On peut le vérifier directement

La dislance r d'un point quelconque M de la surface S au point intérieur A, la surface étant vue de ce dernier point, a presque partout une même valeur p. L'intersection G de S et de la sphère de centre \ et de rayon p, constituant presque toute cette sphère, a sa coLirbure géodésique moyenne presque partout nulle, c'est-à-dire qu'en presque tous les points le plan oscillateur moyen de G est normal à la sphère. J^our les points où il en est ainsi, on a, d'après le théorème de Meusnier,

^ cos 0 ^^ cos 0 ~" '^ ' et, comme ces points, vu de A, constituent presque toute la surface

(i8) Ua = ^A (l^^) = 31U([^R),

<(' (pu démoutrc le résultat énoncé (' )•

(') Si le point A est variable, la seconde expression est évidemment préférable à la première. S'il est fixe, il peut être indiqué d'employer la première qui ne fait pas intervenir le rayon de courbure moyenne de la surface, mais seulement le plan tancent.

CIIAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4l5

132. Le potentiel de volume. — Considérons, dans l'espace E/^, le potentiel U« dû à des masses de densité — réparties dans vin volume V,/. Le volume V^ peut être considéré conime décrit par des surfaces S,t dépendant d'un paramètre ). qui varie de a à [3. Définissons la déformation de la surface S„, quand A augmente de d\ par la donnée du déplacement normal de chaque point, un = -r- dX. Désignons par iin

le potentiel dû à une simple couche de densité -^ établie sur la

surface S^. On a

(19) ^ri= j Undl.

Supposons que n augmente indéhnimenl, V„ et S^ désignant les /i'^™*^* sections d'un volume V et d'une surface S de l'espace fonctionnel. Pour que la formule (19) reste vraie à la limite, il suffit que Un tende uniformément vers sa limite u. Le potentiel u se ramenant par la formule (17) à un potentiel de double couche^ cette convergence uniforme s'établit par le même raisonnement qu'au n"* 116, moyennant certaines hypothèses assez peu restrictives sur la continuité de ijL et le choix des surfaces S : il faut que u. et —r- soient continus au sens du n° 116; il faut éviter que presque tout le volume V, vu de A, paraisse concentré sur une seule surface S, comme ce serait le cas si l'une de ces surfaces était une surface minima contenant A. On évite sûrement toute difficulté en prenant pour surfaces S des sphères de centre A, ou bien des sphères ayant pour centre un point différent B, si la sphère de centre B passant par A ne contient aucune masse attirante.

Le potentiel U de densité a dans le volume \ étant par définition la limite de U/i pour n infini, nous avons alors la formule

(20) U = r intk.

Supposons en particulier qu'on prenne pour surfaces S des sphères de centre A. Désignons par R le maximum de la distance à A d'un point du volume V, et par 0rt7-((j.) la moyenne de la densité sur la sphère de rayon 7^; il vient

(21) ^ ^ I '^'^^r{v-)rdr.

4l6 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

On peut intervertir Tordre des deux intégrations, c'est-à-dire écrire

l'intégrale étant prise le long de chaque demi-droite partant de A, et 3H(') désignant la moyenne des valeurs obtenues. Cette formule s'établit sans difficulté en écrivant la formule analogue dans l'espace E,i, et passant à la limite. Dans cette formule, on peut remplacer les limites d'intégration par r' et /-", distances à A des points Où chaque demi-droite partant de A entre ou sort dans le volume A . ce qui donne

(23) U = 01l( r ixrfir

si A est dans le volume V, et l'on retrouve l'expression utilisée formule (i3).

Enfin, une fonctionnelle définie sur une sphère étant presque partout égale à sa moyenne, on peut remplacer r' et r" par leurs moyennes p' et ^" , et écrire

U = d\\ i r ixrdr\ = f DrLr{li)rdr.

133. De ces formules, de la dernière par exemple, résultent immédiatement les propriétés suivantes :

1° Le potentiel U est nul en tout point par lequel on peut fai/e passe/- une surface minima ne coupant pas le volume V.

En effet, chacun des potentiels de surfaces dont il est la somme est nul dans ces conditions.

