CHAP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHÈRE

Co, ..., C/î, ... désignant une suite quelconque de nombres inférieurs à I, la moyenne

lim

ne change pas par la permutation considérée. Cette condition définit un groupe de substitutions indépendant du choix des fonctions /,î(^). Par contre, nous avons considéré comme vraisemblable que toute suite complète de fonctions orthogonales admet un ordre normal. Il serait important de démontrer ce théorème.

5** U ordre normal d\ine suite de fonctions orthogonales et le nolunie de V ellipsoïde . — INous avons montré les propriétés de l'ordre normal au point de vue du calcul de la moyenne arithmétique. Ainsi, cela revient au même, si une fonctionnelle est définie dans une sphère très petite, de calculer sa moyenne au point de vue de Gâteaux, ou la moyenne des valeurs qu'elle prend aux extrémités des axes, rangés dans l'ordre normal.

Nous avons admis une propriété analogue en ce qui concerne le volume de l'ellipsoïde ; le rayon de la sphère équivalente serait la moyenne géométrique des demi-axes rangés dans l'ordre normal.

Jl serait intéressant de démontrer ce théorème, ou bien de montrer s'il faut substituer à l'ordre normal un autre ordre, qui ne serait pas non plus parfaitement défini, le groupe de substitutions permettant de passer d'un ordre possible aux autres étant évidemment le même que pour l'ordre normal.

()*' Les fonctionnelles harmoniques sur les surfaces. — Nous avons vu que la théorie des fonctionnelles harmoniques sur une surface minima était identique à la théorie des fonctionnelles harmoniques dans l'espace. De même, la théorie des fonctionnelles harmoniques sur une surface non minima est identique à la théorie des fonctionnelles harmoniques dans un espace fonctionnel non euclidien. Le développement de cette théorie, et la résolution du problème de Dirichlet correspondant, entraîneraient, comme nous l'avons vu, la résolution du problème de Neumann dans l'espace fonctionnel euclidien.

-" Equations des types Jiyperboliques et paraboliques. — En introduisant, comme argument de la fonctionnelle U, en plus de la fonction x{t) ou un paramètre a, on a des types d'équations parabo-

liqiies ou h\ pcilioliqucs telles que

Alj = -— , ()y.