DV

(^^slj) =^0, 01is<AsU) = o.

La première formule n'est qu'une forme différente de celle de Groen; la deuxième apparaît comme une généralisation de la formule

d'il ,

relative au cas de l'espace à deux dimensions, ou plus généralement à une ligne fermée dans un espace quelconque.

Si l'on considère une portion de surface ouverte, il j a deux cas à distinguer, suivant que le voisinage du contour G de cette surface constitue ou non presque toute la portion considérée. Ainsi, divisons une surface fermée S', par un contour G, en deux portions de surface Si et S2. En général elles seront d'un ordre de grandeur différent; pour la plus petite, le voisinage du contour G constitue presque toute la surface, tandis que pour l'autre il n'en constitue qu'une fraction négligeable. Gela revient à peu près au même d'écrire la formule de Green pour cette dernière portion de surface, ou pour toute la surface fermée. Nous nous contenterons alors de considérer une portion de surface S, située presque tout entière dans le voisinage de son contour G. La formule qui généralise la formule (8) s'écrit alors

h 0]Ls(As U) = ORc (^) . h = DRc (~

-j- indiquant une dérivation relative à la direction du plan tangenl à S

normale à G, et K^ la courbure géodésique moyenne de G. On écrit de même la formule qui généralise la formule (7 )•

Si la surface S est minima, on peut la considérer comme constituant presque tout un volume, limité par une surface S contenant G et normale à S, et la formule (9) n'est pas autre chose que la formule (8) appliquée à ce volume.

Dans le cas général, on établit la formule (9) en raisonnant sur la surface comme nous l'avons fait dans l'espace pour établir la lormule (8). On considère d'abord le cas d'un contour G de la première

catégorie, et l'on démontre que A^L, -^ et Ko- sont presque partout

liés par la idation

qui donne la formule (9) puisque chacune des quantités considérés a presque partout la même valeur. On passe de là aux contours de la deuxième catégorie, d'ordre fini, puis infini.

110. Dans l'espace E„, il existe une relation simple entre les formules de Green dans l'espace et sur une surface; l'une peut se déduire de l'autre.

Considérons par exemple un volume \'^ limité par deux surfaces parallèles Sq et S, et une surface latérale S, lieu des normales à S le long du contour C qui limite cette surface. La formule de Green, dans le cas où ç =1^ s'écrit

n / àud-Ç= / -j-dS— -j-^^o^ / -j-^^- Écrivons qu'elle reste vérifiée quand S varie, Sq restant fixe. Il vient

-T-7 désignant une dérivée suivant la direction du plan tangent à S normale à G. Or

n\u — -—■ =z{n— \)^tu,

Stu désignant l'expression de A^a pour le plan tangent, et

K r- du

As ?fc = A/ ^* 4- K ^— La formule précédente s'écrit donc

'""-'Uu

C'est la formule de Green sur une surface.

D'une manière générale, la formule de Green, pour une surface, indique que celle relative à l'espace reste vraie, quand une portion S

de la surface à laquelle on l'applique se déforme, et en particulier est remplacée par une surface parallèle.

On peut étendre ce raisonnement à l'espace fonctionnel, et cela donne une nouvelle démonstration de la formule (g). Il suffit encore d'appliquer la formule (7) au volume V compris entre deux surfaces parallèles et une surface latérale S, et de faire varier celle des deux surfaces qui est de l'ordre de grandeur le plus élevé.

Ce procédé de démonstration suggère en même temps une remarque nouvelle. Si l'on applique la formule de Green à une surface S', et que l'on déforme une portion S de cette surface d'un ordre de grandeur inférieur à celui de S', la modification considérée n'est pas susceptible d'agir sur les valeurs moyennes de AU et -r-? et par suite de

modifier la formule de Green; le raisonnement qui précède nous montre que cette formule, écrite sous la forme (7), et où les termes principaux sont de l'ordre de grandeur de l'aire 8' de S', apparaît comme si exacte que les termes d'un ordre de grandeur inférieur varient de quantités égales.

Une aire peut de bien des manières se décomposer en tranches dont les rayons de sphère équivalente p varient de zéro à R, et d'épaisseur y (p)6Zp. L'ordre de grandeur de cette aire apparaît alors comme défini par la valeur, pour n très grand, de

(10). ^ f f(p)pn-ldp.

Jusqu'ici, nous avons assimilé cette quantité à sa valeur principale/(R) — ; c'est-à-dire que nous n'avons tenu compte que du contour dont le voisinage constitue une tranche qui l'emporte sur les autres. Mais la remarque qui précède nous suggère qu'il peut y avoir lieu de tenir compte des différents termes de l'expression (10). Les procédés employés jusqu'ici sont trop grossiers; il faut trouver un moyen de grossir les tranches trop petites de manière à leur permettre de figurer dans une moyenne au même titre que les autres. C'est ce qui va se produire dans l'application de la formule de Green au potentiel, application qui va nous conduire à des résultats tout différents de ceux qui précèdent.

