CHAPITRE VI

JUSTIFICATION DE LA NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHÈRE. QUESTIONS DIVERSES.

Sommaire : Le cas des fonctionnelles de Gâteaux. — Etude d'un autre cas particulier. — Étude d\in cas plus général. — Généralisations du théorème de Gâteaux, — La notion d'écart. — Application à la moyenne dans une sphère. — Application au potentiel de double couche. — Questions diverses.

137. Nous avons étudié dans les Chapitres I à IV de la troisième Partie les propriétés de la moyenne dans l'espace fonctionnel, mais nous avons admis l'existence dé cette moyenne, en dehors de certains cas où, la fonctionnelle étudiée étant représentée par des séries uniformément convergentes d'intégrales définies, cette moyenne est aisée à calculer, et son existence établie par ce calcul même. 11 y aurait lieu de combler cette lacune en généralisant le raisonnement classique par lequel on établit l'existence de l'intégrale définie. 11 s'agirait d'arriver au résultat, sans supposer aucune représentation particulière de la fonctionnelle étudiée, en partant uniquement d'hypothèses relatives à son mode de continuité.

Nous allons exposer cette justification dans le cas de la sphère. Commençons par un cas simple.

138. Le cas des fonctionnelles de Gâteaux. — Une fonctionnelle de Gâteaux U, uniformément continue dans une sphère S dera^onR ayant l'origine pour centre, est caractérisée par cette propriété que, pour II assez grand, la difTérence U^ — L'h est inférieure en module, dans toute la sphère, à n'importe quel nombre donné £, LI désignant la projection de A sur le plan de la /i'^'"'^ section. La fonction qui correspond au point H étant la fonction simple d'ordre n ayant dans

chacun des intervalles ( ? - j même valeur moyenne que celle qui

/i22 TROISIK.MFÎ PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

correspond au point A, la propriété qui précède n'est pas autre chose en effet que la propriété CJ^ du ii*^ 80 de la première Partie, énoncée sous forme géométrique.

Dans le calcul de la moyenne de U dans la sphère ï, on peut donc j-emplacer U^ par U„, en ne risquant de commettre sur la moyenne qu'une erreur au plus égale à £. La moyenne de L dans la sphère se ramène ainsi à une moyenne dans une sphère 2,^ de l'espace E„, chaqu(^ élément de volume dXn ayant un poids proportionnel à la fraction de la sphère S dont il est la projection. '

Soit /'la distance au centre de I d'un point de l'élément considéré, et p =: y/R- — A'-. La moyenne dans la (n -j-p)'"'""'^ section de ï, à une erreur près inférieure à £, s'écrit

/ / • • • / f-i-^i^ •2,%, . . . , ^/i) p/^ dxi dxo . . . cLr,i

^1, X-2^ •••, Xn désignant les coordonnées du point II, et u[x^. X-2-, ..., X/i) la valeur de U en ce point. Lorsque y; devient infini, les éléments voisins du centre, où p est maximum, deviennent prépondérants pour le calcul de la moyenne, et l'expression précédente tend vers Uo, valeur de U au centre de la sphère. La moyenne de U dans la sphère S«+;,, pour/? assez grand, c'est-à-dire dans la splière 2,^, pour 71 assez grand, est donc comprise entre LIo — £ et Lo+ î. Comme il en est ainsi quelque petit que soit s, elle tend vers L^. Donc la moyenne de U dans la sphère S existe et est égale à U^ (').

Ce résultat est très particulier et n'apprend rien que nous ne sachions déjà; les fonctionnelles de Gâteaux étant représentables par des séries uniformément convergentes de polynômes noimaux de Gâteaux, l'application des formules de Gâteaux permet de définir la moyenne, non seulement pour ces fonctionnelles, mais même pour des fonctionnelles beaucouj) plus générales. Mais il nous donne une

(') Par un raisaniiement tout différent, moins rigoureux, mais plus intuitif, on peut dire : dans l'espace E„, si une fonctionnelle est linéaire par rapport à chacune des coordonnées, sa valeur au centre d'une sphère est la moyenne de ses valeurs sur la sphère. Ce résultat est vrai à la limite pour les fonctionnelles de (iateaux.

C'est d'ailleurs un cas particulier du théorème analogue pour les fonctionnelles harmoniques.

