CHAPITRE V

LES FOXCTIONNELl.KS HARMONIQUES.

SoMMAlFU-: : Formule de (k'rivation des fonctionnelles composées. — Conséquence relative à certaines équations aux dérivées fonctionnelles. — Formule fondamentale |)Our l'étude du problème de Cauchy. — Extension de la formule de Green. — La formule de Green sur une surface. — La formule de Green et le potentiel. — Le potentiel de double couche. — Remarques sur la solution du problènie de Diriclilet et les propriétés des surfaces minima. — Les problème de Gaucliy el de Diriclilet pour des variétés quelconques situées sur une surface fermée convexe. — Cas de surfaces non con\e\e?. — La notion de variété minima; conclusion relative au problème de la détermination fl'uhe fonctionnelle harmonique par ses vahMiis sur une variété quelconque. — Cas des variétés minfima. — Le potentiel de simple cou<h(\ — Le potentiel de volume, — Le problème de \eumann.

100. Formules de dérivation des fonctionnelles composées. — Soit, pour fixer les idées, une foiielion^ z=z /"(U, \ , W ) de trois fonctionnelles [ , \ , W. Clierelions à exprimer A(ï> en fonction de AU, A^ . A\\ . Ou a d'abord, pour les dérivc-es |)reiuièf^es, la formule évidente

Si Ton calcule la vai'iation de <ï>p, en supposant que les variations secondes de U, V , W soient de la forme normale, on trouve

+/^t :/f .v,+/v^v:,v:,.,+/v^.^v:,w^,)5^l^'.• Dou(^ la variation seconde de <ï> est aussi de Luiue normîde, et Ton a

, , ) <i4. -/r l;;.. -4-yv v;;..-f-/w w:u.

Si les variations secondes de L, \ , W ne sont pas de la forme

normale, l'expression de Ô4>'j. peut contenir d'autre termes, provenant de la différentiation de U'^., V'^, W^. Mais cela ne changera rien aux terme en 5^, et la formule (i) reste exacte.

Si même les variations premières de U, V, W n'étaient pas de la forme normale, mais dépendaient spécialement de certaines valeurs de ^, soit t\ t\ . . . , la variation 8$'^. contiendrait des termes en o^(i'), ox{t")^ ..., et, si t est précisément égal à l'une de ces valeurs t^ ^ t\ . . ., l'un de ces termes se réunit au terme en ox, et la formule (i) ne serait pas exacte. Mais ces valeurs particulières de / constituent au plus un ensemble de mesure nulle, de sorte que, même dans ce cas, la formule (i) est presque partout exacte.

En tout cas, en intégrant par rapport à t entre o et i , il vient

(-2). Aa>^/^-AU+/{.AV+/;vAW.

Les formules (i) et (2) montrent que les calculs des dérivées secondes ou paramètre difterentiel du second ordre <^^.î et Atï> se font par les formules qui ne conviennent habituellement que dans les cas des dérivées premières. Cette conclusion ne s'applique pas, bien entendu, à la dérivée <I>'^.,.^ pour laquelle on a

formule tout à fait analogue à celle relative aux fonctions composées à l'aide de fonctions ordinaires.

Il résulte en particulier de ces formules que :

i*' Si U, V, W sont des fonctionnelles de Gâteaux, il en est de même de ^ ;

2" Si U, V, W sont des fonctionnelles harmoniques, il en est de même de ^.

En particulier, on voit que les fonctionnelles LJ et f{\j) sont en même temps harmoniques. On peut donc reconnaître si une fonctionnelle est harmonique lorsque l'on connaît les surfaces de niveau U = const., sans connaître la valeur de U correspondant à chaque surface. Nous avons déjà obtenu un résultat plus précis en démontrant (n° 25) que les fonctionnelles harmoniques sont celles pour lesquelles les surfaces de niveau sont uiinima.

101. On peut obtenir les mêmes résultats par la méthode du pas-

CHAP. Y. — PONCTIOXMsLLES HARMONIQUES. ^77

sage du (ini à l'infini. Si, au lieu de U, V, W, <I\ on eonsidère des fonctions ?/, c, iv C2 de /i variables indépendantes, on a

<)-^'^ ()f à-'it df ,nv âf âHv ()x'f <ffi ôx'j Ov àx; <hv (),rf

^dh^^^'HIdty^!!!!!'!^

()U- \()X,/ ÔV- \()Xi/ ' ()w

ou, en désignant par A la moyenne des 7i dérivées —7 >

ax/

ôf i)f , ùf I (d'^f , <nf, d-^f ^

Lorsque n devient infini, A, ?<, A, p et Aj çv restent finis, et l'on a bien à la limite la formule (2).

De même, l'expression de — j donne à la limite la formule (i ), les

termes en ( — 1 , f -— 1 et ( — j étant négligeables a cote des autres.

102. Conséquence relative à certaines équations aux dérivées fonctionnelles. — Considérons l'équation