HL La formule de Green et le potentiel. — On sait le rôle que

joue, dans l'espace E/^, rapplication de la formule de Green au cas

où l'une des fonctions qui y figurent est -:—;i '' désignant la distance

à un point fixe A. A la limite, pour Ji infini, —j^., devient nul ou infini,

et ne conduit pas à une fonctionnelle déterminée, que l'on puisse faire figurer dans la formule (7). Cela n'empêche pas que la formule de Green, écrite dans les conditions indiquées, conduit à la limite à une formule bien déterminée, mais qui ne sera pas une application de la formule (7 ).

Plaçons-nous dans le cas d'un point A du volume \ ,1 limité par la surface S^. Désignons par a-,^ la surface de la sphère de rajon i dans l'espace E,^, et désignons toujours par Aw non la somme, mais la

Ô' Il

moyenne des dérivées secondes — ^; comptons la dérivée normale à S positivement vers l'intérieur.

La formule de Green prend la forme connue

/ N I r~'U d I I du\,^

(II) Us^= , ^ / \U—, 7, 7 -7— «S

rn-2 d^

On remarque aisément que cette formule présente l'aspect que nous attendions; les portions de volume voisines de A sont très petites, si 71 est grand, mais la multiplication des éléments correspondants par le facteur —^^ qui est très grand, conduit à un produit qui reste

fini quand n augmente, et l'on est conduit à ce résultat que, dans l'espace fonctionnel, les valeurs de A« dans les différentes couches concentriques entourant le point A auront une influence sur la valeur de M^.

Pour faciliter le passage à la limite, transformons l'expression (11) qui comprend trois termes : un potentiel de double couche, un potentiel de simple couche, et un potentiel de volume.

1° Potentiel de double couche. — Remarquons que ~l-l-\dS ={n — i)^^d$, = {n — 2)do,

d,\rn-i) ^ '',.«-1 ^ ^ ''

0 désignant Fangle de la normale en un point M de l'élément <i.S avec

Sgo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

la droite MA, et d'^ l'angle solide sous lequel on voit cet élément du point A. Le terme considéré s'écrit donc

C'est la moyenne de la fonction u sur la surface S, en accordant à chaque élément de surface un poids égal à l'angle solide sous lequel on le voit du point A. En d'autres termes, c'est la moyenne sur une sphère de centre A sur laquelle on effectuerait la perspective de la surface S. Nous l'appellerons « moyenne de z^ sur la surface S, vue du point A », et la désignerons par 51^A(t<).

Gomme Gâteaux l'a remarqué, certe interprétation rend très facile le passage du fini à l'infini. Pour éviter toute difficulté dans ce qui suit, nous considérerons une surface convexe de l'espace fonctionnel; nous reviendrons plus loin sur le cas des surfaces non convexes. Par définition même de la moyenne dans l'espace fonctionnel, la valeur de ^I^a(U), ou moyenne d'une fonctionnelle U sur une surface S, vue de A, est la limite de l'expression analogue dans l'espace E,i, en prenant pour E^ la /i'^'"^ section de l'espace fonctionnel, pour S/, la /i'*"™" section de S, et pour u les valeurs de U sur S,/.

2^ Potentiel de simple couche. ■ — On peut, comme pour le potentiel de- double couche, mettre en évidence l'élément dz>. Ge terme s'écrit alors

n — '1 \cosO «V /

La fonction dont on prend la moyenne restant finie, ce terme tend vers zéro à la limite. Le potentiel de simple couche disparaît, tandis que le potentiel de double couche a une limite finie.

3"* Potentiel de volume. — Réunissons tous les éléments de volume intérieurs à un cône de sommet A et d'ouverture très petite dz); désignons par p la distance au point où l'axe de ce cône perce la surface. L'élément de volume s'écrit r"~' drdo^ et par suite le terme considéré s'écrit

/• ^u di

CIIAl». V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. Ss)!

S (iésigRant une sphère de centre A et de rajon i, et ^Itja moyenne' .'5ur cette sphère.

Eftectuons le passage du fini à l'infini; 'Aî^ tend vers AU. et cela uniformément, moyennant des conditions très peu restrictives imposées à la fonctionnelle U. Pour le montrer, prenons pour /z'^'"* section celle relative au point de vue du Chapitre III, les axes étant définis par la suite des fonctions trigonométriques rangées dans l'ordre habituel. Supposons par exemple que U ait sa variation seconde normale; il résulte aisément du n" 41 que la convergence de \u vers AL est uniforme pourvu que

dt dtx

soient inférieurs en module à un nombre déterminé lorsque t varie dans l'intervalle (o, i) et que le point représentatif de x^i) décrit le volume V. De même, si la variation S-U n'est pas normale, il suffit de conditions très peu restrictives pour assurer la convergence uniforme de Aw vers AU. Le potentiel de volume s'écrit donc à la limite

' /-AU dr

OIl^ et G ayant la même signification que dans l'espace E„.

J^a formule (ii) donne donc à la limite la formule fondamentale

Ua = Oli a( u ) — Oit, ( r ' /AU dr\

et, dans le cas des fonctionnelles harmoniques, on a

(i4) UA=ortA(U).

11^. On remarque que, contrairement à ce qui s'est produit pour la formule (7'), la méthode du passage du fini à l'infini suffit comme démonstration de la formule (i3). Il n'est d'ailleurs pas difficile de la vérifier directement.

