TROISIEME PARTIE

Désignons par S, la portion de S où il est nécessaire de se donner U, et par S2 le reste de la surface. Ces deux régions sont séparées par un contour G sur lequel K=: o (ou plusieurs contours analogues). Soit I la surface minima limitée à G (un plan, dans le

Fig. 4.

cas de la figure). Elle touche S suivant le contour G; en eilet, ce contour, étant situé sur une surface minima, et étant fermé, ne peut avoir qu'exceptionnellement sa courbure moyenne nulle; les deux surfaces S et S, qui contiennent ce contour et ont leur courbure moyenne nulle, ont alors pour plan tangent le plan osculaleiir moyen de ce contour (d'après le théorème de Meusnier).

Si la fonctionnelle harmonique U est donnée sur la surface ou verte S,, elle est évidemment bien déterminée dans tout le volume compris entre S, et S. Le potentiel de double couche, qui définit la solution dans ce volume, est nul dehors, et par suite discontinu à la traversée de Si et 2.

Supposons maintenant U donné sur toute la surface S^, ses valeurs étant compatibles, c'est-à-dire que les valeurs données sur S2 sont déterminées par les autres comme il vient d'être dit, et cherchons ce que représente le potentiel de double couche de densité U sur toute la surface S. Pour simplifier, supposons K négatif sur toute la région S2 {fig- «^)- Ee volume V, compris entre S| et S et le volume Vo compris entre S2 et S sont tous les deux convexes en moyenne, et, de même qu'à l'intérieur du premier la solution est représentée par L^, potentiel de double couche étalé sur S, à l'intérieur du second elle est représentée par LU potentiel de double couche étalée sur S2. Le signe du potentiel de double couche dépendant du sens positif de la normale, ce dernier terme change de signe si, au lieu de considérer la surface S2 comme limitant Vo, on la considère comme limitant le volume V intérieur à S. Le potentiel de

CHAP. V. — FONCTIONNELLKS HARMONIQUES. 4^7

double couche de deusité U sur toute la surface S a donc la valeur U< — U2. Gomme dans le cas d'une surface convexe, il représente l à Fintérieur et zéro à l'extérieur (aussi bien dans Yj qu'en dehors de ce volume).

Fi-. 5.

On remarque qu'il est continu à la traversée de ii. On aurait pu se demander si une surface telle que 3], « surface minima bouchant les trous d'une surface S », ne pourrait pas être une surface de discontinuité pour le potentiel de double couche. 11 n'en est rien, et Ton ne trouve comme surfaces de discontinuité que celles déjà signalées, c'est-à-dire les surfaces attirantes, et les surfaces minima limitées, soit aux contours de surfaces attirantes, soit aux contours sur lesquels la densité est discontinue.

127. La notion de variété minima; conclusion relative au problème de la détermination d'une fonctionnelle harmonique par ses valeurs sur une variété quelconque. — Les remarques du n*' 123 relatives aux variétés situées sur une surface convexe s'étendent aisément au cas de variétés qui ne sont situées sur aucune surface convexe. Elles s'étendent aussi aux cas de variétés définies par une infinité de conditions d^égalité ou d'inégalité. Pour pouvoir énoncer les conclusions sous une forme générale, nous allons introduire la notion de variété minima. Nous dirons qu'une vaiiété i est minima si toute surface la contenant a sa courbure moyenne nulle en chaque point de a-. Ainsi le contour, intersection de deux surfaces minima non tangentes, a sa courbure moyenne nulle, et est une variété minima. 11 en est de môme de l'intersection de p surfaces minima si, pour les points de cette intersection, sauf peut-être certains points particuliers, les plans tangents à ces p surfaces ont des équations indépendantes.

4o8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Pour qu'une variété a- soit minima, il est nécessaire et suffisant que :

1° Elle soit assez étendue;

2° Elle ait sa courbure moyenne partout nulle.

Précisons d'abord le sens de la première condition. En un point M de (7, choisissons un système complet d'axes orthogonaux qui soient tous tangents ou normaux à a-. 11 faut qu'ils soient presque tous tangents, au sens du Chapitre III, c'est-à-dire que, si on les range dans un ordre normal, la fréquence de ceux qui sont normaux à c tende vers zéro. Cette condition sera sûrement remplie si la variété i est définie par un nombre fini de conditions.