La région où U est nul est alors la même que s'il s'agissait d'un potentiel dû à des masses réparties sur la surface qui limite le volume V. Celle où U n'est pas nul comprend le volume \ ; de plus, si ce volume est limité par une surface composée de plusieurs nappes (nappe extérieure S, nappes intérieures S', S", ...), ou si la nappe extérieure comprend des régions S<, So, ..., où la courbure moyenne est dirigée vers l'extérieur, la région où U n'est pas nul comprend les volumes intérieurs aux surfaces S', S ', . . . , et ceux

CllAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4 '7

compris entre les portions de surfaces S/ et les surfaces minima ï^ limitées à leur contour.

2° Dans toutes les régions où il n'y a pas de niasses attirantes^ le potentiel est harmonique.

Pour le démontrer, il suffit de montrer que sa valeur au centre d'une sphère est égale à la moyenne de ses valeurs sur la surface de la sphère, s'il n'y. a pas de masses à son intérieur. Cette propriété résulte aisément de ce qu'elle est vraie pour chacun des potentiels de surfaces dont U est la somme.

13i. Etudions maintenant le potentiel au point de vue de la continuité.

Remarquons d'abord qu'au centre d'une sphère de rayon p le potentiel dû à des masses de densité inférieure en valeur absolue à un nombre donné îjl' réparties à l'intérieur de cette sphère, est inférieur

à ut.'— • Il tend vers o avec o. De cette circonstance résulte la con-

tinuité du potentiel à l'intérieur des masses attirantes; le raisonnement est exactement le même que dans la théorie ordinaire du potentiel; il repose sur la convergence uniforme de l'intégrale qui définit le potentiel.

Il y a toutefois une différence, provenant de ce que nous n'avons pas démontré que le potentiel est continu en tout point n'appartenant pas au volume V. Ce résultat n'est pas exact. On peut alors seulement énoncer le résultat suivant : Si le potentiel est discontinu en un point A, cette discontinuité n^a pas une cause locale; elle subsiste certainement si Con supprime les masses situées dans une spJière de centre A et de rayon suffisamment petit.

Ce résultat s'applique en particulier si le point A est situé sur une surface où la densité est discontinue, par exemple sur la surface S qui limite le volume V. Mais en ces points la dérivée normale est discontinue. Pour nous en rendre compte, considérons un point A, où le rayon de courbure moyenne de S ait une valeur c^fl, et soit dirigé vers l'intérieur. Prenons sur la normale en A à la surface S, du côté intérieur, un point B situé à une distance h du point A. Un plan normal à AB passant par B coupe la surface S à une distance équivalente dans presque toutes les directions à ^'?.Ali. Le potentiel en B est

LIÎVY. 27

4l8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

alors équivalenl à un potentiel de densité u.^ dans une sphère de centre B et de rayon y/2<d/i, c'est-à-dire à '^.j^Sih. La dérivée normale, comptée positivement vers l'intérieur, augmente donc brusquement, quand on passe de rç\l(''rieur à l'intérieur, de o à a^'R- (Dans l'espace ordinaire, on sait que la dérivée du potentiel de volume est continue dans ces conditions.)

Considérons maintenant un point A de la surface S, dans le voisinage de laquelle cette surface soil minima. Soit C le contour de la portion S de cette surface qui est minima. Dans presque toutes les directions, la distance des points de G au point A a une même valeur p. Supposons pour iixer les idé<^s qu'au delà de C la courljure moyenne de S soit dii'igée vers l'intérieur, de sorte que la surface S peut être prolongée de manière à ne pas couper le volume V. En un point \oisin de A extérieur à \ , le potentiel est nul, tandis qu'en un point intérieur voisin de A il a la \al3ur

Il est donc discontinu. Il est de même discontinu toutes les fois que la densité est discontinue sur une surface minima.

Ceci n'est pas en contradiction avec le fait que la discontinuité ne peut pas avoir une cause locale. On peut modifier la densité à l'intérieur d'une sphère de centre A et de rajon p'<^ p, de manière à la rendre conlinue. La discontinuité subsistera, mais n'aura plus que la valeur

Ainsi les régions voisines de A contribuent à la discontinuité pour une fraction infinitésimale, et L ne peut augmenter brusquement (l'une quantité finie que si la surface minima sur laquelle la densité est discontinue s'éteud à une distance finie du point A.