D'après les propriétés connues de la moyenne sur une sphère, p est dans presque toutes les directions égal à sa moyenne R, et l'on ne risque pas de rien changer à la formule (i3) en remplaçant S par

une sphère de centre A et de rayon R. 11 suffit donc de démontrer la formule dans le cas d'une telle sphère.

Soit AM un rayon de la sphère. Tenant compte de la formule (5), et A^U étant, en chaque point du volume considéré, relatif à la sphère de centre A qui passe en ce point, on a

Ua=Um— r ^dr = VM-h f r^sVdr—f r\V

dr.

Prenons la moyenne de cette expression lorsque M décrit la sphère. On a d'ailleurs, par une interversion de Tordre des intégrations (*),

011 (^ f rAsUrfrj = f ;0)l,(AsU j ^r = o,

yîLr désignant une moyenne sur la sphère de rayon 7^; en effet, nous savons que la moyenne de A>^U est nulle pour toute surface fermée. 11 vient alors

Ua=01L(U)-D1l( / /-AU.//),

formule identique à la formule (i3), puisque S est une sphère d(i rayon R.

1J3. En prenant pour S une sphère de centre A, luuis voyons que la valeur d^ une fonctionnelle harmonique au centre d^ une sphère est la moyenne des valeurs qu^ elle prend sur la sphère.

Nous connaissions déjà ce théorème pour les sphères infiniment petites.

Réciproquement, toute fonctionnelle jouissant de la propriété indiquée est harmonique; il suffit en effet, d'après le Chapitre 11, que cette propriété soit vraie pour les sphères infiniment petites (en d'autres termes qu'elle soit vraie pour o-U, considéré comme fonctionnelle de S^), pour que U soit harmonique.

114-. Revenons au cas d'une surface convexe quelconque. Le problème de Dirichlet consiste, comme dans l'espace E„, à déter-

(^) Celle opération se légilime par un raisonnement tout à fail analogue à celui du n" 116. II suffit que As U soit uniformément continu.

cil A p. V. — FONCTIOxXNELLES HARMONIQUES. 89 3

miner une solution dé l'équation AU z= F | [jp] | connaissant sa valeur sur S.

Si ce problème admet une solution, la formule (i3) nous montre qu'elle est unique, et nous donne le moyen de la former.

Dans l'espace E^, on sait qu'on ne peut obtenir ce résultat que par l'introduction de la fonction de Green. Dans l'espace fonctionnel, la disparition du potentiel de simple couclie, c'est-à-dire du terme de la formule (i i) qui contient la dérivée normale, entraîne cette conséquence que la solution s'obtient d'une manière beaucoup plus élémentaire que dans l'espace 1L„.

Il reste à montrer l'existence de la solution. Il suffit à cet eifet de vérifier que la formule (i3) donne bien la solution du problème. iSous devons dans ce but étudier successivement les deux termes de la formule (i3), le potentiel de double couche et le potentiel de vohime, et montrer qu'ils vérifient bien les propriétés voulues, tant au point de vue de leurs valeurs sur la surface S que des valeurs de AU. L'étude du potentiel de double couche nous permettra d'abord de conclure dans le cas des fonctionnelles harmoniques. jNous étudierons ensuite le potentiel de simple couche, puis le potentiel de volume. L'étude des potentiels de surface, dans le cas de la sphère, a déjà été faite par Gâteaux [Bulletin de la Société mathématique^ ig2o).

1 15. Le potentiel de double couche. — Nous savons que la moyenne d'une fonctionnelle sur une sphère est égale à sa moyenne sur une section de la sphère par un plan contenant le centre. Si A tend vers un point P de la surface, on peut prendre ce plan parallèle au plan tangent en P. La surface étant toujours supposée convexe, sa section par ce plan est tout entière voisine de P, et, si la fonctionnelle U donnée sur la surface est uniformément continue, ses valeurs âur cette section tendent vers Up. Ces valeurs étant les seules à considérer pour le calcul de la moyenne Dl'l^(U), cette moyenne tend vers U|,.

D'autre part, la définition du potentiel s'étend sans peine au cas d'un point extérieur. L'intégrale (12) conserve en effet un sens bien défini. Par un point extérieur A on peut, la surface S étant convexe, faire passer un plan qui n'ait pas de point commun avec elle; le voisinage de l'intersection de ce plan avec une sphère de centre A consti-

tuant, pour ji assez grand, presque toute cette sphère, l'angle solide sous lequel on voit la surface S du point A ne constitue qu'une fraction de (jfi qui tend vers zéro. L'intégrale (12) tend donc vers zéro. Quand on traverse la surface, de l'extérieur à l'intérieur, le potentiel de double couciie augmente brusquement d'une quantité égale à la densité. D'ailleurs, au point P de la surface, la perspective de la surface comprend une demi-sphère, concentrée pour ji très grand à son intersection avec le plan tangent en A; il en résulte que la valeur

du potentiel de double couche en ce point est - Up, moyenne arithmétique des valeurs prises de part et d'autre de la surface dans le voisinage de ce point.

116. Il reste à montrer que 01^^(11) est une fonctionnelle harmonique du point A. Gela est évident à l'extérieur, où ce potentiel est nul. Pour le vérifier à l'intérieur, il suffît de montrer que sa valeur en un point intérieur A est égale à la moyenne des valeurs qu'il prend sur une sphère 2, de centre A, et de rayon inférieur à la distance de ce point à la surface.

