AU=/(U

Désignons par F(a) une fonction primitive de yt^- D'après la formule (2), cette équation s'écrit

AF(U) = i, ou, coîume A/'-= 2,

Sa solution générale est donc définie implicilement par la formule

où V désigne une fonctionnelle harmonique quelconque. Ainsi l'équation (3) se ramène à V équation de Laplace :

AV = o.

La solution du problème de Dirichlet relatif à l'équation (3), c'est-

à-dire la recherche d'une solution prenanl sur une surface une valeur donnée Uq se ramène à la recherche d'une fonclionnelle harmoniqu»

égale sur celle surl'ace à F(Uo) — ^ • Si la solution de ce problème

est unique pour l'équation de Laplace, il en est donc de même po l'équation (3).

On remarque que ces circonstances sont analogues à celles qui se présentent dans l'analyse ordinaire pour l'équation du preml(;r

ordre — =f(u)^ et tout à fait difTérenles de celles qui se présentent

pour l'équation \(/ == /'(a). Ainsi on sait que, pour l'équation ^(i = \(f^ en analyse ordinaire, la solution du problème de Dirichlet, bien déterminée en général, devient indéterminée pour certaines \aleurs de A. Au contraire, en analyse foncti(vnnelle, l'équation

(4) AU = XU

admet comme solution générale, d'après ce qui précède, la fonctionnelle

W, ou ce qui revient au même son logarithme A , étant une fonclionnelle harmonique quelconque. Le problème de Dirichlet est donc déterminé pour Féquation (4) comme il Test pour l'équation de Laplace, dans des conditions que nous préciserons ])lus loin; cela ne peut pas dépendre de A.

103. Formule fondamentale pour l'étude du problème de Cauchy. — En analyse ordinaire, le problème de Cauchy, relatif à une équation aux dérivées partielles du second ordre, consiste à cliercher une

solution 7i connaissant sa valeur et celle de la dérivée normale -7- sur

une surface; pour résoudre ce problème, il est commode de résoudre

1 équation chulK^e par ra[)port a -p;--

En cherchant la formule aiudogue relative à réqMation de Laphice en analyse fonctionnelle, on ol)lient des eirconslances tout à fait

différentes : —7— n'intervient pas dans l'iViuation. ALi est en elfel une

moyenne entre une infinité de dérivées secondes, et une de ces déri-

vées, prise isolé nu;n.l. est sans influence sur sa valeur; AU ne dépend

pas de — — -•

* en'

iNous pouvons par contre obtenir une relation entre les valeurs

de u sur la siirtace et — — • iNous desionerons par — 7- et -7—- les (ieri\ ces

relatives à un déplacemenl sur une section normale de la surface S, ds désii;nant l'élément d'arc décrit; pour un déplacement correspondant sur la tangente, la dérivée première a la même \aleur, et nous

désignerons la déiivée seconde par —j-^ (^ ' ). On a d'ailleurs

dn (PJ^ /. 5^

«Ya- ds^ ' <^/v

A" désignant la courbure de la section normale correspondante; les déplacememts considérés ayant lieu en effet dans un [dan à deux dimensions, les formules de la géométrie ordinaire s'appliquent sans difficulté.

Or AU est la moyenne des dérivées se(M)ndes telles que — 7-r> rela-

tives à tout(;s les directions de fespace; c'est une moyenne sur une sphère, et pour la calculer on peut ne tenir compte que des points situés dans un plan à o) — i dimensions contenant le centre; on peul

donc considérer AU comme la mo\enne des valeurs de —7-— dans

loutes les directions du plan tangent. Désignons par A^U la moyenne,

dans les mêmes conditions, des valeurs de —7—-; cette (ruantité ne

dépend que des \aleurs de U sur la surface. Désignons enfin |)ar K la courbure moyenne de la surface S. Nous obtenons la formule

(5) Al =àsl -K^,

d'après laquelle le |)roblème de Gaucliy relatif à Téquation de Laplace

I 1 • • 1 1 . fP u

(1) Nous. avons employé dans des condilions analogues la notation -j— ( première

r^arlie. Cliap. \ }. Ici il y a lieu d'éviter la confusion avec la variahic /, argument

de la fonction x(t). Nous écrivons de même ici -7- au lieu de -7— pour la dérivée

normale, pour réserver la lettre // aux eonsidéralions relatives à l'espace à n dimensions.