On remarque que cette discontinuité peut exister en un point où la densité soit continue. La seule cause de discontinuité possible est l'existence d'une surface minima S à la traversée de lacjuelle u. augmente brusquement d'une quantité [jl, . Le potentiel U augmente alors à la traversée de S d'une quantité égale au potentiel du à une simple couche de densité a, élalée sur 2::. Si le contour de S est composé de

CHAP. V. — FONCTIONNKLLES HAIlMO:?^IQUES. 4 r 9

plusieurs parties, ou s'il n'a pas sa roiirbure géôdésique moyenne toujours dirigée vers S, il existe des points n'appartenant pas à S où le potentiel de surface considéré n'est pas nul. Le potentiel de volume est alors discontinu en ces points.

135. Généralisons maintenant la formule de Poisson, relative à la valeur de AU en un ])oint A. Nous utiliserons pour y arriver le résultat du n" 22, d'après lequel la moyenne de U — U^ sur une

sphère de centre A et de rayon très petit r est équivalente à ~ AUv

Pour calculer cette moyenne, divisons le potentiel en deux termes U' el U ', le premier correspondant aux masses extérieures à la petit;; sphère, le deuxième aux masses intérieures. Le terme U' étant harmonique à l'intérieur de la sphère de rayon /•, la moyenne de \j' . — U'^ est nulle; il n'y a qu'à tenir compte de U' — \j\. Or, sur la sphère, L"=:o, ce potentiel étant continu, et nul à l'extérieur; L'y est d'autre part équivalent à u^ — H vient donc

(25) AUA+[JtA=0,

formule qui constitue bien la généralisation de celle de Poisson.

De ces propriétés résulte que le potentiel de volume joue Ijien^ pour la résolution de l'équation de Laplace à second meml)re, le rôle que nous attendions. Dans un volume limité par une surface dont la courl)ure moyenne est toujours différente de zéro et dirigée vers l'intérieur, il est nul sur la surface, et le problème de Dirichlet relatif à l'équation de Laplace à second membre est bien résolu par la formule (i3). Dans le cas contraire, nous savons que la solution du prol)lème relatif à l'équation sans second membre n'est pas possible en général, et il en est a fortiori de même de l'équation à second membre.

136. Le problème de Neumann. — Dans l'espace E;^, on sait que la solution du ])ro])lème de Neumann est analogue à celle du problème de Dirichlet, le rôle que joue le potentiel de double couche dans ce dernier problème étant seulement joué par le potentiel de simple couche. On pourrait s'attendre à ce qu'il en soit de même dans l'espace fonctionnel; il n'en est rien, et la symétrie entre les deux problèmes disparaît. Dans la formule de Green, le potentiel de simple couche

devient négligeable devant le potentiel de double couche, et l'étude directe du potentiel de simple couche nous a montré qu'il n'était pas en réalité distinct du potentiel de double couche.

Dans ces conditions, on peut se demander si le problème de Neumann, comme celui de Dirichlet, peut se résoudre d'une manière plus élémentaire que l'on ne s'y attendrait d'après ce qui a lieu dans l'analyse ordinaire. La réponse semble être affirmative.

Il est probable en effet que les théories relatives à Téquation de Laplace à second membre dans l'espace fonctionnel s'étendent à Féquation analogue relative à une surface non minima de cet espace ('), soit

(•>-6) AsUm = /|[M]|,

M désignant un point quelconque de la surface S. S'il en est ainsi on peut ramener à des calculs de moyenne la détermination de la solution de cette équation prenant une valeur constante sur le contour C de la surface S considérée, si celle-ci est ouverte; le cas de la surface fermée S se traite comme cas limite; il est évidemment nécessaire pour qu'il existe une solution que la fonction /(M) soit presque partout nulle, et dans ce cas L n'est déterminé qu'à une constante près. Pour la détermination d'une fonctionnelle harmonique à l'intérieur d'une surface fermée S, cela revient au même^ d'après la formule (5),

JTT

de sç donner sur la surface les valeurs de -7— ou celle de A^L. Il faut

an

que -7— soit nul presque partout. D'après les remarques qui précèdent

sur l'équation (26), U est déterminé à une constante près sur la surface, et par suite à l'intérieur.

(') Dans le cas des surfaces minima, nous savons que le problème n'est pas disliact du problème analogue dans l'espace.