Nous allons utiliser la méthode du passage du fini à l'infini. Désignons par S„ et S^^ les ;z'*^'"'** sections de S et S, et, en chaque point M du plan E,^ de la /i'""" section, par/,^ (M) et /(M) les valeurs de 01Lm(U) calculées respectivement dans E,^ et dans l'espace fonctionnel. Le théorème à démontrer est vrai dans l'espace E/^, c'est-à-dire que/„(A). est la moyenne des valeurs de /„(M) sur la sphère S,;. Il s'agit de montrer que/(A), limite dey,i(A), est la moyenne de /(M) sur ï^ ( 'est-à-dire la limite de la moyenne dey*(M) sur ^,1. 11 suffit alors de montrer que /«(M) tend uniformément vers /(M) sur la sphèie S.

Soit Q un point de la sphère 2' de centre M et de rayon i , intersection avec cette sphère de la demi-droite MP, P étant sur S.

Posons

U,.= cp(M, Q).

La fonction/(M) est alors la moyenne de cp(M, Q) quand Q décrit la sphère ^\

Etant données les hypothèses faites (surface S convexe; point M intérieur et à une distance de S limitée inférieurement), on peut limiter inférieurement le rapport de l'élément d'arc décrit par Q sur une sphère 2' à l'élément correspondant décrit par P sur S. Par suite,

CIIAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. Sg )

si U est une fonctionnelle uniformément continue sur S, les fonctionnelles Ci (M, Q), considérées comme fonctionnelles de Q dont la forme dépend de M, sont également et uniformément continues.

Le raisonnement précédent s'applique bien entendu en prenant la définition de la continuité d'une fonctionnelle liée à la définition habituelle de la distance. Supposons que le résultat soit valable avec d'autres définitions de la continuité, en particulier avec celle qui j)ermettra de démontrer les propositions admises au n'^ 19. D'après la deuxième de ces propositions, f,i(M) tend bien uniformément vers y (M), et le résultat annoncé est bien obtenu.

Nous reviendrons au n° 14o sur le point qui reste à préciser, dans le raisonnement précédent.

117. Une autre méthode, pour démontrer que /(A) est la moyenne de y(M) sur la sphère S, et que par suite le potentiel de double couche est harmonique, consiste à le démontrer d'abord dans le cas où S et S sont deux sphères concentriques. La généralisation esl immédiate par le raisonnement suivant :

La surface S étant une surface convexe quelconque, M étant fixe, la distance MP, considérée comme fonction du point Q où MP coupe la sphère S', a la même valeur cd(M) sur presque toute cette spiière. Au point de vue du calcul de la moyenne /(M), la surface S peut donc être remplacée par une sphère de centre C ou de rayon C3(M), ou encore par n'importe quelle autre sphère la coupant suivant un grand cercle, par exemple la sphère de centre A et de rayon \/p^-]- o-, p désignant la distance MA. D'ailleurs, les valeurs données sur S importent seules, et, s'il est commode de supposer cette fonctionnelle définie en dehors de S, nous pouvons la définir arbitrairement, la continuité étant seulement respectée dans le voisinage de S.

Le point M décrivant la sphère S, de centre A et de rayon p, o(M) a presque partout une même valeur a, et l'on ne change rien, au point de vue du calcul de la moyenne de /(M) sur cette sphère, en remplaçant C3(M) par sa valeur constante a, c'est-à-dire en remplaçant /(M) par la moyenne, vue de M, des valeurs données sur la sphère iixe S' de centre A et de rayon \/p--\-a-. La moyenne de/(M) est alors égale, le théorème à démontrer étant supposé vrai pour la sphère S', à la moyenne de U sur cette sphère. Gomme, par la manière même dont elle est formée, elle ne dépend que des valeurs

de U sur S, c'est que presque toute la sphère S' est concentrée dans son intersection avec S; cela revient alors au même de prendre la moyenne de C, vue du point A, sur S ou S'. Cette dernière étant égale à la moyenne de /(M) sur S', il en est de même de la première.

118. Pour compléter ce raisonnement, il faut en justifier le point de départ, c'est-à-dire vérifier notre théorème de la moyenne dans le cas où S et i] sont deux sphères concentriques. Dans ce cas, J^(M) étant la moyenne de U sur le cercle G, la moyenne de /(M) sur S dépend linéairement des valeurs de U sur S. « Par raison de symétrie, les valeurs de U sur deux éléments d'aires égaux ont des coefficients égaux. » Il en résulte que cette moyenne est égale, à un facteur constant près, à la moyenne de TJ sur la sphère S; ce facteur est d'ailleurs égal à l'unité, comme on le voit en faisant U = i . Nous arrivons ainsi au résultat par un raisonnement intuitif. Mais, pour le rendre rigoureux, il faudrait revenir sur la partie de ce raisonnement écrite entre « ... », et chercher à la justifier par le passage du fini à l'infini. On n'échapperait pas, ainsi, à la nécessité de s'appuyer sur les propositions admises n** 19.