La moyenne d'une fonctionnelle du second degré, sur une sphère de centre M, est la moyenne des valeurs qu'elle prend aux extrémités des axes considérés. La condition précédente exprime donc qu'il suffit de considérer ceux tangents à S, et que par suite la moyenne dans la sphère considérée de l'espace fonctionnel est égale à sa moyenne dans sa section par le plan tangent à u. Cette section constitue presque toute la sphère. En particulier, la courbure moyenne d'une surface S contenant a- est la moyenne des courbures de ses sections normales tangentes à la variété i.

Supposons alors la courbure moyenne de o- nulle au point M. Pour presque toutes les directions tangentes à o-, on peut Iracer sur o- une ligne tangente à la direction considérée et dont la courbure soit nulle. D'après le théorème de Meusnier, la section normale de S tangente à cette direction a a fortiori sa courbure nulle, et par suite cette surface a sa courbure moyenne nulle.

Si d'ailleurs l'une des conditions précédentes n'était pas j-éalisée, on pourrait aisément définir une surface contenant a- et dont la courbure moyenne ne soit pas nulle. Ces deux condilions sont donc bien nécessaires et suffisantes pour que la variété a- soit minima.

La deuxième condition équivaut à dire que la variété a- peut être définie comme intersection de surfaces minima dont les plans tangents soient indépendants, c'est-à-dire qu'aucune de ces surfaces n'est tangente (sauf peut-être en des points j)articuliers) à l'intersection des autres.

Si l'on considère, sur une variété o-, une variété définie par une condition d'égalité, sa courbure moyenne est évidemment égale à sa

CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4o9

courbure géodésique moyenne. Si elle est nulle, c'est-à-dire si cette variété est une géodésique de t, c'est une variété minima à une dimension de moins que a-. Elle peut être définie comme intersection de (7 et d'une surface minima non tanoente à a-. Réciproquement, une telle intersection est une géodésique de o-.

On peut, au sujet de ces variétés, se proposer de déterminer une variété minima a- limitée à une variété non minima "v?. La solution est la suivante : o- est le lieu des points A tels que la perspective de V^ vue de A, sur une sphère de centre A (ou du moins le voisinage de cette perspective), constitue presque toute cette sphère.

Si la variété tp n'est pas assez étendue, la variété a- ne comprend aucun point.

On peut alors énoncer de la manière suivante les résultats relatifs au problème de la détermination d'une fonctionnelle harmonique U j)ar la donnée de ses valeurs sur une variété <? :

i" La région où U est déterminé est la variété minima n limitée

2^ Le contour de a- comprend des portions de "Ç] il peut comprendre en outre des géodésiques de a-, qui sont elles-mêmes des variétés minima sur le contour desquels on peut faire des remarques analogues.

Si t? comprend, soit des portions de telles géodésiques, soit des points n'appartenant pas au contour de a-, la donnée de L pour ces points est surabondante.

3° Soit \'>' une variété définie sur 'Ç par la condition U =-. u; la variété minima limitée à \v' constitue dans a- le lieu des points pour lesquels U = m.

On peut rendre ces résultats intuitifs en concevant qu'une variété minima puisse être matérialisée par une nappe d'un liquide visqueux, comuie une surface minima de l'espace ordinaire. La portion d'une telle variété que l'on doit concevoir comme pouvant être ainsi matérialisée doit être limitée par un contour convexe, c'est-à-dire qu'en aucun point sa courbure géodésique moyenne n'est dirigée vers l'extérieur. Concevons de plus qu'une telle nappe puisse exister si elle est maintenue sur les parties de son contour non constituées par des géodésiques. La région cr considérée ci-dessus est alors constituée parla nappe pouvant être maintenue parla variété tp.

Si \'^ est une surface, a- est une portion de volume. Si, pour faciliter

la représentation des nappes considérées, par analogie avec Fespace ordinaire, on admet qu'elles peuvent au plus constituer des surfaces, il faut alors concevoir le volume où U est défini comme limité par la surface P et par des nappes de licpiide visqueux bouchant les trous de celte surface.

128. Cas des variétés minima. — Les variétés minima jouent dans ce qui précède un rôle particulier. Une fonctionnelle harmonique est harmonique sur une telle variété, c'est-à-dire que AU = A^U, A^U étant défini comme A^U dans le cas d'une surface. U est alors défini sur (7 si Ton se donne ses valeurs sur le contour de cette variété, comme cela a lieu dans le cas des surfaces minima.