38o TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

t'ii analyse fonctionnelle apparaît comme analogue au prol)lùnie de Cauchj de l'analyse ordinaire relatif aux équations du premier oidre, el non du second.

104. On remarque d'ailleurs que, si la surface S est minima, la dérivée normale n'intervient même pas. L'équation de Laplace se réduit à A>^LJ= o; c'est une condition ne faisant intervenir que les \aleurs de U sur la surface; nous dirons lorsqu'elle est vérifiée que la fonctionnelle U est harmonique sur la surface S (définition ajjplicable que cette surface S soit minima ou non).

Considérons alors un volume V décrit par une surface minima S, dépendant d'un paramètre X, deux positions différentes de cette surface étant sans point commun. La condition nécessaire et suffisante pour que la fonctionnelle \} soit harmonique dans ce volume est qu'elle soit harmonique sur chacune des surfaces S (').

Cette remarque renseigne sur la nature analytique des fonctionnelles harmoniques. La forme de la fonctionnelle harmonique définie sur chaque surface peut varier d'une façon tout à fait arbitraiie d'une surface à l'autre. On peut en particulier ajouter à U une fonction arbitraire de À. Cette fonction peutn'être pas analytique, avoir des dérivées discontinues, être discontinue elle-même.

Revenons alors à la formule (5). En n'importe quel point M d'une

surface non minima S, la dérivée normale —r- peut ne i^as avoir la

en ^ *-

même valeur des deux côtés de la surface, comme on le voit en appliquant la remarque précédente à une famille de surfaces minima dont Tune, que nous désignerons par S, touche S en M. La formule (5) ne s'applique qu'à une des valeurs de -t-«

Il est facile de préciser laquelle. On peut supposer que la surface 2iJ, si K n'est pas nul en M, soit tout entière dans le voisinage de ce point d'un même côté de S, celui de la convexité moyenne; -y- peut être discontinu à la traversée d'une telle surface il. Les valeurs de l sur S

(') Ce résultat comprend comme cas particulier celui du ji" 25 d'après lequel il suffit, pour que la fonctionnelle U soit harmonique, qu'elle soit constante sur chacune des suifaces S. D'ailleurs la formule (i3) du n* 24^, dont nous avons déduit ce résultat,

n'est autre que la formule (5) appliquée aux surfaces de niveau U = consl.; -y- a alors,

au signe près, la valeur y/'^iU.

CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARiMONIQUES. J8I

ne dépendent alors évidemment que des valeurs de cette dérivée du côté de la concavité moyenne de S; c'est donc la valeur relative à C(; côté, et au point M, qui intervient dans la formule (5).

On peut arriver au même résultat en remplaçant dans ce raisonnement la surface S par le plan tangent à la surface S en M. Cette surface n'est pas nécessairement tout entière du même côté de ce plan, mais elle Fest presque tout entière (puisque dans presque toutes les directions la courbure normale a la même valeur non nulle K), et cela suffît pour conclure.

105. De cette formule, on peut tirer d'importantes conséquences relatives aux différents problèmes qui peuvent se poser pour la détermination des fonctionnelles barmoniques.

1° Si une fonctionnelle barmonique est connue d'un côté d'une surface minima, cela ne permet pas de déterminer sa valeur en aucun point situé de l'autre côté. A fortiori^ si elle est connue du côté de la concavité moyenne d'une surface S pour laquelle R soit de signe constant, on ne peut rien en déduire concernant sa valeur de l'autre côté. Si S est une surface ouverte limitée par un contour (], on ne peut donc espérer la déterminer que dans le volume compris entre S et une surface minima limitée à C. Si S est une surface convexe fermée, on ne peut espérer la déterminer qu'à l'intérieur.

2"* Plaçons-nous dans ce dernier cas. Les surfaces U = const. sont des surfaces minima dont on connaît l'intersection avec S. Le ])roblème de Dirichlet (détermination de U à l'intérieur connaissant ses valeurs sur la surface) se ramène donc au problème de détermination de la surface minima limitée à un contour donné.

On [)ourrait poursuivre ces remarques. Mais la démonstration de l'unicité de la solution du problème de Diricblet nécessite l'extension de la formule de Green à l'analyse fonctionnelle. Nous allons étudier cette extension. Nous reviendrons ensuite à l'étude des propriétés de cette solution.