On ne peut y échapper qu'en assujettissant les valeurs données de U sur la sphère S, non à vérifier certaines conditions de continuité, mais à être représentable par une série uniformément convergente du type étudié n"" 18, chaque terme étant une somme d'inté- ^ales définies. La démonstration consiste alors en un calcul élémentaire, qui n'est autre que celui par lequel on vérifie que la composition de deux lois de probabilité de la forme de Gauss conduit à une loi de la même forme.

Supposons par exemple que

U = / ^[^{t), t] dt.

Si \{^t) et V](^) sont deux fonctions de module fonctionnel égal à l'unité, les fonctions p?(^) et p5(/^) -|-aT, (^) sont représentées par les points M et Q du raisonnement précédent. La fonction y( M) est alors la moyenne de

lJ|[pÇ(0-f-«r,(0]l=y cp[pi(0-i-«T,(^), t

dt

à r Intérieur de la sphère D'après le n'' 18, elle a la valeur

= / dt j r^\^\(t)-^-ari, t]e -^ dt^.

La moyenne de /(M), lorsque M décrit la sphère S, est alors ~- j dt j i (p(ûÇ — rtr^.Oe ■' d\dr,

= — = / rf^ / o(^/p2 Ha2^ t)e '- dl,

c'est-à-dire la moyenne de U sur la sphère S. La vérification est tout à fait analoofue dans le cas des autres inté^rrales considérées n^ 18 (î;o//' Gâteaux, Bull. Soc. math.^ M)^9)-

119. Remarques sur la solution du problème de Dirichlet et les propriétés des surfaces minima. — Les propriétés du potentiel de double couche nous permettent, du moins dans le cas des volumes limités par des surfaces convexes, envisagés jusqu'ici, de conclure à l'existence et à l'unicité de la solution du problème de Dirichlet pour l'équation de Laplace, comme dans le cas de l'analyse ordinaire. Nous allons voir, en examinant la nature de cette solution, qu'elle jouit de propriétés tout à fait différentes de celle qu'on rencontre dans l'analyse ordinaire.

Nous savons qu'une fonctionnelle harmonique U (nous désignerons maintenant par cette notation la fonctionnelle harmonique obtenue, aussi bien à l'intérieur que sur la surface) est caractérisée par le fait que les surfaces U = const. sont minima. Une surface S, d'équation U = Uo peut donc, comme nous l'avons déjà remarqué au n** lOo, être définie comme surface minima, limitée au contour G défini sur la surface S par la même condition U = Uo- Le problème de déterminer une surface minima par la connaissance d'un tel contour est, dans l'analyse ordinaire, différent du problème de Dirichlet relatif à l'équation de Laplace. En analyse fonctionnelle, ces deux problèmes

sont équivalents, la détermination des différentes surfaces S équivalant évidemment à celle L'.

Si Ton remplace les valeurs données de U sur la surface par des valeurs de la forme

ç(U)=U + X(U-Uo)S (X>o),

la même transformation sur U donne à l'intérieur la solution du nouveau problème posé. Sur la surface U = Uq, la valeur de la solution n'est pas modifiée. Il en résulte que, vue d'un point A de cette surface, la surface S paraît concentrée sur le contour C; si en effet il n'en était pas ainsi, la moyenne des valeurs de X(U — Uq)- sur la surface S, vue de A, serait positive, et la valeur de la solution en A, qui est augmentée de cette moyenne par le changement des données, serait modifiée.

Nous obtenons ainsi une propriété des surfaces minima qui généralise une propriété déjà connue du plan, Si une surface minima S, contenant un point A, coupe suivant un contour G une surface fermée S entourant ce point, le contour C, vu du point A, paraît constituer presque toute la surface. La valeur en A d'une fonctionnelle harmonique ayant des valeurs données sur S ne dépendant donc que des valeurs données sur G; on l'obtient toujours par le calcul de la moyenne M^(w), mais les valeurs de U sur G interviennent seules dans ce calcul.

Gonsidérons en particulier le cas où U est une fonctionnelle linéaire, nulle en A. Désignons par <!* le plan U = o. Les valeurs de L' sur S, ou sur G, vues du point A, sont presque partout nulles, puisque 011^(1]) = IJj^=:b, et que sur la sphère de centre A, sur laquelle on effectue la perspective de S, une fonctionnelle est presque partout égale à sa moyenne. En d'autres termes, le contour G, vu de A, paraît presque situé dans le plan ^X. Vue d'un de ses points, une surface minima paraît presque un plan, puisqu'il en est ainsi de tout contour G situé sur cette surface et entourant ce point. Nous généralisons ainsi une propriété des surfaces minima que nous avons déjà établie localement.

11 ne faut pas que les mots « presque un plan », que nous employons pour rendre plus intuitifs les résultats obtenus, en fassent oublier le sens et fassent croire que l'analogie avec un plan est plus complète qu'elle ne Test en réalité. Lorsque nous disons, dans ce qui précède,

que la surface ^, vue de A, est presque confondue avec le plan ^Jp, 9i* représente n'importe quel plan passant par A, et non comme on pourrait le croire le plan langent à la surface S. Pour bien voir le sens de cet énoncé, appliquons-le au cas où la surface S elle-même est un plan, soit ^' . L'intersection d'une sphère de centre A et des plans ^ et ^' constitue presque toute la sphère, et par suite presque toute l'intersection de ^' et de la sphère; en d'autres termes, vue de A, l'intersection de ^^ et ^-S' constitue presque tout l'espace, et par suite presque tout le plan ^'. On peut donc dire que le plan ^' est presque confondu avec ^J?, entendant par là que seuls les points de leur intersection comptent pour le calcul de la moyenne d'une fonctionnelle, vue de A, mais non qu'ils font un angle très petit. C'est dans le même sens que nous disons qu'une surface minima est presque un plan.

