CIIVP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHÈRE

sphère (si p ;> i), converge tout de même uniformément dans presque toute cette sphère.

On obtient des résultais analogues pour les moyennes d'ordres impairs, ou pour celles d'ordre to. En prenant par exemple g{x) = e^^\ on trouve comme moyenne de l'intégrale

(c'est-à-dire de la fonction caractéristique de Poincaré)dans la sphère S

la valeur e ^ . Si alors le nombre p du n" 142 est au moins éeral à ?

la série obtenue est bien uniformément convergente dans presque toute la sphère S.

Tant que la fonction g' (oc) croît moins rapidement que e^-^'\ X étant une constante convenable, la valeur moyenne dans la sphère S de

c'est-à-dire l'intégrale

a un sens pour R assez petit, et, si l'on choisit p de manière que^(p) soit presque au moins égal à cette valeur, le volume V dans lequel la série qui représente U est uniformément convergente comprend presque toute la sphère S à son intérieur; cela suffît pour qu'elle soit applicable au calcul de la moyenne.

Si au contraire — ^^ — - devient infini, il n'existera aucune sphère S

à l'intéreur de laquelle on puisse affirmer que la série qui représente U dans \'> soit presque partout uniformément convergente; il pourra au contraire arriver que cette fonctionnelle soit infinie dans presque toute la sphère S, et cela quelque petit que soit le rayon R.

143. Application au potentiel de double couche. — Soit U une fonctionnelle définie sur une surface S et dans son voisinage, et possédant la propriété 5C. Nous supposerons la surface- S fermée et convexe, et ayant une équation de la forme <I> = o, la fonctionnelle <ï> ayant elle-même la propriété 3C. Nous supposerons de plus qu'on ait, sur la

iJiVY. 28

434 TROISIÈME rARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

surface S et dans son voisinage,

et que les surfaces ^ := const. soient convexes. Nous allons montrer que dans ces conditions le potentiel OI'Ia(U) dû à des masses de densité U réparties sur S a en chaque point A intérieur à cette surface une valeur bien déterminée, et que c'est une fonctionnelle harmonique du point A. Nous allons pour cela, utilisant les résultats du n° 140, rendre rigoureux les raisonnements du n^ 116.

Désignons par P et P^ deux points de la surface S, par Q et i}' leurs perspectives sur la sphère S' de centre M et de rayon i, et par P', le point situé sur la demi-droite MP' et à une distance de M égale à M P; dé-

i\lP MP'

signons par lie rapport^ = ^, et par o{l),x{t), x'{t), x\{t),

y[t)^y^{t)\es fonctions représentées respectivementpar les points M, P, P', P;,QetQ\ On a

Supposons les points Q et Q' choisis de manière que les fonctions correspondanlesy(/) cl y\t) aient même fonction sommatoiie dans

chacun des intervalles/ *~)' ^^ montrons que, si Ji esl assez

grand, Up — U^ est sûrement inférieur en module à n'impojte quel nombre donné t. 11 en résultera bien que Up=cp(M, Q), considéré comme fonctionnelle du point Q, a la propriété 5C, et, par suite, d'après le n^ 140, que le potentiel de double couche Ollji(U), moyenne de co(M, Q) sur cette sphère, existe.

Or étant donnée l'hypothèse relative aux fonctions y et )^', les fonctions X et x\ ont aussi même fonction sommatoire dans chacun des intervalles ( , - )• On a donc, si n est assez orand,

|Up-Up,|£i, |4v,! = |1>Pi-*..l§^'-

Or, l(^s surfaces $ =: const. voisines de S étant convexes, et le point M étant dans une certaine région intérieure à ces surfaces, on peut trouver une limite inféiieure a de l'angle de MP' avec ces surfaces. La variation d(; <!>, j)oui- un déplacement dl sur celle droite.