106. Extension de la formule de Green. — Formons d'abord cette formule par la métbode du passage du fini à l'infini. Dans l'espace E,,, considérons un volume '<' limité par une surface S. Nous désignerons

par — la dérivée d'une fonction u suivant la normale à la surface S,

<iiriî;ée vers rexlérieiir, et poserons

i /O^H d'il à-it

En désij;iiant par u et c deux ronctions eontinues dans '<? ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres, la formule de Green s'écrit

/ (uXv ~ ç A' u ) d'<? = — I

{(\) I {u\\~çù.'u)dV= - I ^"%-''^^'^^'

l^our n'avoir à la limite que des quantités finies, divisons les deux membres par v'^, uiesure du volume \'^; // ayant la même signiiicalion qu'an n"" 98, en note, et OlLt;) et D\L^ désignant des moyennes relatives respectivement au volume V et à la surface S, il vient

(6') h dW^) ( /^ A' p — r A' a ) = ;))l ^{u -— — v*-r-,

^ \ dv rfv

Le passage du lini à Tinlirii conduit alors aux formules

/'*'"' I /^<^-i'/ d\ dV \

(-, ^^ (UAV-VAU)<«> = -i/; (uJ;-v^)*,

( 7' ) h OrLx;)( u AV V AlJ ) = OlLs (u -^ — V ^\ -

Elles sonl équivalentes, la première étant écrile sous forme symbolique, et la deuxième ne contenant que des ([uaulités finies.

Le raisonnement par induction qui précède ne conslitue ])as une démonstration. Pour démontrer ces formules, il suffirait de montrer que, si ?/ et r sonl les valeurs de U el \^ dans la /^'^'"'' section du

1 , 4 ; i / d". dv ^ • i' , 1

volume V. lu. A r, -^, -r-, tendent unilormement vers leurs ' ' «Tv dv

limites AU, A\, — ^- -y* Or il en est bien ainsi pour les deux pre-

mières, du moins moyennant des conditions assez peu i'e>lri<'li\es imposées aux fonctionnelles U et \ . Au coulraire, la normale à la surface S en un poinl fixe fait avec le plan de la /i''""' section un angle qui tend v€rs zéro, mais le maximum de sa valeur dans toute la section peut ne pas tendre vers zéro quand // augmente indéfiniment, et

du 1 •/. , d\} ..

par suite -7-7 peut ne pas tendre unitoiinement vers —r-, l/our cette

raison, une démonsti-ation par induclion des foiniules (-) el*(j ) ne

paraît pas facile; nous allons opérer autrement, en nous appuyant sur les résultats déjà obtenus dans l'espace fonctionnel.

107. Plaçons-nous d'abord dans le cas d'une surface S de la première catégorie. Tl suflit alors de démontrer la formule

(8) /<;)rLv;(AU)-orLs(^

En multipliant les fonctionnelles intégrées par V, qui a presque partout la même valeur, la formule resie exacte; intervertissant les fonctionnelles U et V, et retranchant l'une de l'autre les formules obtenues, on obtient la formule (" )•

Supposons d'abord que la fonctionnelle U soit harmonique; il

s agit de montrer que la dérivée —r- est nulle sur presque toute la surface. Or U a presque partout une même valeur Lq. Le contour C, défini sur la surface par IN-quation U^Uq, constitue donc presque toute la surface, et par suite sa courbure géodésique moyenne prcs(|ue jiartout nulle (n*^ 61); en d'autres termes, la surface minima définie dans <) par l'équation U = U,,, qui coupe la surface S suivant le contour C, la coupe suivant un angle presque partout droit.

Donc — est nul sur presque tout le contour C, (;'est-à-dire sur

presque toute la surface.

Un raisonnement analogue conduit à la formule (^8) quand U n'est pas harmonique. Définissons comme dans le cas précédent le contour C, d'équation U= U,,, constituant presque toute la surface et dont le plan osculateur moyen est normal à la surface S en des points M constituant presque toute la surface. En \\\\ tel point, désignons par K la courbure moyenne de S, qui est aussi celle de C, et par 0 l'angle de cette surface avec la surface U = Uo. Ea courbure moyenne de cette surface est, d'après le théorème de Meusnier,

K coso.

y/A, l On a d'autre part évidemment, pour les points M considérés.

et par suite