120. Les remarques qui précèdent permettent de présenter sous un aspect différent la solution du problème : Trouver une surface juinima ^ limitée à un contour C.

Soit Cft la /i'^'"*' section de C. Désignons par S^ la surface minima de l'espace E,^ limitée à C/^. On peut montrer que '^u tend vers il quand n augmente indéfiniment.

Soit d'autre part S^^ la surface lieu des points A d'où le contour C/, piiraît diviser l'espace en deux angles solides égaux; un tel point A étant pris comme point de vue, la perspective de G sur une sphère de centre A la divise en deux aires égales, et par suite, si n est assez grand, son voisinage constitue une fraction de plus en plus grande de la sphère; la moyenne d'une fonctionnelle définie sur la sphèr(; ne dépend à la limite que de ses valeurs sur la perspective de C, c'est-à-dire que le contour C, vu de A, constitue presque la surface S. C'est donc que A est sur S. La surface Yl^ tend vers ^.

Dans l'espace E,,, la détermination de S^ est un problème transcendant. Celle de ^\^ est au contraire un problème élémentaire, dont la résolution dépend du calcul d'une intégrale définie d'ordre n — \ ,

qui représente l'angle solide; en l'égalant à- (7„, on a l'équaticjn

de ^\i sous forme implicite. A la limite, les surfaces S^^ et ^„. tendent toutes les deux vers ^. Le problème transcendant se ramène au problème élémentaire.

4oo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

121. Les problèmes de Cauchy et de Dirichlet pour des variétés quelconques situées sur une surface fermée convexe. '— Plaçonsnous encore, pour commencer, dans le cas d'une surface S fermée et convexe. Nous avons vu que si l'on se donne les valeurs de la fonctionnelle harmonique IJ sur un contour G de cette surface, cela suffit, contrairement à ce qui a lieu dans l'analyse ordinaire, pour la déterminer sur la surface minima S limitée à G. Si l'on considère sur S deux contours G et G' sans points communs, les surfaces minima ^ et S' limitées à G et G' sont aussi sans points communs. On peut, en effet, se donner des valeurs de U sur la surface, qui

aient sur G une valeur constante u et sur G/ une valeur constante u' différenle de w; on a alors U = u sur S et L= u' sur S', ce qui prouve que ces surfaces sont sans points communs.

Supposons maintenant que U soit donné sur une surface ouverte S,, constituée par une des portions de S séparées par le contour G. On peut décrire cette surface par des contours G', partant du contour G et arrivant à se réduire à un point. Les surfaces minima S' limitées à ces contours décrivent alors tout le volume compris entre S et la surface S limitée à G. Dans ce volume, la fonctionnelle U est bien déterminée. Elle est, au contraire, indéterminée, aussi bien à* l'extérieur de S que dans le volume V, intérieur à S et situé de l'autre coté de iJ; pour la déterminer dans ce dernier volume, il faudi^ait se donner ses valeurs sur S de l'autre côté de G.

Nous voyons ainsi que le prolongement de la fonctionnelle U, définie dans Vi, est indéterminé au delà des surfaces S et i^; il en résulte que les surfaces minima définies dans ce volume ont un prolongement indéterminé à l'extérieur; on peut, en effet, choisir une fonctionnelle harmonique U, définie dans Vi et ayant sur la surface considérée la valeur constante Lq; il n'y a à l'extérieur de W ^ aucun point où l'on connaisse la valeur de U ; il n'y en a par suite aucun qui soit certainement situé aur la surface minima U=:Uo. Le prolongement de cette surface est indéterminé.

Dans le cas de la surface ouverte S,, la solution du problème de Dirichlet, comme dans le cas de la surface^ fermée S, est représentable par le potentiel d'une double couche de densité U étalée sur S,. Ge potentiel, qui représente dans Y ^ la solution cherchée, est nul en dehors de ce volume. Gela est bien évident, ce potentiel pouvant être considéré comme le potentiel d'une double couche étalée sur

CFIAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4oi

toute la surface S, mais dont la densité serait nulle au delà de C; il représente alors une fonctionnelle harmonique ayant les valeurs voulues sur Si et par suite dans V^, et évidemment nulle aussi bien en dehors de S que dans le volume intérieur à S situé de l'autre côté de ^.

