CIIAP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE
moyennes /?z, , et que la distance de degré p de deux fonctions de cette famille tende vers zéro si les moyennes relatives à Tune d'elles tendent respectivement vers les moyennes relatives à l'antre.
Soit alors x ( t) une fonction vérifiant l'inégalité (4). Soit X«(^) la fonction de la famille considérée ayant dans cliacun des intervalles les mêmes moyennes d'ordre i, 2, ..., p. Si 7^ est assez
grand, on commet sur la fonctionnelle IJ une erreur au plus égale lien remplaçant x{t) par X/,(^) (d'après la propriété (Jp). On obtient ainsi une nouvelle fonctionnelle
u;j[-^(oji = ui[x«(oji
qui est une fonction continue des np moyennes ni^^^^; on peut, avec une nouvelle erreur an plus égale à -> la remplacer par un polynôme. En l'cmplaçant dans ce polynôme les jn^^^. par leurs valeurs (5), on obtient une fonctionnelle U„|[^(/)]|, différant de IJ d'au plus £, et représentée par une somme de termes de la forme (3).
En opérant comme nous venons de l'indiquer, on trouve pour o( ^1, ^21 •••• f/i) des fonctions discontinues. Parle même procédé que pour le théorème de Gâteaux, on peut s'arranger pour avoir des fonctions continues.
112. On peut clierclier à étendre les résultats précédents au cas où p devient inlini. Désignons symboliquement par x^'^ une fonction entière de la forme
les coefficients étant tous positifs. Comme dans le cas du degré fini, on définit aisément les notions de dis tcuice de degré o), spJière généralisée de degré oj, fonctionnelle continue de degré (o. J3ésignons par '^i;^ le volume intérieur à la splière généralisé
g\\{^xt)\\dt = g{^\
et par "<^a le volume liomotbétique du précédent, par rapport à l'origine, dans le rapport A\> i . Le théorème suivant paraît vraisemblable :
La condition nécessaire et suffisante pour quhine fonctionnelle U soit représentable par une série de polynômes normaux ' et continus de degré co dans le volume "Ç qui converge uniformément dans n importe quel volume V^a, est qu^ elle soit uniformément continue de degré to et possède la propriété 5C dans n importe quel volume Kh-
Gela revient au même de dire de deux fonctions qu'elles ont même fonction sommatoire dans un intervalle ou qu'elles ont mêmes moyennes de tous ordres, si ces moyennes sont finies, ce qui a lieu nécessairement à l'intérieur du volume \'>. Cette remarque montre bien l'analogie de la propriété Cjp et de la propriété 5C, qui est la limite de la précédente pour/? infini, et l'analogie de ce théorème et du précédent. Le fait que la condition soit nécessaire se démontre, comme pour le précédent, par la méthode indiquée à propos du théorème de Gâteaux.
Pour démontrer qu'elle est suffisante, on peut la supposer vérifiée, et chercher à représenter U par un polynôme normal avec une erreur inférieure à un nombre £ arbitrairement petit. On fera à cet effet trois
erreurs successives inférieures à -:
1° En remplaçant x (t) par une fonction X (^), ayant même fonction
sommatoire dans chacun des intervalles ( > - ) > et qui soit crois-
santé, ou du moins non décroissante, dans chacun de ces intervalles;
si n est assez grand, l'erreur est bien, d'après la propriété 5€, infé-
, e rieure a .-;
2** En remplaçant X(i) par une autre fonction Y(^), ayant dans chacun des intervalles considérés même moyenne d'ordre i, a, ..., /?, et dont la forme dépende suivant une loi déterminée de ces np moyennes ; si /? est assez grand, cela est vraisemblablement possible
en commettant sur U une erreur inférieure à -;
S"" En remplaçant U|[Y (/)]|, qui est une fonction continue de np variables, définie dans un domaine fini, par un polynôme. Ge polynôme, considéré comme fonctionnelle de x{t)^ est bien un polynôme normal.
La seule difficulté consiste dans la deuxième opération. S'il s'agit