Pour faciliter le langage, plaçons-nous dans le cas d'une surface minima finie S.

Etudions d'abord le potentiel de double couche de densité U étalée sur S. Il est nul dans tout l'espace. Des deux côtés de S, cela résulte évidemment de la possibilité de faire passer par chaque point de cette région une surface minima ne contenant pas 2. (Si la surface 21 était illimitée, si par exemple elle était constituée par un plan indéfini, elle serait vue d'un des points considérés sous un angle égal à la moitié de l'angle solide total; le potentiel de double couche serait alors égal à la moitié de la moyenne des valeurs de U à l'infini.)

Pour un point A de S, on peut montrer que, sur un contour G entourant ce point, vu de A, l'angle du plan tangent à S avec le rayon venant de M est presque partout nul. La surface S est alors vue tellement en raccourci que sa perspective sur une sphère de centre A est presque partout sans épaisseur. Bien que le voisinage de cette perspective constitue presque toute cette sphère, la surface S est donc vue de A sous un angle solide nul, et le potentiel de dou])le couche est nul (* ).

159. Une autre question se pose, au point de vue de la détermination de L dans le voisinage de S, d'un côté déterminé de cette

(') Il n'en est. pas de même du polenlicl de simple couclie. Le potentiel de simple couche sur une variété minima, en particulier sur un plan à w — i dimensions, est dans cette variété analogue à ce qu'est dans l'espace le potentiel de volume, quenous étudierons plus loin: il vérifie l'équation de Poisson, A étant seulement remplacé par A.. I']n dehors de cette variété, il est nul.

CHAI». V. — FONCTIONNELLES IIARMONIQLES. , 4'»

surface. La valeur initiale de l ésl harmonique sur S, c'est-à-dire que AsU = o. Quelles sont les conditions imposées aux dérivées normales successives?

Partons de l'expression qui donne la variation de la valeur de -j-7

relative à une direction principale, quand on remplace i] par une surface parallèle infiniment voisine. On a

, r/-' U d-' oU d'- \} ^ds d^ oU , f/2 u ,

rt.y- d,s^ ds^ ds ds- ds-

ou, en prenant la moyenne pour toutes les directions principales, rani>ées dans un ordre normal,

et, d'après la formule (5),

(i3) 0 Au — A^ oU 4- 9. û/2 DlL A— 7 — — K^ — on — olv -7--

\ ds'^ / dn- du

Deux cas sont alors à distinguer pour les surfaces minima.

Premier cas. — Surfaces minima pour lesquelles presque tous les rayons de courbure deviennent infinis; ôK est alors nul {voir i\^ 87 )7 et la formule (i5) s'écrit

(16) ÔAU=AvoU,

de sorte que la condition à imposer à -j-i pour que AU reste nul, est

que cette dérivée soit harmonique sur !S. De même toutes les dérivées normales successives sont liarmoniques sur !S.

Deuxième cas. — Surfaces minima pour lescpielles presque tous les rayons de courbure ne deviennent pas infinis.

11 existe d'autres termes dans la formule à écrire, qui prend la

forme

Av -7 1- « -7 V- b = o,

-" dn dn

a et b étant des fonctionnelles déterminées sur S. D'après le n" lOîâ^ on peut raisonner sur les équations de ce type comme si A ou Av étaient des dérivées ordinaires. Cette équation s'intègre alors comme

une équation différentielle ordinaire du premier ordre (' ). La solution est de la forme

a et ^ étant des fonctionnelles déterminées, et u une fonctionnelle harmonique sur S.

Les mêmes circonstances se reproduisent pour le calcul des dérivées normales successives.

130. Revenons sur le premier cas, et supposons que la valeur de U sur la surface S soit constante. Cherchons quelle est la condition pour qu'une surface S' voisine de S, la distance de S' à S ayant en chaque point une valeur 8,^, soit minima. Il est à cet effet nécessaire et suffisant qu'une fonctionnelle, égale sur S à une constante u et sur ^' à une constante u + 8 1/, soit harmonique sur 2', c'est-à-dire d'après le

numéro précédent, que — soit harmonique sur S. Or, d'après le

n lUU, ?r- et V- sont harmoniques en même temps. La condition on ou 1 i

nécessaire et suffisante pour que S' soit minima est que on soit harmonique sur 2.

