C1I\P. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE

Donc, si Ton choisit n, puisj», suffisamment grands, la moyenne de U sur la sphère llap difl'ère de lj|[X^i(^)]| d'au plus as; donc la moyenne de U sur la sphère S, ou dans celte sphère, existe, et est égale à la limite de U|[X,i(^)]|.

141. Généralisations du théorème de Gâteaux. — La propriété (/,, qui caractérise les fonctionnelles de Gâteaux, est, d'après le théorème de Gâteaux, identique à la propriété Ç, qui indique que ces fonctionnelles peuvent être représentées par des séries uniformément con\ergentes de polynômes normaux de Gâteaux. Par analogie, on peut penser que la propriété 3t caractérise les fonctionnelles représentables par une série uniformément convergente de polynômes normaux quelconques.

Avant d'étudier cette queslion, nous démontrerons un théorème analogue concernant une propriété intermédiaire entre les propriétés (J, et 3C.

Nous dirons qu^une fonctionnelle U |[jc(^j]| possède la propriété Cjpdans un domaine fonctionnel Si si^ étant donné un nombre positif £ arbitrairement petite on peut déterminer n de manière que^ -^(0 ^^ y{^) étant deux fonctions du domaine A ayant mênies valeurs moyennes d'ordres i, 2, ..., p dans chacun des intervalles I > - ) , 07i ait certainement

ui[j(0]l-U|[^(0]l|<-

Les propriétés Ç,, (j'2, ..., Ç/?, ..., 5C sont évidemment de moins en moins restrictives.

Nous dirons d'autre part qu'un polynôme normal, somme de termes de la forme

(3) f f •" f ?^'i' ^2, ..., t,,)x^^(ti)x^2(f^)...x^i.(t,,)dtidfi...df,,

est de classe p si les exposants a/ sont tous au plus égaux à p.

Nous appellerons distance de degré p de deux fonctions x{t) et y (t)^ ou des points correspondants de l'espace fonctionnel, le nombre positif rp défini par la formule

f \y{t)-x{t)\pdt.

i'l6 TROISIÈME PARTIi^. — MOVENXt: DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

A cette définition correspond la notion de coiitLJiuilé de degré p d'une fonctionnelle. Lue sphè/'e généralisée de degré p sera le lieu des points dont la distance de degré p à un point fixe a une valeur constante.

Ces déiinitions posées, on a le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour qté une fonctionnelle U soit^ dans une splière généralisée de degré p^ représentable par une .série uniformément convergente de polynômes normaux de classes p et continus de degré p ('), est cju^elle soit continue de degré p dans cette splière et y possède la propriété (Jp.

La démonstration est analogue à celle du théorème de Gâteaux (première Partie, n*^ 8(î).

Nous ne recommencerons pas la démonstration du fait que la condition est nécessaire, la démonstration indiquée dans le cas où p = i s'appliquant sans modification.

Inversement, soit U une fonctionnelle continue de degré p dans la sphère généralisée de degré /)

(4) f \^(j)\"dt^R';„

et y possédant la propriété (jp. I^our démontrer le théorème, nous allons montrer qu'on peut la représenter avec une erreur au plus égale à £ en valeur absolue par la somme d'un nombre fini de termes de la forme (3).

Dans la sphère considérée, les moyennes /??/,y, définies par la formule

im,-,,)i=n f\^{t)dt, ( '-'' ■'' •--' '')

sont limitées supérieurement. On peut évidemment définir une famille de fonctions y (^) dépendant de np paramètres, telle qu'il existe une fonction et une seule définie par chaque système de valeurs des

(') La condition que ces polynômes soient continus de degré p impose aux fonctions 9(^1, t.,, ..., ^,,) certaines restrictions faciles à préciser. Ainsi, si «j = aj = ... = a;, = /?, il faut que cp(^i, t^, ■-., ?/,) soit une fonction mesurable bornée. I^our le cas de p = >, voir première l'artie, n" 79.