SyS

(le Ky>, en ncij;lii;eaiil celles qui ne seraient prises que sur des portions (le la surface pour lesquelles le rayon de la sphère équivalente serait inférieur à R. D'autre part, comme il s^aj^it d'une homothétie, cette variation relative est égale à s, quel que soit le signe de cette quantité. Donc /y/, = /?i.2=^ I. Le produit K/> est presque partout égal à i . Jl est remarquable que cet énoncé s'applique quel que soit le point O, et quelle que soit la surface. Si elle est de la première catégorie, on peut dire que jo et — ont presque partout une même valeur h. Si elle est de la deuxième catégorie, p et — sont presque partout égaux,

et nous désignerons leur valeur moyenne commune par h. La formule (lo) s'écrit alors (')

Montrons par un exemple que /i n'est pas nécessairement égal à R. Nous n'avons qu'à reprendre l'exemple, déjà considéré n*' 74, de rellipsoïde

do C'est une surface de la première catégorie. On trouve aisément

de sorte que le calcul de h se ramène au calcul* de la valeur moyenne

rde /•-, ou de — ) sur la surface, ou ce qui revient au même à l'intérieur

(voir nuniéro suivant). Comme une dilatation suivant les axes modifie tous les volumes dans le même rapport, on ramène aisément ce calcul à celui de la moyenne sur une sphère, et l'on trouve que /- a presque

(') On a une formule analogue dans l'espace E,,. La variation du volume K-' dans l'homothétie de rapport i -f z est en elTet

dV = n\z

I pz dS = -S/ic.

On a donc n\ =: /i-S, h désijijnant la moyenne de p sur la surface S. A la limite, on retrouve la formule du texte, dont on a ainsi une démonstration très simple. Le raisonnement du texte a par contre l'avantage de montrer la relation entre/? et k.

J/f TROISIEME PARTIE. — MOYENNK DANS l.K DOMAIXK FO.NCl loXNEL.

parloiil la valeur 77- Donc /t =: y—, tandis que, les denii-axcs de rellip-

soïde eianl é^aux les uns à i et les autres à — ? on a R =1= T-:r*

UD. Les surfaces de la premièie catégorie étant telles que toute fonctionnelle uniforniéinent continue j a presque partout la même valeur, cela est vrai en particulier de la courbure moyenne. D'api-ès le n"^ 57, nous pouvons alors affirmer que, pour une telle surface, cela revient au même de prendie la moyenne d'une fonctionnelle uniformément continue sur cette surface ou dans le volume qu'elle limite. Ces deux moyennes sont égales.

Cette propriété n'est d'ailleurs ni générale, ni caractéristique des surfaces de la première catégorie. Considérons par exemple une surface S de la deuxième catégorie, et d'ordre i, décrite par des contours C, de la première catégorie, et situés dans des plans parallèles, INjur tous ces contours, le rayon de la sphère équivalente a une même valeur Pi. D'autre part, chacun des plans parallèles est presque partout normal à la surface S (autrement l'ordre de grandeur de la mesure du contour varierait, et R ne serait pas constant). La valeur moyenne, sur chaque contour C, de la courbure moyenne K de la surface est donc aussi celle de la courbure moyenne du contour. L'exemph' du

numéro précédent (M montre qu'elle peut n'être pas égale à — ? et par

suite qu'elle peut varier d'un contour à l'autre ; alors, d'après le n'\^l, les dilFérents contours C n'auront pas le même poids pour le cahnd de la moyenne d'une fonctionnelle sur la surface S et dans le volume qu'elle limite. Si au contraire la moyenne de Kest la même pour tous les contours C, les moyennes d'une fonctionnelle quelconque sur la surface et dans le volume sont égales.

(') JJans cet exempte nous considérions une surface de l'espace tonclionnel; il suffit d'en prendre la sectiori par un plan contenant le centre pour avoir un contour C jouissant dans un plan d'une propriété analogue.