CHAP. VI. — NOTION DK MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE

de fonctions quelconques, la connaissance de ses moyennes d'ordres I, 2, .. ., p dans un intervalle ne donne pas une connaissance très exacte de ces fonctions, et deux fonctions X(^) et Y(^) peuvent avoij* même moyenne de tous les ordres sans qu'il soit possible de trouver pour leur distance de degré y> une limite supérieure meilleure que la somme de leur distance à l'origine.

Si au contraire il s'agit de fonctions croissantes appartenant au volume "Ç^, la connaissance des/? premières moyennes les définit assez l)ien, si yo est grand; cela revient à dire qu'une loi de probabilité est bien connue si l'on connaît les valeurs moyennes d'ordres i, 2, ...,/> de la variable x obéissant à cette loi, et si l'on sait que la valeur moyenne de «(l^rl) est inférieure à g{p). Dans ces conditions, on peut sans doute montrer, si p est assez grand, et si X(^) et Y(^) appartiennent à un môme volume '^fc, que la distance de degré p de ces deux fonctions a une limite supérieure 7,, fonction de k et de/?, et tendant vers zéro quand k augmente indéfiniment. En vertu de la continuité uniforme de U, l'erreur sur cette fonctionnelle résultant du remplacement de X(^) par Y (t) peut alors être rendue inférieure

a - en prenant/? assez grand.

143. La notion d'écart. — L'idée qui nous a conduit à définir la propriété (Jj, est la suivante :- la connaissance des /> premières moyennes d'une fonction dans un intervalle définit assez bien les valeurs de la fonction, mais sans rien apprendre sur les valeurs correspondantes de la variable. Si l'intervalle considéré est très petit^ cette indétermination est sans importance. Aussi, si l'on se donne les

moyennes de degré i, 2, ...,/? dans tous les intervalles ( ■ 5 -) 1

71 el p étant grands, la courbe représentative de la fonction apparaît comme bien connue, en ce sens qu'on en connaît les différents points avec des erreurs qui ne peuvent être très grandes ni sur l'abscisse, ni sur l'ordonnée.

On peut préciser la nature du voisinage entre deux fonctions x (t) ely{t) ayant ainsi mêmes moyennes de degrés i, 2, ...,/? dans tous

les intervalles ( , -), en introduisant une nouvelle définition de

la distance, que nous appellerons écart de degré p.

Concevons entre les variables t et t, variant toutes deux entre o

et 1, une correspondance biunivoqiie telle que les mesures des en semblés correspondants soient égales. Posons

et

'/; = f pp dt.

Nous appellerons écart de degré p des fonctions x{t) etjv'(^), et désignerons par Zp^ le minimum de Cp lorsqu'on fait varier la loi de correspondance entre t et':(^). On définirait de même l'écart de degré to.

Si les fonctions .a^(^) et j^(^) vérifient l'inégalité (4), on j)eut, à condition que Ji soit assez grand, trouver deux fonctions \{t) et /i(^),

constantes dans chacun des intervalles ( 7- )? et dont les dis-

tances d(^ degré p h x {t) el y( L) soient aussi petites qu'on veut. On en déduil aisément que, dans la définition de Zp^ on peut se contenter de considérer les correspondances entre i et t obtenues en divisant l'intervalle (o, i) en n parties égales, et en permutant ces intervalles partiels. On a ainsi seulement une infinité dénombrable de nombiYN e^,, dont le minimum est £^;.

Une des valeurs possibles de Cp^ obtenue pour t = t, est la distance du degré /;, z-^, entre les fonctions ^ (i) et y (^). Il en résulte é\idemment que ZpSf'p- Deux fonctions x{t) ely{t) peuvent donc, au point de vue actuel, apparaître comme plus voisines que si l'on déllnit

(>) Il y a une grande analogie entre ceLle notion d'écart et l'écart de deux courbes considéré par M. Frécliet. I*our arriver à la définition de M. Fréchet, il faut eiïectuer à la définition du texte les nnodifications suivantes :

1° Remplacer e , nio\enne de degré p de p, par le maximum de p; il y a entre ces deux points de vue la diiïérence déjà signalée entre le voisinage viniforme et le voisinage en moyenne;

2" Supprimer, dans la loi de correspondance enlrc t et x, la condition que les ensembles correspondants aient même mesure. Si l'on n'a pas pour objet d'étudier des fonctionnelles représentables par des séries d'intégrales où t est la variable d'intégration, cette condition est sans intérêt;

3° Imposer par contre à cette loi de correspondance d'être continue.