On remarque la discontinuité de ce potentiel. 11 est discontinu, non seulement à la traversée de S, comme cela a lieu dans l'analyse ordinaire, mais à la traversée de la surface S, qui ne porte aucune masse attirante. Gela tient à la discontinuité de l'angle solide sous lequel on voit S' quand on traverse S. Nous avons déjà remarqué que la portion du volume Vi voisine de S peut être décrite par une surface minima ^i, qui se déforme en partant de S sans que deux de ses positions aient de point commun; on peut de même définir de l'autre côté de S des surfaces analogues S". L'intersection avec S de chacune des surfaces S, S' ou 2", vue d'un point de la surface consi-

dérée, paraît constituer presque tout l'espace. S'il s'agit d'une surface S', cette intersection appartient à S(, et par suite, vue d'un point de S', c'est-à-dire d'un point quelconque de V<, la surface Si paraît constituer presque tout l'espace. Vu d'un point de S, c'est son contour G qui paraît constituer presque tout l'espace. Si l'on se place de l'autre côté de S, la surface 2", qui paraît constituer presque tout l'espace, ne coupe pas Si, et par suite, l'angle solide sous lequel est vue cette surface ne représente plus qu'une fraction négligeable de l'angle solide total.

Le potentiel de double couche est donc discontinu^ d'' une part à la traversée de la surface attirante^ d^ autre part à la traversée des surfaces minima limitées^ soit aux contours qui limitent la surface attirante^ soit (ce qui revient au même) aux contours sur lesquels la densité est discontinue.

122. Gonsidérons le cas où la portion de surface Si est très petite. T.a solution du problème de Diriehlet est alors seulement définie dans un très petit volume V| voisin de S,. Ge problème apparaît alors comme identique au problème de Gauchy.

Nous avons déjà remarqué que, d'après la formule (5), sur une

surface non minima S. la dérivée normale première -7- intervenant,

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mais lion la dérivée seconde -j-^ > le problème de Cauchv se présenle comme pour les équations du premier ordre de Fanaljse ordinaire. D'autre part, nous venons de voir que le problème de Diricldet s'étend au cas de surfaces ouvertes. Toute différence entre les deux problèmes a disparu.

Ce problème unique est, par la manière dont il se pose, analogue au problème de Gauchj relatif aux équations aux dérivées partielles du premier ordre. Mais la solution est entièrement différente, surtout par la région où elle est définie. Dans le cas d'une surface fermée S, elle est définie à l'intérieur et indéterminée à l'extérieur; dans le problème considéré de l'analyse ordinaire, elle est définie des deux côtés de la surface, mais n'est en général pas prolongeable, en restant uniforme, dans toute la région intérieure. Dans le cas d'une surface ouverte Si, la différence est encore plus nette; nous venons de voir que la région où U est définie est limitée par S, et une surface minima S; or il n'y a aucune analogie entre ces surfaces et les caractéristiques des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

La différence entre les deux problèmes apparaît d'ailleurs dans le calcul des dérivées normales successives. INous avons remarqué, en effet, à propos de la formule (5), que la valeur de -7- déduite de cette formule était relative au côté de la concavité moyenne, et que, de l'autre côté, la dérivée normale pouvait avoir une valeur différente.

123. La surface S étant toujours supposée convexe, considérons sur cette surface une variété "Ç définie par un nombre fini de conditions d'égalité ou d'inégalité. Les conditions d'inégalité expriment qu'un point quelconque de \'> est situé sur une région S,, limitée par un contour C, simple ou multiple; les conditions d'égalité expriment qu'il est sur l'intersection d'un certain nombre de contours C|, Co, . . . , C^. Il est facile de définir la région dans laquelle une fonctionnelle harmonique est déterminée si l'on se donne sa valeur en tous les points de la variété "C^. C'est la région Si commune au volume V , et aux surfaces Si, S2, ..., S^,, en désignant par 2, S), ..., S^ les surfaces minima limitées respectivement aux contours C,G|, ...,C^, et par \^ le volume compris entre S^ et S.

En effet, la variété •<> où la fonctionncdle U est donnée apparte-

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nant à S|, celte fonctionnelle ne peut être déterminée que pour des points du volume V, où elle serait déterminée si ses valeurs étaient données dans toute l'aire S,. On voit de même qu'elle ne peut être déterminée que pour des points appartenant aussi à chacune des surfaces S, , ^2 5 • • ••) ^p^ et par suite à la région Si.

Soit inversement A un point de cette région. La fonctionnelle U j a la valeur OI'Lj^(lJ), moyenne de U sur la surface S, vue de A. Le point A étant dans Vi, les valeurs de U pour les points de S non situés sur S< sont sans influence sur le calcul de la moyenne; A étant sur S,, il en est de même des points n'appartenant pas à C, ; il en est de même aussi de ceux n'appartenant pas à Co, •.., ou Gp. Les valeurs de U, données pour les points de la variété X\ suffisent donc à déterminer U^^= DXLj^CU).

Gela revient à dire que, vu de A, le voisinage de la variété \'^ paraît constituer presque toute la surface S, ou que la perspective V' de \'^ sur une sphère de centre A constitue presque toute cette sphère. Cela revient alors au même de prendre la moyenne sur 'C)' ou sur cette sphère. Par analogie avec le théorème du n'^ 57, ramenant la moyenne dans un volume à une moyenne sur la surface qui le limite, on peut en eff'et montrer que la moyenne sur la sphère se ramène à «ne moyenne dans \'>', calculée en donnant à des éléments de mesures égales des poids proportionnels à des nombres finis, mais non nécessairement égaux. Gomme la fonctionnelle considérée a la même valeur sur presque toute la sphère, et par suite sur presque toute la variété '<>'. le fait que ces poids ne soient pas égaux est sans influence sur la moyenne; il faudrait que leurs rapports soient de la forme a^ (ou a^~P-^ ^ a y^ \) pour que cela modifie la moyenne. On peut donc dire que U^, pour un point A de la région .R, est la moyenne des valeurs données sur la variété "C^, vue de A. Gette moyenne est un potentiel de double couche généralisé.

