AT 1/ ^U A L = K

Gomme d'autre part, pour presque tous les points M considérés, AU, K, et — sont égaux a leurs moyennes, on a

et, la surface étant de la première catégorie, eTcs=: ^^Fla;), ce qui établit la formule (8).

108. Considérons maintenant une surface S, de la deuxième catégorie et d'ordre i. On peut la considérer comme lieu d'une simple infinité de contours C de la première catégorie, et dont les mesures sont du même ordre de grandeur, de sorte que, pour chacun d'eux, la courbure géodésique moyenne est presque partout nulle.

On peut considérer chacun de ces contours comme constituant presque toute une surface S', inscrite dans S et intérieure à S, et, en appliquant la formule (8) à cette surface, on voit qu'on a une relation analogue sur le contour G; les courbures moyennes de S et S' le long de G étant égales, elle s'écrit

Les contours G divisent la surface S en tranches Si, S^, .-., S^ ; sur chaque tranche S/, d'aire cS/, K a presque partout une même valeur K/, et l'on a

i:^'-^'--(f)=Eê^"--(^^-)'

dXLi désignant une moyenne sur la tranche S/. Or la moyenne sur S s'obtient en donnant aux diverses tranches S/ des poids proportionnels à leurs aires, tandis que la moyenne dans 'Q s'obtient en leur donnant des poids proportionnels ^ ^' La formule précédente donne donc, à la limite,

ce qui établit la formule (8).

CIIAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 38>

Ce raisonnement se généralise sans peine à deux points de vue. D'une part, on peut raisonner sur la formule {j') au lieu de la formule (8). D'autre part, au lieu de surfaces de la deuxième catégorie et d'ordre i, lieu d'une simple infinité de contours C, on peut considérer une surface de la deuxième catégorie et d'ordre p, lieu de variétés de la première catégorie dépendant de p paramètres. La formule de Green est donc établie pour toutes les surfaces d'ordres finis.

On peut passer de là aux surfaces dont l'ordre est infini, en remarquant qu'une telle surface S peut être considérée comme limite de surfaces S' d'ordres finis, telle que la moyenne sur S' d'une fonctionnelle uniformément continue tende vers sa moyenne sur S. Il est probablement possible de supposer que le voisinage de S et S' est d'ordre i, c'est-à-dire que l'angle des plans tangents aux deux surfaces tend vers zéro, et cela uniformément sur presque toute la surface.

Alors les valeurs moyennes de -^j et de p (distance du plan tangent

à un point ii\e), sur S', tendent respectivement vers les valeurs moyennes des mêmes quantités sur S, et la formule de Green en résulte.

Nous ne chercherons pas à rendre ce raisonnement plus rigoureux. Peut-être serait-on conduit à quelques restrictions concernant le mode de continuité du plan tangent à la surface. Ce qui précède nous permet de considérer la formule de Green comme établie dans presque tous les cas. D'ailleurs les résultats principaux que nous en déduirons dans la suite reposent sur l'application au cas de la sphère, qui ne présente aucune difficulté.

d09. La formule de Green sur une surface. — On peut établir sur une surface des formules analogues à celles relatives à l'espace, et ne faisant intervenir que les valeurs d'une fonctionnelle sur la surface.

Considérons d'abord une surface fermée. S, de la première catégorie. La comparaison des formules (5) et (8) montre que, sur cette surface, A^U est presque partout nul. Ce résultat s'étend, par un raisonnement analogue à celui du numéro précédent, aux surfaces de la deuxième catégorie et d'ordres finis, que Ton peut considérer comme lieux de variétés de la première catégorie sur chacune desquelles A^U est presque partout nul, puis à celles d'ordre infini.

On peut alors indifléremment écrire