CHAP. VI. — NOTfON DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHÈRE. 43 >

est donc au moins m sina«?/, et est de signe conslanl, tandis que celle de U est au plus M dl. Il en résulte que

I Up, - Up, I < -^l— 1 *p. - <î>p, I ^ - ,

SI 1 on a pris £'= r-; — . Un a alors

lUp,-Up|^s,

ce qui entraîne l'existence de la moyenne Mj,(l]) =y"(M).

Si, d'après le n° 140, on précise le nombre n pour lequel la moyenne /«(M) de o(M, Q) dans la /i''"'*' section de S' diffère de y'(M) de moins de £, il est certain qu'on peut le limiter supérieurement dans toute région intérieure à S, l'angle a étant limité inférieurement, et le point M n'intervenant dans les raisonnements que })ar cet angle ('). Donc/,; (M) tend uniformément vers /(M), et les raisonnements du n*^ 140 sont bien rendus rigoureux.

D'ailleurs on peut élargir les hypothèses faites. On sait que la moyenne y*( M) ne dépend que des valeurs de U sur certaines pailles de la surface;- on peut alors supprimer les autres, et le résultat obtenu s'étend ainsi aisément an cas de surfaces ouvertes. On Télend de même sans peine au cas de surfaces non convexes.

146. Questions diverses. — Nous pensons avoir montré, par ce qui précède (;t spécialement dans cette dernière Partie, combien l'analyse fonctionnelle est un domaine vaste et méritant encore de nouvelles recherches. Pour terminer, nous allons érîumèrer un certain nombre de questions, posées dans ce qui précède ou ([ui se posent naturellement, et non complètement résolues.

1° Représentation des fonctionnelles continues . — Les théorèmes de Gâteaux, et leur généralisation exposée dans le |)résent Chapitre, semblent ouvrir le chemin à de nouvelles recherches. 11 y a lieu, avant tout, de démontrer le théorème énoncé comme probable au n" 142; s'il n'est pas exact sous la forme indiquée, il suffit certainement d'une légère modification à l'énoncé.

(') Cette remarque, sous une forme moins générale, n'est pas autre cliose que la proposition 2° du n° 11 G.

2'' Justification de la notion de moyenne, — La question semble maintenant résolue pour la sphère. Mais elle reste entière pour le cas d'un domaine quelconque.

Dans l'espace E/^, S désignant une surface intérieure à la sphère S, et <ï> désignant la distance à cette surface, la moyenne d'une fonctioi>nelle U sur cette surface peut se définir par la formule

;)1L^ désignant la moyenne dans le volume intérieur à la sphère S. On pourrait songer à employer une méthode analogue dans l'espace fonctionnel. Mais il y aune difficulté fondamentale, les valeurs de 0)1^(17) ne dépendent que des valeurs de U sur la surface de la sphère S, tandis que Ms(U) dépend effectivement des valeurs de U à l'intérieur de cette sphère. La formule précédente n'est donc pas applicable dans l'espace fonctionnel.

On peut alors prendre les moyennes dans la n''™® section de S, et faire augmenter indéfiniment en même temps n et \. Si \ croît assez rapidement par rapport à n^ on aura bien à la limite la moyenne de U dans le volume voisin de S. En écrivant Ke~''^' au lieu de e~^*^% K désignant la courbure moyenne de la surface S, on aura de même la moyenne de LJ sur cette surface.

La fonction dont on prend la moyenne variant quand n augmente, on ne peut pas appliquer simplement les formules relatives à la sphère. Bien que l'aspect de la difficulté soit complètement modifié, elle semble rester aussi grande.

'à'^ Classification des surfaces au point de vue de V aspect de la notion de moyenne. — Il serait certainement intéressant de développer et préciser la classification indiquée à la fin du Chapitre IV .

4** V ordre normal d^ une suite de fonctions ortJiogonales. — Une suite de fonctions orthogonales et normales

/i(0, Mt), ..., Mt), ...

étant rangées dans un ordre normal, nous savons quelles sont les permutations qu'il est possible d'effectuer sans que cet ordre cesse d'être normal. Elles sont caractérisées par cette condition que, c,,