11 est d'ailleurs peut-être préférable de considérer la double couche comme étalée sur S, mais de densité nulle en deliors de <?. Le potentiel de double couche qui en résulte a alors les valeurs voulues dans c'R, et est nul en dehors de cette région. Gette circonstance généralise mieux ce qui se produit si V est une portion S, de la surface S, ^ étant alors le volume V,.

Dans le cas général, on peut définir la région A de la manière suivante : la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point A

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soit extérieur à 31 est qu'on puisse trouver une surface niinima contenant ce point et sans point commun avec \'>.

Si en efl'et un point A est dans la région ,R, n'importe quelle surface minima contenant ce point coupe S suivant un contour F qui, vu de A, constitue presque toute cette surface. Comme la variété ^'^^ vue de A, constitue aussi presque toute cette surface, non seulement le contour Y et la variété "Ç ont des points communs, mais ces points, vus de A, constituent presque toute la surface S. On ne peut donc pas faire passer par A une surface minima sans point commun avec x?.

Supposons au contraire le point A non situé dans la région Si. Si, par exemple, il est situé en dehors de V|, on peut faire passer par ce point une surface minima tout entière du même côté de S, et par suite sans point commun avec V- H suffit, par exemple, de définir à l'intérieur de S une fonctionnelle harmonique U par la condition de prendre sur S des valeurs, constantes sur l'aire S< et sur son contour C, et croissant quand on s'éloigne de S| ; la surface U = const., qui passe par le point A, est alors une surface minima sans point commun avec S. Dans tous les autres cas où A n'est pas dans la région A, on voit de même qu'on peut faire passer par ce point une surface minima sans point commun avec l'une des surfaces S,, So, ..., Sy,, et par suite avec t?. Le résultat énoncé est donc bien établi.

Dans ce qui précède, nous avons supposé p fini. L'extension de ces résultats est possible dans certains cas où p devient infini; nous reviendrons sur cette question au n° 127.

124. Cas de surfaces non convexes. — Soit un point M d'une surface S, où la courbure moyenne ait une valeur non nulle K; supposons l'équation de cette surface de la forme <I> = o, <[î étant une fonctionnelle admettant en M des variations première et seconde au sens deM. Fréchet (avec notre définition habituelle de la distance /).

Dans le voisinage du point M, on peut définir une surface minima Sq par la condition que la courbure de sa section normale tangente à n'importe quelle direction du plan tangent soit égale à la courbure de la section correspondante de la surface S, diminuée de K. Cette surface est située tout entière du même côté de S.

Soit S une surface minima très voisine de S,, et située tout entière

par rapport à elle du côté de la concavité moyenne (elle pourra, par exemple, être déduite de Sq par une translation parallèle à la normale en M). Elle coupe S suivant un contour fermé C, qui entoure complètement le point A où elle coupe la normale en M (dans l'exemple indiqué, G différera très peu de l'intersection de S avec une sphère de centre A). La donnée d'une fonctionnelle harmonique, sur S et dans le voisinage de M, suffit donc pour la déterminer en A et sur toute la portion de S limitée à G, et par suite en n'importe quel point, voisin de M, situé du côté de la concavité moyenne.

Au contraire, par un point situé du côté opposé, on peut faire passer une surface minima ne coupant pas S, du moins dans le voisinage de M, et la fonctionnelle est indéterminée en ce point.

Ges remarques vont nous permettre de généraliser les résultats précédents aux cas de surfaces non convexes.

125. Soit d'abord une surface fermée S sur laquelle K conserve un signe constant (nécessairement positif si la normale est comptée positivement vers l'intérieur). On peut dire qu'elle est co/içexe en moyenne^ ou qu'en chaque point il existe une surface minima tangente qui la laisse tout entière du même côté.

Il n'y a dans ce cas rien à changer aux résultats développés dans le cas des surfaces fermées convexes. Les surfaces minima limitées aux contours \} = const. sont deux à deux sans point commun, et la fonctionnelle U est bien définie sur chacune d'elles. Le potentiel de double couche, qui représente la solution à Fintérieur, est nul à l'extérieur.

126. Soit maintenant une surface fermée S sur laquelle K n'ait pas un signe constant. En un point M, où K est négatif, on peut définir une surface minima S, tangente à S en ce point et intérieure à S dans le voisinage de ce point. Elle recoupe évidemment S suivant un contour G, entourant com'plètement M. T^a valeur de la fonctionnelle harmonique U en M est déterminée par ses valeurs sur G, et la donnée de U en M est surabondante. Les points de S où il est inutile de se donner U comprennent alors tous les points où K est négatif, mais peuvent comprendre certains points où K est positif [par exemple, dans le cas d'une surface de révolution ayant l'axe et la nu'îridienne figurés ci-après {fig' 4)]-

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