ClIAP, Vr. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE. 4^3

idée (le la manière dont on peut espérer arriver à étal)lir rexistenc(; de la moyennes en parlant d'hypothèses reLitives au mode de continuité de la fonctionnelle L .

139. Étude d'un autre cas particulier. — Soit t=:/(;) la fonction somniatoire de x{t)^ c'est-à-dire la mesure de l'ensemble des valeurs de ^, comprises entre o et i,pour lesquelles x"^^. Les fonctionnelles U que nous allons considérer sont ccdles qui ne dépendent que <ley*(E). Elles prennent donc la même valeur pour deux déterminations de,2^(^)qui se transforment l'une dans l'autre par une suljstitution (effectuée sur la variable t et n'altérant la mesure d'aucun ensemble. Tel est le cas des fonctionnelles représentables par des intégrales définies de la forme

/ I '" f ^[^(fi), ^ih), ..., x{ti,)]dtydt,.,.(lfi„

dans lesquelles la fonction intégrée ne dépend pas explicitement de / , , f.2i . . . , tp.

Nous supposerons de plus que U soit une fonctionnelle continue de/(c). Comme d'ailleurs /(^) est essentiellement une fonction non décroissante, cela revient au même de supposer qu'il s'agit de continuité liée au voisinage uniforme ou au voisinage en moyenne,

Pour étudier la moyenne de \j dans la sphère ï, ou, ce qui revient ail même, sur sa surface, prenons une fonction :r(^) sur sa /i'*""^*^ section

-/,. Ce sera une fonction, égale dans chacun des intervallesf 7 - ]■,

' ^ \ n nj

a une valeur constante Xi^ et telle que x'^ -{- xl -{-...-]- x^ =: /?R-. Chacun des Xi^ pour 71 assez grand, a la loi de Oauss pour loi de probabilité. Il résulte alors de raisonnemenis connus de calculs de probabilité que, pour 71 assez grand, la répartition des valeurs ^,, x-2' ..., Xn reproduit sensiblement la courbe dcGauss. D'une manière [)réeise, pour /i assez grand, la fonction sommatoire f{i) diffère de la fonction de Gauss

dans tout l'intervalle ( — x, -+- 00), de moins de s, sauf dans une fraction de la sphère S;^ égale à s', e et £^ étant arbitrairement petits.

Par suite U, sauf dans une fraction négligeable de S,;, tend vers la valeur obtenue pour /(?) = cp(Ç), c'est-à-dire en prenant pour x {() j.a fonction (L(/) inverse de ^(i). La moyenne de U dans la sphère S existe donc, et a la valeur U I [^(^)] |.

140. Étude d'un cas plus général. — Passons à une catégorie de fonctionnelles très générale, qui comprend les précédentes com nu; cas particulier. Nous supposerons que, s étant arbitrairement petite on puisse déterminer n de manière que^ si x (t) et y (t) sont deux fonctions intérieures à la sphère S et ayant même fonction

sommatoire dans chacun des intervalles I ? — ) 5 on ait certai-

nement

Cette propriété est évidemment beaucoup moins restrictive que la propriété Ç, des fonctionnelles de Gâteaux; elle définit donc une catégorie plus étendue de fonctionnelles. Nous l'appellerons propriété 5C (définie dans la sphère ^; on peut de même la définir dans un volume quelconque).

Choisissons le nombre n de manière à vérifier l'inégalité (2), et étudions la moyenne de U sur la [np)'^"^^ section Yi„p de S, /; étant très grand. D'après la loi des grands nombres, chacune des moyennes

{t)dt= ^lll:.P±A.

est presque égale à R-, sauf dans une fraction négligeable (\e ^np', on peut donc, pour calculer la limite de la moyenne, supposer ces moyennes égales à R-. De même, d'après le numéro précédent, on ne néglige que n fractions négligeables de S,/^, en supposant que dans chacun des intervalles considérés, la fonction sommatoire de x(t) diffère très peu de — cp(ç). L'ensemble des erreurs ainsi commises sur la moyenne est, pour^ assez grand, inférieur à s.

D'autre part, d'après la propriété 5C, on commet une erreur au plus égale à z en remplaçant oc{t) par une fonction particulière ayant la fonction sommatoire considérée, par exemple la fonction X,, (^) égale, dans chacun des intervalles (- 5 -] t à 'l (jit — /4-1).