LE POINT DE VUE PRATIQUE
51. Forme normale de la variation d'une fonctionnelle. — Au point de vue j)ralique, lintérêl des résultats précédents ne doit pas être exagéré.. Nous ne rencontrerons pas dans les applications d'exemples
VARIATION i>ni:Mii;m: i:t ionv.tionnei-kes MNKAiur.
'linléj^ralcs Je Sjieljcs (|iii ne, |>ijisscnl se i<'m|ilii<(jr pjir des >vnil»(»l<'s (11111 emploi plus coinmodf. Il v ;i tiuiic intérèL >! Ion vciil cliidifT les équations auv «léri\ées louclioim«'lles, à ne |)us s atlacJier à inellre en ('-x idence les lornics des fonctionnelles les plu> i;t''nérales, mais à prendre pour olijrt de iKihr élude ei'lles (|iii peuxeut se reneonlrer dans les applieal n>ii->.
V ce poinl de \ue, ikmis |»(ni\oiis dire (jiie la lorme lialuluelle de la \arialioii d Une fond iuimelle (diiliniie d ordi'e z<''ro esl
I intégrale étant une intégrale ordmaiiv. Il n \ .1 piis à lenii- eoinpte d«'s autres termes de la formule ( 8 ).
La variation d'une fonctionnelle comprend ainsi deux parties, d'une part une intégrale de M. \ ollerra. d'autre part des termes indiquant une dépendance spéciale de L par rap[)ort aux \aleur> de la t onction T{/) en certains points particuliers. 11 y a avanlai;e jiour la iliéorie générale à supposer que ces points n'existent pas; nous dirons dans ce cas que la fonctionnelle considérée est normale. Dans les applications où de tels points existeraient, il serait possible d'utiliser (piand même les résultats obtenus en considérant la fonctionnelle éiudiée comme dépendant de toutes les valeurs de la fonction x(<), et en outre de ar( t, ), ^(tj), ... ; en tant que fonctionnelle de x{t)., on |)eu( lui appliquer la théorie générale.
Toutefois, il faut éviter de négliger, sous prétexte de slmplilicalion, l'influence des points particuliers dans certaines questions où leur existence est à prévoir. Ainsi, lorsque la définition d'une fonctionnelle U ne met aucun tel point en évidence, sa dérivée fonctionnelle U,. T) doit être considérée comme dépendant normalement de toutes les valeurs de x{t) et en outre de x{'z). Si elle est continue d'ordre zéro, ce qui sera le cas général si la fonctionnelle l l'est, on est conduit à écrire
i.\) oL4(t =/(t)o^(t»^ j ç(t, -.)rjr(t)dt.
Telle esl la forme normale de la \ ariation d'une dérivée fonctionnelle avant une continuité d'ordre zéro; nous reviendrons sur ce point quand nous étudierons les <lérivées fonctionnelles secondes.
68 PRILMIliuE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCII. FONCTIONNEL.
S'a. Cas de la continuité d'ordre/;». — Des considérations analogues, si une fonctionnelle dépend d'un seul point parlicidier •: et a une continuité d'ordre />, conduisent à prendre comme forme normale de sa variation
(■35) oU = Ao3x('-)-^ A, oa7'(-) ^. ..^ A;,ojr /' (T I -^ / ç(t )oxl t) dt.
En partant de la formule (ii). on est d'abord conduit à faire fiourer dans l'expression de oL une intégrale de la forme
f f{t)oxi>Ht)d/.
Si f{l) admet des dérivées continues jusqu'à l'ordre p. une intégration par parties la ramène à la forme d'intégrale qui tigui'e dans la formule (20) et en outre à des termes dépendant spécialement des points particuliers / =: o et t = \ . On est donc conduit à dire qu'il arrivera fréquemment c|u'une fonctionnelle continue d'ordre p > i dépendra spécialement des valeurs de xit) et de ses dérivées ;uix extrémités de l'intervalle de \ariation de t.
Une autre circonstance à prévoir est que la fonction /(7) devienne infinie, ainsi que ses dérivées pour / = t. Supposons qu'elle admette un pôle simple; la fonction '-^(t) aura alors un pôle d'ordre/? + 1 . L'intégrale de la formule (25) n'a plus de sens, mais l'intégrale
('26; / o( t) ox(t) — ox{-.} — (t—-. ) 5.r'(Tj — . . .— ^ ~,'^ ot'i'\-.) dt
a un sens bien défini; il en est de même de l'intégrale
(27) ^'P' f (f{()\ox(t) — o.r{-.> — (t — -)ox'(-)—...