La définition de M. Frécliet est naturelle lorsque l'on considère deux courbes voisines comme deux traits continus tels qu'avec un crayon imparfaitement pointu on ne puisse pas les distinguer. La nôtre est naturelle dans les questions où x (t) et j' (/) sont des fonctiqns mesurables, ce qui est le caractère de presque toutes les questions traitées dans le présent Ouvrage.

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leur voisinage par la dislance Vp. Cela esL vrai surtout si, sortant du domaine défini par l'inégalité (4 j, on peut avoir des distances Vp devenant infinies. Ainsi, la distance l'p^ (p^\) de deux fonctions du

type

est infinie, tandis que Técart Sp de celles qui correspondent à deux valeurs infiniment voisines de a est infiniment petit.

La définition de la continuité d'une fonctionnelle liée à la notion d'écart ep est donc plus restrictive que celle liée à la distance /'y,; mais elle ne l'est pas beaucoup plus. Si, dans une spliére généralisée de degré /?, on considère une famille de fonctions œ[t) dépendant d'un paramétre a, de manière que la variation de chaque point de la courbe représentative de ^(^), quand a varie de o«, puisse se décomposer en une variation ox et une variation ot très petites en moyenne, une fonctionnelle U, définie dans cette sphère, sera en général une fonction continue de a. 11 serait même sans doute assez difficile de donner une fonctionnelle continue, avec la définition Vp de la distance, qui ne le soit pas avec la définition s^, au moins pour une valeur de q supérieure à /?, ou en tout cas avec la définition de l'écart s,^. Aussi les fonctionnelles continues avec la définition £(,>, et une fonction g'{x) très rapidement croissante, semblent être à peu de chose près les fonctionnelles les plus générales que Ton puisse concevoir, ayant une continuité que l'on puisse mettre en évidence sans faire intervenir les dérivées àex[t).

La restriction, très peu restrictive, ainsi introduite, est cependant suffisante, si la continuité est uniforme, probablement pour permettre la représentation des fonctionnelles considérées par des séries uniformément convergentes, en tout cas la démonstration rigoureuse de l'existence de la moyenne dans une sphère, résultats que nous n'avons pu obtenir avec la définition haliituelle de la distance. Pour les démontrer, il suffit de montrer que la définition de la continuité liée à l'écart Zp entraîne la propriété 3C.

Eh effet, deux fonctions x{l) et j'(/), ayant mêmes fonctions som-

matoires dans chacun des intervalles ( , -j peuvent se ramener

l'une à l'autre par un changement de varia])les faisant dans chaque intervalle se correspondre les points où elles ont mêmes valeurs.

On a alors p << - ? et par suite Zp, et même l'écart obtenu en remplaçant Cp par le maximum de p, sont au [)lus égaux à -• Si donc n est

assez grand, et si U est uniformément continue dans son domaine, on a dans ce domaine

|U|[y(0.]|-U|[^(0]lf<^, .

c'est-à-dire que U possède la propriété 5C.

144. Application à la moyenne dans une sphère. — Le fait qu'une fonctionnelle soit représentable par une série uiiifoi ménient convergente dans un domaine permet de définir la moyenne de cette fonctionnelle comme somme de la moyenne des différents termes. Si les séries précédentes sont uniformément convergentes à l'intérieur de la sphère S, d'équation

x^(t)dt= \V

ou dans presque tout le volume de cette sphère, on peut donc appliquer les formules de Gâteaux relatives à la moyenne dans une sphère, et cela donne une nouvelle démonstration du théorème du n" 140. Nous devons donc comparer à la sphère ]S les volumes dans lesquels nous avons établi la convergence uniforme dans nos séries de polynômes.

Dans la sphère S, m2p désignant la moyenne d'ordre 2p de la fonction de x{t)^ m\'l^ est presque partout égal à sa valeur moyenne

c'est-à-dire que ju-ip est pres(|ue partout égal à sa moyenne

IM,>= R'v^i -3. ..(2/> — I).

Si donc on considère une représentation par une série de polynômes normaux de classe 2/? uniformément convergente dans une sphère généralisée de degré 2p et de rayon au moins égal à jao/j, elle est valable, non toute la sphère S, mais presque toute cette sphère. I>a série considérée, qui ne saurait évidemment converger dans toute cette