Ce résultat s'étend au cas où la surface 2' nest pas infiniment voisine de S. Si, en chaque point M de S, on porte sur la normale une longueur MM' =/(M), la condition nécessaire et suffisante pour que la surface lieu du point M' soit minima, est que /(M) soit harmonique sur S. Cet énoncé, comme celui relatif au cas où la surface S' est très voisine de 2, ne s'applique bien entendu que si 2 appartient à la première des catégories de surfaces minima distinguées au n'' 87 et au n*» 129.

Il s'applique en particulier si 2 est un plan. Désignons par a<, <22, ..., a^ ... un système de coordonnées rectangulaires, rangées dans un ordre normal; prenons pour 2 le plan a, :=o. Nous voyons que la condition nécessaire et suffisante pour que la surface

(•) L'opération de quadrature est seulement remplacée par la résolution de l'équation Av;U = <I>, qui s'exprime par un potentiel de simple couche (d'après la note précédente). On généralise de même aisément la théorie des équations ou systèmes d'équations linéaires d'ordres quelconques.

CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4l3

soit minima est que la fonctiony* soit harmonique. C'est un résultat déjà connu; cela revient en effet au même de dire que/ est une fonction harmonique de ao, . . ., a^, . . ., ou que / — ai est une fonction harmonique de a,, ao, . . ., a,ij ... ; cela donc revient aussi au même que de dire que les surfaces/ — a, = const. (déduites de l'une d'elles par une translation), sont minima.

131. Le potentiel de simple couche. — Pour montrer les analogies et les différences entre le potentiel de simple couche et le potentiel de double couche, il nous suffira de nous placer dans le cas d'une surface S fermée et convexe, ou du moins à courbure moyenne toujours dirigée vers l'intérieur.

Soit, dans l'espace E„, un potentiel desimpie couche, de densité a.

Si on le multiplie par le facteur — introduit à propos du

potentiel de double couche, nous avons vu au n** 111 que le produit tend vers zéro quand Ji augmente indéfiniment. Si au contraire on le

multiplie seulement par — j il prend, d'après le n® 111, la valeur

(.7) U,= 3iu(^j^j,

qui a un sens bien déterminé, et reste finie, pour n infini; c'est cette valeur que nous appellerons « potentiel de simple couche de

densité a )). C'est un potentiel de double couche de densité u. -•

' ^ ' cosO

En chaque point A, cette remarque en définit bien la valeur, mais comme cette densité est fonction de A, il est nécessaire de préciser les propriétés qui résultent de cette définition.

En premier lieu le potentiel de simple couche est évidemment nul, comme le potentiel de double couche, à l'extérieur de S.

Considérons maintenant un point A, situé sur la normale en un point M de la surface, du côté intérieur, à une distance très petite h. Par ce point, faisons passer une surface minima S, normale à AM, et telle que la courbure normale relative à chaque direction ait la valeur k — K, k étant la courbure normale de la surface S en M relative à la même direction, et K la courbure moyenne de la surface S en M (cette surface S a déjà été considérée n° 12o). Vue du point A, la surface S parait concentrée dans le voisinage de son inter-

4l4 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

seclion G avec S. Or sur le contour G, vu de A. a presque partout une même valeur, qui tend vers R= — quand Ji tend vers zéro; a a de même presque partout une même valeur qui tend vers [ji,,. Donc le potentiel de simple couche prend en A une valeur qui tend vers RjjLp quand h tend vers zéro. 11 se comporte, au point de vue des valeurs à Fextérieur et des valeurs sur la surface, comme un potentiel de double couche de densité aR, R étant le rayon de courbure moyenne.

Ge résultat nous met sur la voie du théorème suivant, déjà établi par Gâteaux dans le cas de la sphère : Le potentiel de simple couche de densité jji est égal au potentiel de double couche de densité ijlR.

Pour le démontrer, on peut employer deux procédés :

i*^ Il suffit, étant donnés les résultats déjà obtenus, de démontrer que le potentiel de simple couche est harmonique. On peut le démontrer en reproduisant les raisonnements des n"** 116 et 117, qui s'étendent sans difficulté au potentiel de simple couche, pourvu que l'on suppose R uniformément continu.