»'. p désignant la valeur principale au sens de Cauchy. c'est-àdire la limite, pour £ ^ o, de l'intégrale obtenue en i-etranchant l'intervalle (t — s, ". -\- z) de l'intervalle d'intégration.
On est ainsi conduit à des expressions un peu plus générales que la formule (25), obtenues en remplaçant l'intégrale de cette formule par l'une des expressions (26) et (27). Elles se réduisent à la formule (23) lorsque la fonction o{t) reste finie pour t = -.
t:llAI'. IV. — VARIATION l'RENflERE ET FONCTIONN EI.I.KS I.INKAIHES. Og
Ces {li(lVi<iit<s (nrinulcs peuveni ru parlkiillcr- sappliquer au cas (le la \aiialinii d'imc tl('ri\(''f' r<inrtioniiclIc.
53. Les expressions pix-cédeiilcs se rallacliciH nalurcUomeiil à la lonnule «le M. Hadaniard. ÎSous allons !<■ nionlrer en indiquant une «irconslanee qui se présente «'Hcctivenient dans la ihrorie de la fonetion de Green (' i.
Soit une fonctionnelle U), dépendani de x {() et d'un [)aramètre A. Supposons <pic. pour /. ~r> o. nous av^>ns rtahli la foiinule
oU) = / ^.{t)0X[l)dt,
mais que celte foinuile cesse d'axoir un sens pour A = o, la fonction c5o(/) avant un pijle double pour / = t. Nous supposerons, de plus, que le produit {t — i)-'j^)\t) reste Uni, non seulement pour A i:^ o, mais pour ), voisin de o. On (^st conduit à dclinir ol',, par la formule
8Uo = lim oL > = liiii / Zyit)Zx(t) dt,
(pii est identitjue à celle de M. Hadamard. Etant données les liypoihcse> faites sui- la fonction ^/.(^ ). celte expression devient
tu posant
lim f ,f^.( >. = 0 . 0
t)dt,
A 1 = I i m / 'f ( l ) (t — ' ) dt.
On obti<'nl ainsi l'expression envisagée n" 52, p ayant ici la valeur 1 .
oi. Les correspondances linéaires entre deux fonctions. — La
(') Elle «^0 prosoiil'' !iiiM[u'oa veul appliqui/i- l;i tVinimli- «(ui dotiiic l;i variation de iiu i.iis ciù l'un (i«"> points A >t B vient sur le oont'tur (voir le Chapitre III
lie la deuxième Partie)
méthode des n*** 49 et oO conduit, pour l'expression d'une fonction dépendant linéairement d'une autre fonction, à des résultats beaucoup moins simples que ceux de MM. Riesz et Fréchet pour les fonctionnelles linéaires. Mais au point de \ue pratique que nous venons d'indiquer, ces résultats se simplifient beaucoup, et Ion est conduit à dire que. dans le cas de la conlmuité d'ordre zéro envisagée (n°'' 49 et 50). la forme normale dune fonction X(5) dépendant linéairement dune fonction X{t ) est
f xyt)z{s, t)dt.
Les conditions que doivent vérifier les fonctions a/(5), t/i^), '^(5. ?) pour que cette correspondance vérifie les conditions de continuité indiquées, soit n° 49, soit n" oO. se déduisent d'ailleurs aisément des résultais des n°* 49 et i8.
Il convient de remarquer que, pourvu que t( a) dépende effectivement de 5. les termes dépendant d'un point particulier t( 5) peuvent exister même dans le cas ovi l'on vent que le voisinage en moyenne de deux fonctions XA t) et y{ t) suffise pour entraîner le voisinage en moyenne des fonctions correspondantes X(.s) et ^ (s). Au contraire, ils n existaient pas dans le problème traité par M. Fréchet, où le même voisinage des fonctions x(t) et j)'(/) devait entraîner le voisinage des valeurs correspondantes d'une fonctionnelle t ne dépendant pas dun paramétre. 11 suffit, pour se rendre compte de cette différence, de considérer l'exemple des fonctionnelles dépendant de xil ) :
La première a la continuité désirée et non la seconde.
Dans le cas où l'on envisage des continuités d'ordre /> ^^ o, il j a lieu d'ajouter à la formule (ag) des termes analogues à ceux introduits dans les formules (26) e.t (26), les a et les t étant ici des fonctions (le s.
